Doctorado
  1. Comprendiendo el Álgebra  1.1. Teoría de grupos  1.1.1. Propiedades básicas de los grupos  1.1.2. Subgrupos  1.1.3. Cosets y el teorema de Lagrange  1.1.4. Subgrupos normales  1.1.5. Grupo cociente  1.1.6. Homomorfismos de grupos  1.1.7. Teorema de Sylow  1.1.8. Introducción a los grupos libres  1.1.9. ¿Qué son las actividades grupales?  1.1.10. Grupos simples y resolubles  1.2. Teoría de anillos  1.2.1. Anillos e ideales  1.2.2. Introducción a los homomorfismos de anillos  1.2.3. Anillos polinomiales  1.2.4. Dominios Ideales Principales  1.2.5. Dominios de factorización única  1.2.6. Anillos noetherianos  1.2.7. Anillos de Artiniano  1.3. Teoría de campos  1.3.1. Extensiones de campos  1.3.2. División de áreas  1.3.3. Teoría de Galois  1.3.4. Cierre algebraico en teoría de campos  1.3.5. Campos finitos  1.3.6. Extensión trascendental  1.4. Teoría de módulos  1.4.1. Módulos sobre anillos  1.4.2. Módulos libres  1.4.3. Morfismo de módulos  1.4.4. Módulos simples y semisimples  1.4.5. Módulos proyectivos  1.4.6. Módulos inyectivos  1.5. Álgebra lineal  1.5.1. Espacio vectorial  1.5.2. Transformaciones lineales  1.5.3. Comprendiendo Valores Propios y Vectores Propios  1.5.4. Forma canónica  1.5.5. Espacio de producto interior  1.5.6. Teorema Espectral  1.5.7. Descomposición en valores singulares
  2. Entendiendo el Análisis Matemático  2.1. Análisis real  2.1.1. Números reales y completitud  2.1.2. Introducción a las secuencias y series  2.1.3. Continuidad en el análisis real  2.1.4. Diferenciación en el análisis real  2.1.5. Integración de Riemann  2.1.6. Introducción a los espacios métricos  2.1.7. Medida de Lebesgue  2.2. Análisis complejo  2.2.1. Números complejos  2.2.2. Funciones analíticas  2.2.3. Integración de contornos  2.2.4. Teorema de Cauchy  2.2.5. Teorema del residuo  2.2.6. Mapeo conforme  2.3. Análisis funcional  2.3.1. Comprender ubicaciones estándar  2.3.2. Introducción a los espacios de Banach  2.3.3. Espacios de Hilbert  2.3.4. Operadores lineales  2.3.5. Teoría espectral  2.3.6. Operadores compactos  2.4. Teoría de la medida  2.4.1. Álgebra sigma  2.4.2. Medidas e integrales en la teoría de la medida  2.4.3. Integración de Lebesgue  2.4.4. Teorema de convergencia  2.4.5. Teorema de Fubini  2.5. Análisis Armónico  2.5.1. Serie de Fourier  2.5.2. Transformada de Fourier  2.5.3. Teoría de la distribución  2.5.4. Wavelets
  3. Topología  3.1. Topología general  3.1.1. Conjuntos abiertos y cerrados  3.1.2. Continuidad  3.1.3. Introducción a la compacidad  3.1.4. Conectividad en topología general  3.1.5. Topología métrica  3.2. Topología algebraica  3.2.1. Grupo fundamental  3.2.2. Teoría de la homotopía  3.2.3. Teoría de la homología  3.2.4. Cohomología  3.2.5. Secuencia exacta  3.3. Topología diferencial  3.3.1. Variedades suaves  3.3.2. Espacio tangente  3.3.3. Campos vectoriales  3.3.4. Comprensión de las Formas Diferenciales
  4. Geometría  4.1. Geometría diferencial  4.1.1. Curvas y superficies en geometría diferencial  4.1.2. Geometría Riemanniana  4.1.3. Comprendiendo las geodésicas en la geometría diferencial  4.1.4. Curvatura  4.2. Geometría algebraica  4.2.1. Variedades afines y proyectivas  4.2.2. Planes  4.2.3. Separadores e intersecciones  4.2.4. Cohomología en geometría algebraica  4.3. Geometría Computacional  4.3.1. Introducción a las cubiertas convexas en geometría computacional  4.3.2. Triangulación  4.3.3. Diagrama de Voronoi  4.3.4. Algoritmos Geométricos
  5. Teoría de números  5.1. Teoría de números elemental  5.1.1. Divisibilidad en la teoría de números elemental  5.1.2. Congruencia en teoría de números elemental  5.1.3. Aritmética modular  5.2. Teoría analítica de números  5.2.1. Teorema de los números primos  5.2.2. Series de Dirichlet  5.2.3. Zeta y funciones L  5.3. Teoría de números algebraicos  5.3.1. Campos numéricos  5.3.2. Introducción a ideales en teoría de números algebraicos  5.3.3. Grupos de clases en teoría de números algebraicos  5.3.4. Representación de Galois
  6. Compañerismo  6.1. Combinatoria computacional  6.1.1. Función generadora  6.1.2. Relación de recurrencia  6.1.3. Ppermutaion y combinaciones  6.2. Teoría de grafos  6.2.1. Isomorfismo de grafos  6.2.2. Planicidad en teoría de grafos  6.2.3. Coloración de grafos  6.3. Combinatoria extrema  6.3.1. Teoría de Ramsey  6.3.2. Métodos probabilísticos en combinatoria extrema  6.4. Combinatoria algebraica  6.4.1. Métodos de matrices en combinatoria algebraica  6.4.2. Teoría de la representación
  7. Argumentos y fundamentos  7.1. Teoría de conjuntos  7.1.1. Axiomas de Zermelo-Fraenkel  7.1.2. Ordinales y cardinales  7.2. Introducción a la teoría de modelos  7.2.1. Estructuras y teorías en la teoría de modelos  7.2.2. Teorema de compacidad  7.3. Teoría de la demostración  7.3.1. Sistemas formales  7.3.2. Consistencia y completitud
  8. Probabilidad y Estadística  8.1. Teoría de la probabilidad  8.1.1. Variables aleatorias  8.1.2. Expectativa y variación  8.1.3. Teorema central del límite  8.2. Procesos estocásticos  8.2.1. Cadenas de Markov  8.2.2. Movimiento Browniano  8.3. Inferencia estadística  8.3.1. Pruebas de hipótesis  8.3.2. Análisis de regresión
  9. Matemáticas aplicadas  9.1. Análisis numérico en matemáticas aplicadas  9.1.1. Métodos iterativos  9.1.2. Interpolación  9.1.3. Análisis de errores  9.2. Ecuaciones diferenciales parciales  9.2.1. Ecuación elíptica  9.2.2. Ecuación parabólica  9.2.3. Ecuaciones hiperbólicas  9.3. Sistemas dinámicos  9.3.1. Teoría del caos  9.3.2. Análisis de estabilidad en sistemas dinámicos

