वेवलेट्स

वेवलेट्स गणितीय फ़ंक्शन होते हैं जो डेटा को व्यक्तिगत आवृत्ति घटकों में विभाजित करते हैं और प्रत्येक घटक का उसके पैमाने से मेल खाने वाले समाधान के साथ विश्लेषण करते हैं। इनके अनुप्रयोग विज्ञान और इंजीनियरिंग की कई शाखाओं में होते हैं, जिसमें सिग्नल प्रोसेसिंग, डेटा संपीड़न, और अंतर समीकरणों का समाधान शामिल है। वेवलेट्स विशेष रूप से उन सिग्नलों को प्रोसेस करने के लिए उपयोगी होते हैं जो तीव्र स्पाइक्स या उभरण होते हैं।

वेवलेट्स का परिचय

वेवलेट्स का गणितीय आधार हार्मोनिक विश्लेषण में निहित होता है, जो गणित की वह शाखा है जो कार्यों या सिग्नलों का मूलभूत तरंगों के संदर्भ में अध्ययन करती है। पारंपरिक फुर्यर विश्लेषण एक सिग्नल को साइन और कोसाइन घटकों में विभाजित करने का एक तरीका प्रदान करता है। हालांकि, यह विधि स्थानीयकृत घटनाओं को प्रस्तुत करने की क्षमता में सीमित है क्योंकि साइन और कोसाइन हर जगह गैर-शून्य होते हैं। वेवलेट्स इस सीमा को समय और आवृत्ति दोनों डोमेन में स्थानीयकृत होकर पार कर लेते हैं।

वेवलेट्स का उपयोग क्यों करें?

वेवलेट्स सिग्नल का समय-आवृत्ति प्रतिनिधित्व प्रदान करते हैं, जिससे हम डेटा के दिलचस्प क्षेत्रों पर ध्यान केंद्रित कर सकते हैं। वे समय और आवृत्ति दोनों का स्थानीयकरण प्रदान करते हैं, जो विशेष रूप से गैर-स्थिर सिग्नलों के लिए महत्वपूर्ण है। उदाहरण के लिए, सिग्नल प्रोसेसिंग में, वेवलेट्स का उपयोग डेटा को संपीड़ित करने के लिए किया जा सकता है जिससे ट्रांसमिशन या संग्रहण के दौरान आवश्यक जानकारी खोए बिना किया जा सके।

गणितीय सूत्रीकरण

गणितीय रूप से, एक वेवलेट ट्रांसफॉर्म एक फ़ंक्शन का "वेवलेट" फ़ंक्शनों के एक सेट द्वारा प्रतिनिधित्व है। एक वेवलेट फ़ंक्शन, जिसे ψ(t) के रूप में दर्शाया जाता है, का औसत शून्य होता है और यह समय और आवृत्ति दोनों में स्थानीयकृत होता है। एक सिग्नल f(t) का वेवलेट ट्रांसफॉर्म इस प्रकार दिया गया है:

Wψ[f](a, b) = ∫ f(t) * ψa,b(t) dt

यहाँ, ψa,b(t) मूल वेवलेट ψ(t) के स्केल और अनुवादित संस्करण हैं:

ψa,b(t) = 1/√|a| * ψ((t-b)/a)

जहां a स्केल पैरामीटर है जो वेवलेट को फैलाता या संकुचित करता है, और b अनुवाद पैरामीटर है जो इसे t अक्ष के साथ स्थानांतरित करता है।

वेवलेट्स का दृष्टानुपात

वेवलेट फ़ंक्शन के गुणों को समझने के लिए कुछ सरल उदाहरणों पर विचार करें।

हार वेवलेट पर विचार करें, जो सबसे सरल वेवलेट फ़ंक्शनों में से एक है। हार वेवलेट ψ(t) को इस प्रकार परिभाषित किया गया है:

ψ(t) = 1, यदि 0 ≤ t < 0.5 = -1, यदि 0.5 ≤ t < 1 = 0, अन्यथा

उपरोक्त एसवीजी में हार वेवलेट फ़ंक्शन दिखाया गया है। आप देख सकते हैं कि यह एक खंडवार स्थिर संरचना है। यह [0, 1] अंतराल में ही गैर-शून्य है। यह स्थानीयकरण गुण इसे समय-डोमेन विश्लेषण के लिए विशेष रूप से उपयोगी बनाता है।

