Докторантура
  1. Понимание алгебры  1.1. Теория групп  1.1.1. Основные свойства групп  1.1.2. Подгруппы  1.1.3. Классы смежности и теорема Лагранжа  1.1.4. Нормальные подгруппы  1.1.5. Факторгруппа  1.1.6. Групповые гомоморфизмы  1.1.7. Теорема Силова  1.1.8. Введение в свободные группы  1.1.9. Что такое групповые действия?  1.1.10. Простые и разрешимые группы  1.2. Теория колец  1.2.1. Кольца и идеалы  1.2.2. Введение в гомоморфизмы колец  1.2.3. Кольца многочленов  1.2.4. Области главных идеалов  1.2.5. Уникальные области факторизации  1.2.6. Нетеровы кольца  1.2.7. Артиниевы кольца  1.3. Теория полей  1.3.1. Расширения полей  1.3.2. Деление области  1.3.3. Теория Галуа  1.3.4. Алгебраическое замыкание в теории полей  1.3.5. Конечные поля  1.3.6. Трансцендентальное расширение  1.4. Теория модулей  1.4.1. Модули над кольцами  1.4.2. Свободные модули  1.4.3. Гомоморфизм модуля  1.4.4. Простые и полупростые модули  1.4.5. Проективные модули  1.4.6. Инъективные модули  1.5. Линейная алгебра  1.5.1. Векторное пространство  1.5.2. Линейные преобразования  1.5.3. Понимание собственных чисел и собственных векторов  1.5.4. Каноническая форма  1.5.5. Пространство с внутренним произведением  1.5.6. Теорема о спектральном расщеплении  1.5.7. Разложение по сингулярным значениям
  2. Понимание математического анализа  2.1. Реальный анализ  2.1.1. Действительные числа и полнота  2.1.2. Введение в последовательности и ряды  2.1.3. Непрерывность в теории действительных чисел  2.1.4. Дифференцирование в действительном анализе  2.1.5. Интегрирование по Риману  2.1.6. Введение в метрические пространства  2.1.7. Мера Лебега  2.2. Комплексный анализ  2.2.1. Комплексные числа  2.2.2. Аналитические функции  2.2.3. Контурная интеграция  2.2.4. Теорема Коши  2.2.5. Теорема о вычетах  2.2.6. Конформное отображение  2.3. Функциональный анализ  2.3.1. Понимание стандартных пространств  2.3.2. Введение в пространство БАНАХА  2.3.3. Пространства Гильберта  2.3.4. Линейные операторы  2.3.5. Спектральная теория  2.3.6. Компактные операторы  2.4. Теория меры  2.4.1. Сигма алгебра  2.4.2. Измерение и интегралы в теории меры  2.4.3. Интегрирование по Лебегу  2.4.4. Теорема о сходимости  2.4.5. Теорема Фубини  2.5. Гармонический анализ  2.5.1. Ряд Фурье  2.5.2. Преобразование Фурье  2.5.3. Теория распределений  2.5.4. Вейвлеты
  3. Топология  3.1. Общая топология  3.1.1. Открытые и закрытые множества  3.1.2. Непрерывность  3.1.3. Введение в компактность  3.1.4. Связность в общей топологии  3.1.5. Метрика топология  3.2. Алгебраическая топология  3.2.1. Фундаментальная группа  3.2.2. Теория гомотопий  3.2.3. Теория гомологии  3.2.4. Когомология  3.2.5. Точная последовательность  3.3. Дифференциальная топология  3.3.1. Гладкие многообразия  3.3.2. Тангенциальное пространство  3.3.3. Векторные поля  3.3.4. Понимание дифференциальных форм
