पीएचडी
  1. बीजगणित को समझना  1.1. समूह सिद्धांत  1.1.1. समूहों के मूलभूत गुण  1.1.2. उपसमूह  1.1.3. कोसेट्स और लाग्रेंज प्रमेय  1.1.4. सामान्य उपसमूह  1.1.5. भागफल समूह  1.1.6. समूह होममॉर्फिज़्म  1.1.7. साइलॉ का प्रमेय  1.1.8. फ्री समूहों का परिचय  1.1.9. समूह गतिविधियाँ क्या हैं?  1.1.10. सरल और हल करने योग्य समूह  1.2. रिंग थ्योरी  1.2.1. रिंग और आदर्श  1.2.2. रिंग होम्योमॉर्फिज्म का परिचय  1.2.3. बहुपद रिंग  1.2.4. प्रमुख आदर्श क्षेत्र  1.2.5. विलक्षण अवयव समुच्चय डोमेन  1.2.6. नोएथेरियन रिंग्स  1.2.7. आर्टिनियन रिंग  1.3. क्षेत्र सिद्धांत  1.3.1. क्षेत्र विस्तार  1.3.2. क्षेत्र विभाजन  1.3.3. गैल्वा सिद्धांत  1.3.4. क्षेत्र सिद्धांत में बीजीय बंद  1.3.5. ससीम क्षेत्र  1.3.6. अलौकिक विस्तार  1.4. मॉड्यूल सिद्धांत  1.4.1. रिंग्स के ऊपर माड्यूल्स  1.4.2. फ्री मापांक  1.4.3. मॉड्यूल होमोमोर्फिज़्म  1.4.4. सरल और अर्ध-सरल मापांक  1.4.5. प्रोजेक्टिव माड्यूल्स  1.4.6. इंजेक्टिव मापांक  1.5. रैखिक बीजगणित  1.5.1. वेक्टर स्पेस  1.5.2. रेखीय रूपांतरण  1.5.3. अवगुणांक और अवकल सदिश को समझना  1.5.4. कैनोनिकल रूप  1.5.5. भीतरी गुणन स्थान  1.5.6. स्पेक्ट्रल प्रमेय  1.5.7. एकल मान विश्लेषण
  2. गणितीय विश्लेषण की समझ  2.1. वास्तविक विश्लेषण  2.1.1. वास्तविक संख्याएँ और पूर्णता  2.1.2. अनुक्रमों और श्रेणियों का परिचय  2.1.3. वास्तविक विश्लेषण में निरंतरता  2.1.4. वास्तविक विश्लेषण में व्यक्तिकरण  2.1.5. रीमान एकीककरण  2.1.6. मेट्रिक स्थानों का परिचय  2.1.7. लेबगे मापन  2.2. सम्मिश्र विश्लेषण  2.2.1. श्रेय इमेज ऊपर से अनलॉकिंग फोटो श्रद्धालय विहार  2.2.2. विश्लेषणात्मक फलन  2.2.3. कांटूर इंटीग्रेशन  2.2.4. कॉशी का प्रमेय  2.2.5. अवशेष प्रमेय  2.2.6. कोन्फ़ॉर्मल मैपिंग  2.3. फंक्शनल एनालिसिस  2.3.1. मानक स्थानों को समझना  2.3.2. बनाख स्थानों का परिचय  2.3.3. हिल्बर्ट स्थान  2.3.4. रेखीय ऑपरेटर  2.3.5. स्पेक्ट्रल सिद्धांत  2.3.6. संकुचित संचालक  2.4. मापन सिद्धांत  2.4.1. सिग्मा बीजगणित  2.4.2. मापन सिद्धांत में माप और समाकल  2.4.3. लेबेस्ग इंटीग्रेशन  2.4.4. संविसरण प्रमेय  2.4.5. फुबिनी का प्रमेय  2.5. हार्मोनिक विश्लेषण  2.5.1. फूरिए श्रंखला  2.5.2. फूरियर रूपांतरण  2.5.3. वितरण सिद्धांत  2.5.4. वेवलेट्स
