Doutorado
  1. Compreendendo Álgebra  1.1. Teoria dos grupos  1.1.1. Propriedades básicas dos grupos  1.1.2. Subgrupos  1.1.3. Classes laterais e o teorema de Lagrange  1.1.4. Subgrupos normais  1.1.5. Grupo quociente  1.1.6. Homomorfismos de grupos  1.1.7. Teorema de Sylow  1.1.8. Introdução aos grupos livres  1.1.9. O que são atividades em grupo?  1.1.10. Grupos simples e solucionáveis  1.2. Teoria dos anéis  1.2.1. Anéis e ideais  1.2.2. Introdução aos homomorfismos de anéis  1.2.3. Aneis polinomiais  1.2.4. Domínios de ideais principais  1.2.5. Domínios de Fatoração Única  1.2.6. Anéis noetherianos  1.2.7. Anéis Artinianos  1.3. Teoria dos Campos  1.3.1. Extensões de corpos  1.3.2. Divisão de área  1.3.3. Teoria de Galois  1.3.4. Fechamento algébrico na teoria dos corpos  1.3.5. Campos finitos  1.3.6. Extensão transcendental  1.4. Teoria dos módulos  1.4.1. Módulos sobre anéis  1.4.2. Módulos livres  1.4.3. Homomorfismo de módulo  1.4.4. Módulos simples e semi-simples  1.4.5. Módulos projetivos  1.4.6. Módulos Injetivos  1.5. Álgebra linear  1.5.1. Espaço vetorial  1.5.2. Transformações lineares  1.5.3. Entendendo Autovalores e Autovetores  1.5.4. Forma canônica  1.5.5. Espaço de produto interno  1.5.6. Teorema Espectral  1.5.7. Decomposição em valores singulares
  2. Compreendendo a Análise Matemática  2.1. Análise real  2.1.1. Números reais e completude  2.1.2. Introdução a sequências e séries  2.1.3. Continuidade em análise real  2.1.4. Diferenciação em análise real  2.1.5. Integração de Riemann  2.1.6. Introdução aos espaços métricos  2.1.7. Medida de Lebesgue  2.2. Análise Complexa  2.2.1. Números complexos  2.2.2. Funções analíticas  2.2.3. Integração de contorno  2.2.4. Teorema de Cauchy  2.2.5. Teorema do Resíduo  2.2.6. Mapeamento conformal  2.3. Análise Funcional  2.3.1. Compreendendo locais padrão  2.3.2. Introdução aos espaços de Banach  2.3.3. Espaços de Hilbert  2.3.4. Operadores lineares  2.3.5. Teoria espectral  2.3.6. Operadores compactos  2.4. Teoria da Medida  2.4.1. Álgebra sigma  2.4.2. Medição e integrais na teoria da medida  2.4.3. Integração de Lebesgue  2.4.4. Teorema da Convergência  2.4.5. Teorema de Fubini  2.5. Análise Harmônica  2.5.1. Séries de Fourier  2.5.2. Transformada de Fourier  2.5.3. Teoria da distribuição  2.5.4. Wavelets
  3. Topologia  3.1. Topologia geral  3.1.1. Conjuntos abertos e fechados  3.1.2. Continuidade  3.1.3. Introdução à compacidade  3.1.4. Conectividade na topologia geral  3.1.5. Topologia métrica  3.2. Topologia algébrica  3.2.1. Grupo fundamental  3.2.2. Teoria da homotopia  3.2.3. Teoria da homologia  3.2.4. Cohomologia  3.2.5. Sequência exata  3.3. Topologia diferencial  3.3.1. Variedades suaves  3.3.2. Espaço tangente  3.3.3. Campos vetoriais  3.3.4. Compreendendo Formas Diferenciais