  4. Геометрия  4.1. Дифференциальная геометрия  4.1.1. Кривые и поверхности в дифференциальной геометрии  4.1.2. Риманова геометрия  4.1.3. Понимание геодезических линий в дифференциальной геометрии  4.1.4. Кривизна  4.2. Алгебраическая геометрия  4.2.1. Аффинные и проективные многообразия  4.2.2. Планы  4.2.3. Разделители и пересечения  4.2.4. Когомология в алгебраической геометрии  4.3. Вычислительная геометрия  4.3.1. Введение в выпуклые оболочки в вычислительной геометрии  4.3.2. Триангуляция  4.3.3. Диаграмма Вороного  4.3.4. Геометрические алгоритмы
  5. Теория чисел  5.1. Элементарная теория чисел  5.1.1. Делимость в элементарной теории чисел  5.1.2. Сравнимость в элементарной теории чисел  5.1.3. Модульная арифметика  5.2. Аналитическая теория чисел  5.2.1. Теорема о распределении простых чисел  5.2.2. Ряды Дирихле  5.2.3. Зета и L-функции  5.3. Алгебраическая теория чисел  5.3.1. Числовые поля  5.3.2. Введение в идеалы в алгебраической теории чисел  5.3.3. Классы групп в алгебраической теории чисел  5.3.4. Представление Галуа
  6. Товарищество  6.1. Вычислительная комбинаторика  6.1.1. Функция-генератор  6.1.2. Рекуррентные соотношения  6.1.3. Перестановка и сочетание  6.2. Теория графов  6.2.1. Изоморфизм графов  6.2.2. Плоскостность в теории графов  6.2.3. Окраска графов  6.3. Экстремальная комбинаторика  6.3.1. Теория Рамсея  6.3.2. Вероятностные методы в экстремальной комбинаторике  6.4. Алгебраическая комбинаторика  6.4.1. Методы матриц в алгебраической комбинаторике  6.4.2. Теория представлений
  7. Аргументы и основания  7.1. Теория множеств  7.1.1. Аксиомы Цермело-Френкеля  7.1.2. Порядковые и кардинальные числа  7.2. Введение в теорию моделей  7.2.1. Структуры и теории в теории моделей  7.2.2. Теорема компактности  7.3. Теория доказательств  7.3.1. Формальные системы  7.3.2. Согласованность и полнота
  8. Вероятность и статистика  8.1. Теория вероятностей  8.1.1. Случайные величины  8.1.2. Ожидание и вариация  8.1.3. Центральная предельная теорема  8.2. Стохастические процессы  8.2.1. Марковские цепи  8.2.2. Броуновское движение  8.3. Статистическое заключение  8.3.1. Тестирование гипотез  8.3.2. Регрессионный анализ
  9. Прикладная математика  9.1. Численный анализ в прикладной математике  9.1.1. Итеративные методы  9.1.2. Интерполяция  9.1.3. Анализ ошибок  9.2. Уравнения в частных производных  9.2.1. Эллиптическое уравнение  9.2.2. Параболическое уравнение  9.2.3. Гиперболические уравнения  9.3. Динамические системы  9.3.1. Теория хаоса  9.3.2. Анализ устойчивости в динамических системах

