Докторантура
  1. Понимание алгебры  1.1. Теория групп  1.1.1. Основные свойства групп  1.1.2. Подгруппы  1.1.3. Классы смежности и теорема Лагранжа  1.1.4. Нормальные подгруппы  1.1.5. Факторгруппа  1.1.6. Групповые гомоморфизмы  1.1.7. Теорема Силова  1.1.8. Введение в свободные группы  1.1.9. Что такое групповые действия?  1.1.10. Простые и разрешимые группы  1.2. Теория колец  1.2.1. Кольца и идеалы  1.2.2. Введение в гомоморфизмы колец  1.2.3. Кольца многочленов  1.2.4. Области главных идеалов  1.2.5. Уникальные области факторизации  1.2.6. Нетеровы кольца  1.2.7. Артиниевы кольца  1.3. Теория полей  1.3.1. Расширения полей  1.3.2. Деление области  1.3.3. Теория Галуа  1.3.4. Алгебраическое замыкание в теории полей  1.3.5. Конечные поля  1.3.6. Трансцендентальное расширение  1.4. Теория модулей  1.4.1. Модули над кольцами  1.4.2. Свободные модули  1.4.3. Гомоморфизм модуля  1.4.4. Простые и полупростые модули  1.4.5. Проективные модули  1.4.6. Инъективные модули  1.5. Линейная алгебра  1.5.1. Векторное пространство  1.5.2. Линейные преобразования  1.5.3. Понимание собственных чисел и собственных векторов  1.5.4. Каноническая форма  1.5.5. Пространство с внутренним произведением  1.5.6. Теорема о спектральном расщеплении  1.5.7. Разложение по сингулярным значениям
  2. Понимание математического анализа  2.1. Реальный анализ  2.1.1. Действительные числа и полнота  2.1.2. Введение в последовательности и ряды  2.1.3. Непрерывность в теории действительных чисел  2.1.4. Дифференцирование в действительном анализе  2.1.5. Интегрирование по Риману  2.1.6. Введение в метрические пространства  2.1.7. Мера Лебега  2.2. Комплексный анализ  2.2.1. Комплексные числа  2.2.2. Аналитические функции  2.2.3. Контурная интеграция  2.2.4. Теорема Коши  2.2.5. Теорема о вычетах  2.2.6. Конформное отображение  2.3. Функциональный анализ  2.3.1. Понимание стандартных пространств  2.3.2. Введение в пространство БАНАХА  2.3.3. Пространства Гильберта  2.3.4. Линейные операторы  2.3.5. Спектральная теория  2.3.6. Компактные операторы  2.4. Теория меры  2.4.1. Сигма алгебра  2.4.2. Измерение и интегралы в теории меры  2.4.3. Интегрирование по Лебегу  2.4.4. Теорема о сходимости  2.4.5. Теорема Фубини  2.5. Гармонический анализ  2.5.1. Ряд Фурье  2.5.2. Преобразование Фурье  2.5.3. Теория распределений  2.5.4. Вейвлеты
  3. Топология  3.1. Общая топология  3.1.1. Открытые и закрытые множества  3.1.2. Непрерывность  3.1.3. Введение в компактность  3.1.4. Связность в общей топологии  3.1.5. Метрика топология  3.2. Алгебраическая топология  3.2.1. Фундаментальная группа  3.2.2. Теория гомотопий  3.2.3. Теория гомологии  3.2.4. Когомология  3.2.5. Точная последовательность  3.3. Дифференциальная топология  3.3.1. Гладкие многообразия  3.3.2. Тангенциальное пространство  3.3.3. Векторные поля  3.3.4. Понимание дифференциальных форм