वेवलेट ट्रांसफॉर्म

वेवलेट ट्रांसफॉर्म के दो मुख्य प्रकार होते हैं: निरंतर वेवलेट ट्रांसफॉर्म (CWT) और विच्छेद वेवलेट ट्रांसफॉर्म (DWT)।

निरंतर वेवलेट ट्रांसफॉर्म (CWT)

निरंतर वेवलेट ट्रांसफॉर्म का उपयोग स्थानीयकृत क्षणिक सिग्नलों के विश्लेषण के लिए किया जाता है। यह दोनों समय और आवृत्ति डोमेन में डेटा का एक अत्यधिक विस्तृत विवरण प्राप्त करने का तरीका प्रदान करता है।

CWT(a, b) = ∫ f(t) ψa,b(t) dt

CWT मूल सिग्नल को पैमाने a और अनुवाद b के द्वि-आयामी फ़ंक्शन में मैप करता है। यह समय और पैमाने दोनों में निरंतर होता है, जो सिग्नल का एक विस्तृत दृश्य प्रदान करता है।

विच्छेद वेवलेट ट्रांसफॉर्म (DWT)

विच्छेद वेवलेट ट्रांसफॉर्म विविक्त डेटा पर काम करता है और संख्यात्मक गणनाओं के लिए सक्षम होता है। यह सीमित संख्या में गुणांक उत्पन्न करता है जो मूल डेटा का प्रतिनिधित्व करते हैं।

DWT(n, m) = ∑ f[i] ψn,m[i]

निरंतर वेवलेट ट्रांसफॉर्म के विपरीत, DWT सिग्नल को विखंडित करने का एक गैर-अतिरिक्त, कुशल तरीका प्रदान करता है, जो इसे संपीड़न और शोर में कमी के लिए उपयोगी बनाता है।

वेवलेट्स के गुण

वेवलेट्स के कई उपयोगी गुण होते हैं, जिनमें शामिल हैं:

• स्थानीयकरण: वेवलेट्स समय और आवृत्ति दोनों में स्थानीयकृत होते हैं, जिससे सटीक समय-आवृत्ति विश्लेषण संभव होता है।
• अर्थोगोनलता: कुछ वेवलेट आधार अर्थोगोनल होते हैं, जिसका अर्थ है कि वे डेटा को गैर-अतिरिक्तता के साथ प्रभावी रूप से प्रस्तुत कर सकते हैं।
• मल्टी-रिज़ॉल्यूशन: सिग्नल का कई पैमानों पर विश्लेषण करना अधिक संपूर्ण तस्वीर प्रदान करता है, जो विशेष रूप से क्षणिक सिग्नलों के लिए उपयोगी है।

वेवलेट्स के अनुप्रयोग

वेवलेट्स की लचीली और स्थानीयकृत प्रकृति ने उन्हें अनेक क्षेत्रों में उपयोगी बनाया है:

• डेटा संपीड़न: वेवलेट्स का उपयोग छवि और सिग्नल संपीड़न में किया जाता है क्योंकि वे डेटा में तीव्र परिवर्तनों का प्रभावी रूप से प्रतिनिधित्व करते हैं।
• शोर में कमी: वेवलेट्स सिग्नलों में शोर को महत्वपूर्ण विशेषताओं से अलग कर सकते हैं, जिससे स्वच्छ डेटा प्रोसेसिंग संभव होती है।
• छवि प्रसंस्करण: वेवलेट ट्रांसफॉर्म को विशेषता पहचान और संवर्धन कार्यों में व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है।
• चिकित्सा इमेजिंग: एमआरआई और अन्य इमेजिंग तकनीकों में, वेवलेट्स छवि गुणवत्ता में सुधार और शोर दबाने में मदद करते हैं।

निष्कर्ष

वेवलेट्स समय और आवृत्ति डोमेन में सिग्नल और कार्यों की विस्तृत श्रृंखला का विश्लेषण करने के लिए एक मजबूत ढांचा प्रदान करते हैं। वे सिग्नल को विखंडित और पुनर्निर्माण करने के लिए उन्नत उपकरण प्रदान करते हैं, अंततः पारंपरिक हार्मोनिक विश्लेषण की पहुंच का विस्तार करते हैं। परिणामस्वरूप, वेवलेट्स कई आधुनिक सिग्नल प्रोसेसिंग अनुप्रयोगों की रीढ़ के रूप में काम करते हैं।

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