  4. Geometria  4.1. Geometria diferencial  4.1.1. Curvas e superfícies na geometria diferencial  4.1.2. Geometria Riemanniana  4.1.3. Compreendendo geodésicas na geometria diferencial  4.1.4. Curvatura  4.2. Geometria algébrica  4.2.1. Variedades afins e projetivas  4.2.2. Planos  4.2.3. Separadores e interseções  4.2.4. Cohomologia na geometria algébrica  4.3. Geometria Computacional  4.3.1. Introdução às coberturas convexas na geometria computacional  4.3.2. Triangulação  4.3.3. Diagrama de Voronoi  4.3.4. Algoritmos Geométricos
  5. Teoria dos números  5.1. Teoria dos números elementar  5.1.1. Divisibilidade na teoria elementar dos números  5.1.2. Congruência na teoria dos números elementar  5.1.3. Aritmética modular  5.2. Teoria analítica dos números  5.2.1. Teorema dos números primos  5.2.2. Séries de Dirichlet  5.2.3. Zeta e funções L  5.3. Teoria dos números algébricos  5.3.1. Campos numéricos  5.3.2. Introdução aos ideais na teoria algébrica dos números  5.3.3. Grupos de classes em teoria algébrica dos números  5.3.4. Representação de Galois
  6. Companhia  6.1. Combinatória computacional  6.1.1. Função Geradora  6.1.2. Relação de recorrência  6.1.3. Permanência e combinação  6.2. Teoria dos grafos  6.2.1. Isomorfismo de grafos  6.2.2. Planaridade em teoria dos grafos  6.2.3. Coloração de grafos  6.3. Combinatória extrema  6.3.1. Teoria de Ramsey  6.3.2. Métodos probabilísticos em combinatória extrema  6.4. Combinatória algébrica  6.4.1. Métodos de matrizes em combinatória algébrica  6.4.2. Teoria da Representação
  7. Argumentos e fundamentos  7.1. Teoria dos conjuntos  7.1.1. Axiomas de Zermelo-Fraenkel  7.1.2. Ordinais e cardinais  7.2. Introdução à teoria dos modelos  7.2.1. Estruturas e teorias na teoria dos modelos  7.2.2. Teorema da compacidade  7.3. Teoria da prova  7.3.1. Sistemas formais  7.3.2. Consistência e completude
  8. Probabilidade e Estatística  8.1. Teoria da probabilidade  8.1.1. Variáveis aleatórias  8.1.2. Expectativa e variação  8.1.3. Teorema do limite central  8.2. Processos estocásticos  8.2.1. Cadeias de Markov  8.2.2. Movimento browniano  8.3. Inferência estatística  8.3.1. Teste de hipóteses  8.3.2. Análise de regressão
  9. Matemática aplicada  9.1. Análise numérica em matemática aplicada  9.1.1. Métodos iterativos  9.1.2. Interpolação  9.1.3. Análise de erros  9.2. Equações diferenciais parciais  9.2.1. Equação elíptica  9.2.2. Equação parabólica  9.2.3. Equações hiperbólicas  9.3. Sistemas dinâmicos  9.3.1. Teoria do Caos  9.3.2. Análise de estabilidade em sistemas dinâmicos