  4. Геометрия  4.1. Дифференциальная геометрия  4.1.1. Кривые и поверхности в дифференциальной геометрии  4.1.2. Риманова геометрия  4.1.3. Понимание геодезических линий в дифференциальной геометрии  4.1.4. Кривизна  4.2. Алгебраическая геометрия  4.2.1. Аффинные и проективные многообразия  4.2.2. Планы  4.2.3. Разделители и пересечения  4.2.4. Когомология в алгебраической геометрии  4.3. Вычислительная геометрия  4.3.1. Введение в выпуклые оболочки в вычислительной геометрии  4.3.2. Триангуляция  4.3.3. Диаграмма Вороного  4.3.4. Геометрические алгоритмы
  5. Теория чисел  5.1. Элементарная теория чисел  5.1.1. Делимость в элементарной теории чисел  5.1.2. Сравнимость в элементарной теории чисел  5.1.3. Модульная арифметика  5.2. Аналитическая теория чисел  5.2.1. Теорема о распределении простых чисел  5.2.2. Ряды Дирихле  5.2.3. Зета и L-функции  5.3. Алгебраическая теория чисел  5.3.1. Числовые поля  5.3.2. Введение в идеалы в алгебраической теории чисел  5.3.3. Классы групп в алгебраической теории чисел  5.3.4. Представление Галуа
  6. Товарищество  6.1. Вычислительная комбинаторика  6.1.1. Функция-генератор  6.1.2. Рекуррентные соотношения  6.1.3. Перестановка и сочетание  6.2. Теория графов  6.2.1. Изоморфизм графов  6.2.2. Плоскостность в теории графов  6.2.3. Окраска графов  6.3. Экстремальная комбинаторика  6.3.1. Теория Рамсея  6.3.2. Вероятностные методы в экстремальной комбинаторике  6.4. Алгебраическая комбинаторика  6.4.1. Методы матриц в алгебраической комбинаторике  6.4.2. Теория представлений
  7. Аргументы и основания  7.1. Теория множеств  7.1.1. Аксиомы Цермело-Френкеля  7.1.2. Порядковые и кардинальные числа  7.2. Введение в теорию моделей  7.2.1. Структуры и теории в теории моделей  7.2.2. Теорема компактности  7.3. Теория доказательств  7.3.1. Формальные системы  7.3.2. Согласованность и полнота
  8. Вероятность и статистика  8.1. Теория вероятностей  8.1.1. Случайные величины  8.1.2. Ожидание и вариация  8.1.3. Центральная предельная теорема  8.2. Стохастические процессы  8.2.1. Марковские цепи  8.2.2. Броуновское движение  8.3. Статистическое заключение  8.3.1. Тестирование гипотез  8.3.2. Регрессионный анализ
  9. Прикладная математика  9.1. Численный анализ в прикладной математике  9.1.1. Итеративные методы  9.1.2. Интерполяция  9.1.3. Анализ ошибок  9.2. Уравнения в частных производных  9.2.1. Эллиптическое уравнение  9.2.2. Параболическое уравнение  9.2.3. Гиперболические уравнения  9.3. Динамические системы  9.3.1. Теория хаоса  9.3.2. Анализ устойчивости в динамических системах