Докторантура → Понимание математического анализа → Гармонический анализ ↓


Преобразование Фурье


Введение

Преобразование Фурье — это мощный математический инструмент, используемый для анализа частот, присутствующих в сигнале или функции. Его важность охватывает различные области, такие как инженерное дело, физика и математика. Используя преобразование Фурье, мы можем преобразовывать функцию из ее исходной области (часто времени) в частотную область, выявляя различные частоты, составляющие исходный сигнал.

Исторический контекст

Концепция преобразования Фурье возникла в результате работы Жана-Батиста Жозефа Фурье, французского математика и физика. В начале 19 века Фурье представил идею о том, что функцию можно представить или аппроксимировать суммой более простых тригонометрических функций. Его работа заложила основу для того, что мы сейчас называем рядом Фурье в изучении периодических функций, и по расширению, преобразованиями Фурье для более общих случаев.

Математическая формулировка

Преобразование Фурье непрерывной функции f(t), где t обозначает время, задается интегралом:

f(ω) = ∫[−∞, ∞] f(t) e^(−iωt) dt

Здесь ω (омега) - это угловая частота, а i - мнимая единица. Экспоненциальное слагаемое e^(−iωt) является компактным представлением колебаний, которое объединяет как синус, так и косинус в соответствии с формулой Эйлера e^(ix) = cos(x) + i sin(x).

Обратное преобразование Фурье

Для возврата из частотной области в временную область используется обратное преобразование Фурье:

f(t) = (1/2π) ∫[−∞, ∞] F(ω) e^(iωt) dω

Эта дополнительная пара преобразований позволяет выполнять преобразования между временными и частотными представлениями и дает представление о природе исходной функции.

Примеры и визуализации

Пример 1: Простая синусоида

Рассмотрим синусоиду, заданную f(t) = sin(2πft), где f - частота синусоиды. Преобразование Фурье этой синусоиды дает дельта-функцию на частотах f и -f, указывающую на наличие этих конкретных частотных компонент в функции.

частотная область -F F

Этот вид показывает два всплеска на f и -f, которые представляют колебательные компоненты синусоиды.

Пример 2: Смешанные сигналы

Реальные сигналы обычно более сложные, они включают в себя несколько частот. Рассмотрим сигнал, который добавляет две синусоиды: f(t) = sin(2πf₁t) + 0.5sin(2πf₂t).

частотная область -f₂ -F₁ F₁ F₂

В этом случае преобразование Фурье показывает четыре всплеска, указывая на наличие двух положительных и двух отрицательных частотных компонент. Высоты всплесков пропорциональны амплитудам соответствующих синусоид.

Свойства преобразования Фурье

Преобразование Фурье обладает несколькими важными свойствами, которые делают его универсальным инструментом:

  • Линейность: Преобразование суммы функций является суммой их преобразований.
  • Сдвиг во времени: Если функция сдвинута во времени, ее преобразование Фурье умножается на фазовый множитель.
  • Сдвиг частоты: Сдвиг частоты порождает модуляцию во временной области.
  • Масштабирование: Компрессия функции во временной области расширяет ее в частотной области и наоборот.

Применение преобразования Фурье

Преобразование Фурье широко используется в различных приложениях, включая:

  • Обработка сигналов: Анализ частот аудио, речи и изображений.
  • Квантовая механика: Исследование волновых функций в контексте пространства позиций и импульсов.
  • Системы управления: Проектирование систем, оптимально реагирующих на различные входные сигналы.
  • Системы связи: Модуляция и демодуляция сигналов в системах передачи.

Заключение

Преобразование Фурье предоставляет всесторонний обзор частотных компонентов, составляющих сигнал. Оно помогает анализировать и интерпретировать функции в другой области, которые не всегда легко наблюдаемы в их исходной области. Владение преобразованием Фурье и его свойствами необходимо для математиков, инженеров и ученых, работающих с сложными системами и сигналами. Через тщательное исследование и практику преобразование Фурье становится мощной линзой для выявления сложного танца колебаний, скрытого в казалось бы простых функциях.

Углубление в преобразования Фурье даёт возможность исследовать сложные концепции, такие как ряды Фурье, дискретное преобразование Фурье (DFT) и быстрое преобразование Фурье (FFT), каждое из которых расширяет горизонты анализа и вычислений. Путешествие в мир анализа Фурье, который имеет свои корни в гармонических наблюдениях, открывает этапную связь между временем и частотой, предоставляя решения и ответы как на классические, так и на современные задачи в математике и науке.


Докторантура → 2.5.2


U
username
0%
завершено в Докторантура

← предыдущая (2.5.1)
Ряд Фурье
следующая (2.5.3) →
Теория распределений

комментарии 



Преобразование Фурье

https://www.buddymath.com/phd/2.5.2?bmal=ru