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Teoria da Medida


A teoria da medida é um ramo da análise matemática que se preocupa com a base teórica da integração, ao invés de focar nas técnicas de integração. Ela é útil em muitos campos, como probabilidade, estatística, e análise funcional. Desenvolvida para problemas onde as definições clássicas de volume e área não se aplicam, a teoria da medida tem amplas aplicações na análise moderna.

Conceitos básicos

No nível mais básico, a teoria da medida começa com o conceito de um espaço de medida. Um espaço de medida é um triplo (X, mathcal{A}, mu) onde:

  • X é um conjunto.
  • mathcal{A} é uma σ-álgebra sobre X.
  • mu: mathcal{A} to [0, infty] é uma medida.

O objetivo da medida é fornecer um meio sistemático de atribuir um número que possa representar o tamanho ou volume a cada subconjunto de X em mathcal{A}. Este número é não-negativo e pode ser infinito.

σ-álgebra

Uma σ-álgebra mathcal{A} em um conjunto X é uma coleção de subconjuntos de X que satisfaz três propriedades:

  1. X em si está em mathcal{A}.
  2. mathcal{A} é fechada sob complementação: se um conjunto A está em mathcal{A}, então X setminus A também está em mathcal{A}.
  3. mathcal{A} é fechada sob uniões contáveis: se A_1, A_2, ldots estão em mathcal{A}, então bigcup_{i=1}^{infty} A_i também está em mathcal{A}.

Medidas

A medida mu é uma função de uma σ-álgebra mathcal{A} para os números reais estendidos [0, infty] que satisfaz:

  1. Não negatividade: mu(A) geq 0 para cada A in mathcal{A}.
  2. Conjunto vazio zero: mu(emptyset) = 0.
  3. Aditividade contável/σ-aditividade: Se A_1, A_2, ldots estão em mathcal{A} e são disjuntos, então mu(bigcup_{i=1}^infty A_i) = sum_{i=1}^infty mu(A_i).

Exemplos de medidas

Vamos analisar alguns exemplos para esclarecer essas definições:

1. Medida de contagem

Para qualquer conjunto X, podemos definir uma medida de contagem mu tal que para cada subconjunto A de X, mu(A) é o número de elementos em A. Esta medida é fácil de entender: ela conta os elementos diretamente.

2. Medida de Lebesgue

Na reta real mathbb{R}, a medida de Lebesgue é a medida mais importante, que estende a noção de comprimento de intervalos para uma coleção mais ampla de conjuntos. A medida de Lebesgue do intervalo [a, b] é b - a.

A B

Ele denota o intervalo [a, b] na linha dos números reais que tem medida de Lebesgue de comprimento b - a.

Integração via teoria da medida

Uma das ferramentas mais poderosas oferecidas pela teoria da medida é um princípio muito geral de integração. É chamado integral de Lebesgue. Ao contrário do integral de Riemann, que é limitado a funções em um intervalo finito com alguma descontinuidade, o integral de Lebesgue pode lidar com casos muito mais complicados.

Integração de Riemann versus Lebesgue

A principal diferença entre os dois é a maneira como a integração soma os valores da função. O integral de Riemann divide o domínio da função, enquanto o integral de Lebesgue divide o intervalo da função.

Para expressar essa noção, considere uma função f definida em um intervalo [a, b]. A soma de Riemann aproxima sua integral levantando uma partição do intervalo:

Integral de Riemann: int_a^b f(x) , dx = lim_{n to infty} sum_{i=1}^n f(x_i^*) Delta x_i,

enquanto o integral de Lebesgue divide o codomínio usando conjuntos de nível.

O poder do integral de Lebesgue surge de sua capacidade de integrar uma ampla classe de funções. Considere uma função que assume um valor em um conjunto de variáveis de medida zero. O integral de Lebesgue pode lidar com isso facilmente porque enfatiza a medida dos conjuntos onde as funções assumem valores particulares.

Aplicação

1. Teoria da probabilidade

Em probabilidade, a estrutura teórica da medida nos permite definir medidas de probabilidade, que generalizam os axiomas tradicionais de Kolmogorov de probabilidade. Matematicamente, uma medida de probabilidade é uma medida na qual o espaço inteiro tem medida 1. Os eventos então se tornam conjuntos mensuráveis, e funções de probabilidade se tornam medidas.

2. Análise funcional

Nesta área, a teoria da medida ajuda a definir espaços como espaço L^p, onde as funções são estudadas sob a análise de limites e transformações, definindo convergências como quase todo espaço e convergência em medida.

Conclusão

A teoria da medida é uma área robusta da matemática que permite uma investigação cuidadosa de tamanho e integração. Ao entender medida, σ-álgebra e o integral de Lebesgue, proporcionamos uma base para lidar rigorosamente com campos, probabilidade e funções. Seu alcance profundo em contextos tanto puros quanto aplicados evidencia sua importância no panorama matemático.


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Teoria da Medida

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