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Wavelets


Los wavelets son funciones matemáticas que dividen los datos en componentes de frecuencia individuales y analizan cada componente con una resolución que coincide con su escala. Tienen aplicaciones en muchas ramas de la ciencia y la ingeniería, incluyendo el procesamiento de señales, la compresión de datos y la resolución de ecuaciones diferenciales. Los wavelets son particularmente útiles para procesar señales que contienen picos pronunciados o transitorios.

Introducción a los wavelets

La base matemática de los wavelets se encuentra en el análisis armónico, una rama de las matemáticas que estudia funciones o señales en términos de ondas fundamentales. El análisis de Fourier tradicional proporciona una manera de descomponer una señal en componentes de seno y coseno. Sin embargo, este método está limitado en su capacidad para representar fenómenos localizados porque el seno y el coseno no son cero en todas partes. Los wavelets superan esta limitación al estar localizados tanto en el dominio del tiempo como en el de la frecuencia.

¿Por qué usar wavelets?

Los wavelets proporcionan una representación del tiempo y la frecuencia de la señal, lo que nos permite acercarnos a las regiones interesantes de los datos. Ofrecen localización tanto en el tiempo como en la frecuencia, lo cual es particularmente importante para las señales no estacionarias. Por ejemplo, en el procesamiento de señales, los wavelets se pueden usar para comprimir datos sin perder información esencial durante la transmisión o almacenamiento.