Докторантура → Понимание математического анализа ↓


Теория меры


Теория меры — это раздел математического анализа, который занимается теоретической основой интегрирования, а не фокусируется на техниках интегрирования. Она полезна во многих областях, таких как вероятность, статистика и функциональный анализ. Разработанная для задач, где классические определения объема и площади не применимы, теория меры находит широкое применение в современной аналитике.

Основные концепции

На самом базовом уровне теория меры начинается с концепции пространства меры. Пространство меры — это тройка (X, mathcal{A}, mu), где:

  • X — это множество.
  • mathcal{A} — это σ-алгебра над X.
  • mu: mathcal{A} to [0, infty] — это мера.

Цель меры — обеспечить систематический способ присвоения числа, которое может представлять размер или объем каждому подмножеству X в mathcal{A}. Это число неотрицательное и может быть бесконечным.

σ-алгебра

σ-алгебра mathcal{A} на множестве X — это коллекция подмножеств X, удовлетворяющая трем свойствам:

  1. Сам X находится в mathcal{A}.
  2. mathcal{A} замкнута относительно дополнения: если множество A находится в mathcal{A}, то X setminus A также находится в mathcal{A}.
  3. mathcal{A} замкнута относительно счетных объединений: если A_1, A_2, ldots находятся в mathcal{A}, то bigcup_{i=1}^{infty} A_i также находится в mathcal{A}.

Меры

Мера mu — это функция из σ-алгебры mathcal{A} в расширенные действительные числа [0, infty], которая удовлетворяет:

  1. Неотрицательность: mu(A) geq 0 для каждого A in mathcal{A}.
  2. Пустое множество имеет нуль: mu(emptyset) = 0.
  3. Счётная аддитивность/σ-аддитивность: если A_1, A_2, ldots находятся в mathcal{A} и не пересекаются, то mu(bigcup_{i=1}^infty A_i) = sum_{i=1}^infty mu(A_i).

Примеры мер

Рассмотрим некоторые примеры для прояснения этих определений:

1. Счётная мера

Для любого множества X мы можем определить счётную меру mu так, что для каждого подмножества A множества X mu(A) — это количество элементов в A. Эта мера легко понимается: она просто считает элементы напрямую.

2. Мера Лебега

На действительной оси mathbb{R} мера Лебега — наиболее важная мера, которая расширяет понятие длины от интервалов до более широкого множества множеств. Мера Лебега интервала [a, b] равна b - a.

A B

Она обозначает интервал [a, b] на числовой прямой, который имеет меру Лебега длиной b - a.

Интегрирование через теорию меры

Один из самых мощных инструментов, предлагаемых теорией меры, это общее правило интегрирования. Оно называется интеграл Лебега. В отличие от интеграла Римана, который ограничен функциями на конечном интервале с некоторыми разрывами, интеграл Лебега может справляться с более сложными случаями.

Интегрирование Римана против Лебега

Основное различие между ними заключается в способе сложения значений функции при интегрировании. Интеграл Римана делит область определения функции, в то время как интеграл Лебега делит область значения функции.

Чтобы выразить эту концепцию, рассмотрим функцию f, определённую на интервале [a, b]. Интеграл Римана приближает её интеграл, разбивая интервал:

интеграл Римана: int_a^b f(x) , dx = lim_{n to infty} sum_{i=1}^n f(x_i^*) Delta x_i,

в то время как интеграл Лебега разрывает кодомен, используя уровневые множества.

Сила интеграла Лебега заключается в его способности интегрировать широкий класс функций. Рассмотрим функцию, которая принимает значение на множестве переменных мера которого равна нулю. Интеграл Лебега легко справляется с этим, потому что он акцентирует внимание на мере множеств, где функции принимают определенные значения.

Применение

1. Теория вероятностей

В теории вероятностей структурная база теории меры позволяет нам определить меры вероятности, которые обобщают традиционные аксиомы Колмогорова. Математически мера вероятности — это мера, в которой всё пространство имеет меру 1. События затем становятся измеримыми множествами, а функции вероятности становятся мерами.

2. Функциональный анализ

В этой области теория меры помогает определять пространства, такие как пространство L^p, где функции изучаются с точки зрения пределов и преобразований, определяя сходимость, такую как почти везде сходимость и сходимость в мере.

Заключение

Теория меры — это мощная область математики, которая позволяет подробно исследовать размер и интеграцию. Понимание меры, σ-алгебры и интеграла Лебега предоставляет основу для строгого подхода к изучению полей, вероятностей и функций. Её глубокое влияние как в чистом, так и в прикладном контексте подчеркивает её значимость в математическом мире.


Докторантура → 2.4


U
username
0%
завершено в Докторантура

← предыдущая (2.3.6)
Компактные операторы
следующая (2.4.1) →
Сигма алгебра

комментарии 



Теория меры

https://www.buddymath.com/phd/2.4?bmal=ru