Formulación matemática

Matemáticamente, una transformada wavelet es una representación de una función por un conjunto de funciones "wavelet". Una función wavelet, denotada como ψ(t), tiene media cero y está localizada tanto en el tiempo como en la frecuencia. La transformada wavelet de una señal f(t) se da como:

Wψ[f](a, b) = ∫ f(t) * ψa,b(t) dt

Aquí, ψa,b(t) son las versiones escaladas y trasladas del wavelet principal ψ(t) :

ψa,b(t) = 1/√|a| * ψ((t-b)/a)

donde a es el parámetro de escala que estira o comprime el wavelet, y b es el parámetro de traslación que lo mueve a lo largo del eje t.

Visualización de wavelets

Veamos algunos ejemplos simples para entender las propiedades de las funciones wavelet.

Considere el wavelet de Haar, que es una de las funciones wavelet más simples. El wavelet de Haar ψ(t) se define como:

ψ(t) = 1, si 0 ≤ t < 0.5 = -1, si 0.5 ≤ t < 1 = 0, de lo contrario

El SVG anterior muestra la función wavelet de Haar. Puede ver que tiene una estructura estacionaria por tramos. Es diferente de cero solo en el intervalo [0, 1]. Esta propiedad de localización la hace particularmente útil para análisis en el dominio del tiempo.

Transformada wavelet

Hay dos tipos principales de transformada wavelet: transformada wavelet continua (CWT) y transformada wavelet discreta (DWT).

Transformada wavelet continua (CWT)

La transformada wavelet continua es útil para analizar señales transitorias localizadas. Proporciona una forma de obtener una descripción altamente detallada de los datos en los dominios del tiempo y la frecuencia.

CWT(a, b) = ∫ f(t) ψa,b(t) dt

La CWT mapea la señal original a una función bidimensional de escala a y traslación b. Es continua tanto en el tiempo como en la escala, proporcionando una vista detallada de la señal.

Transformada wavelet discreta (DWT)

La Transformada Wavelet Discreta trabaja con datos discretos y es eficiente para cálculos numéricos. Resulta en un número finito de coeficientes que representan los datos originales.

DWT(n, m) = ∑ f[i] ψn,m[i]

A diferencia de la transformada wavelet continua, la DWT proporciona una forma no redundante y eficiente de descomponer una señal, haciéndola útil para la compresión y reducción de ruido.

Propiedades de los wavelets

Los wavelets tienen muchas propiedades útiles, incluyendo:

  • Localización: Los wavelets están localizados tanto en el tiempo como en la frecuencia, haciendo posible un análisis preciso del tiempo-frecuencia.
  • Ortogonalidad: Algunas bases wavelet son ortogonales, lo que significa que pueden representar datos de manera eficiente sin redundancia.
  • Multiresolución: Analizar la señal en múltiples escalas proporciona una imagen más completa, que es especialmente útil para señales transitorias.

Aplicaciones de los wavelets

La flexibilidad y naturaleza localizada de los wavelets ha llevado a su uso en una variedad de áreas:

  • Compresión de datos: Los wavelets se utilizan en la compresión de imágenes y señales porque representan eficientemente cambios rápidos en los datos.
  • Reducción de ruido: Los wavelets pueden separar el ruido de las características importantes en señales, facilitando el procesamiento limpio de datos.
  • Procesamiento de imágenes: La transformada wavelet se utiliza ampliamente en tareas de reconocimiento y mejora de características.
  • Imágenes médicas: En la resonancia magnética y otras técnicas de imagen, los wavelets ayudan a mejorar la calidad de la imagen y suprimir el ruido.

Conclusión

Los wavelets proporcionan un marco sólido para analizar una amplia variedad de señales y funciones tanto en el dominio del tiempo como en el de la frecuencia. Ofrecen herramientas avanzadas para descomponer y reconstruir señales, expandiendo finalmente el alcance del análisis armónico tradicional. Como resultado, los wavelets sirven como base de muchas aplicaciones modernas de procesamiento de señales.


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