  3. टोपोलॉजी  3.1. सामान्य टोपोलॉजी  3.1.1. खुले और बंद सेट  3.1.2. सततता  3.1.3. सघनता का परिचय  3.1.4. सामान्य टोपोलॉजी में कनेक्टिविटी  3.1.5. मेट्रिक टोपोलॉजी  3.2. बीजगणितीय समिष्टिप्ररूप  3.2.1. मूलभूत समूह  3.2.2. होमोटॉपी सिद्धांत  3.2.3. होमोलॉजी सिद्धांत  3.2.4. कोहोमोलॉजी  3.2.5. सटीक अनुक्रम  3.3. विभेदीय विमीय आकारिकी  3.3.1. स्मूथ मैनीफोल्ड्स  3.3.2. स्पर्शज समष्टि  3.3.3. वेक्टर क्षेत्र  3.3.4. डिफरेंशियल फॉर्म्स को समझना
  4. ज्यामिति  4.1. गतिज्यामिति  4.1.1. डिफरेंशियल ज्योमेट्री में वक्र और सतहें  4.1.2. रीमान ज्यामिति  4.1.3. अंतरात्मक ज्यामिति में ज्योडेसिक को समझना  4.1.4. वक्रता  4.2. बीजगणितीय ज्यामिति  4.2.1. एफाइन और प्रोजेक्टिव वैराइटिज  4.2.2. योजनाएं  4.2.3. विभाजक और प्रतिच्छेत्ता  4.2.4. बीजीय ज्यामिति में सहसमिति  4.3. संगणकीय ज्यामिति  4.3.1. कम्प्यूटेशनल ज्यामिति में उत्तल आवरण का परिचय  4.3.2. त्रिकोणन  4.3.3. वोरोनोई आरेख  4.3.4. ज्यामितीय एल्गोरिदम
  5. संख्या सिद्धांत  5.1. प्राथमिक संख्या सिद्धांत  5.1.1. प्राथमिक संख्या सिद्धांत में भाज्यता  5.1.2. प्राथमिक संख्या सिद्धांत में समरूपता  5.1.3. मॉड्यूलर अंकगणित  5.2. विश्लेषणात्मक संख्या सिद्धांत  5.2.1. प्राइम संख्या प्रमेय  5.2.2. डिरिचलेट श्रेणी  5.2.3. ज़ीटा और L-फंक्शन्स  5.3. बीजगणितीय संख्या सिद्धांत  5.3.1. संख्यात्मक क्षेत्र  5.3.2. बीजगणितीय संख्या सिद्धांत में आदर्शों का परिचय  5.3.3. बीजगणितीय संख्या सिद्धांत में वर्ग समूह  5.3.4. गैलोइस निरूपण
  6. साथ  6.1. कम्प्यूटेशनल संयोज्य  6.1.1. उत्पादक फलन  6.1.2. पुनरावृत्ति संबंध  6.1.3. संचय और संयोजन  6.2. ग्राफ सिद्धांत  6.2.1. समग्र समरूपता  6.2.2. ग्राफ सिद्धांत में सरलता  6.2.3. ग्राफ रंगकण  6.3. अत्यधिक संयोजनिकी  6.3.1. राम्से सिद्धांत  6.3.2. चरम संयोज्य गणित में प्रायिक विधियाँ  6.4. बीजगणितीय संयोजन विज्ञान  6.4.1. बीजगणितीय संयोज्य सिद्धांत में मैट्रिक्स विधियाँ  6.4.2. प्रतिनिधित्व सिद्धांत
  7. तर्क और आधार  7.1. समुच्चय सिद्धांत  7.1.1. जर्मेलो-फ्रेंकल स्वयंसिद्ध  7.1.2. क्रम और कार्डिनल्स  7.2. मॉडल थ्योरी का परिचय  7.2.1. मॉडल थ्योरी में संरचनाएं और सिद्धांत  7.2.2. सघनता प्रमेय  7.3. प्रमाण सिद्धांत  7.3.1. औपचारिक प्रणालियाँ  7.3.2. संगति और पूर्णता
  8. प्रायिकता और सांख्यिकी  8.1. प्रायिकता सिद्धांत  8.1.1. यादृच्छिक चर  8.1.2. अपेक्षा और भिन्नता  8.1.3. सेंट्रल लिमिट थ्योरम  8.2. यादृच्छिक प्रक्रियाएँ  8.2.1. मार्कोव चेन  8.2.2. ब्राउनियन गति  8.3. सांख्यिकी अनुमान  8.3.1. परिकल्पना परीक्षण  8.3.2. प्रतिगमन विश्लेषण
  9. व्यावहारिक गणित  9.1. अनुप्रयुक्त गणित में सांख्यिकीय विश्लेषण  9.1.1. आवर्ती विधियाँ  9.1.2. इंटरपोलेशन  9.1.3. त्रुटि विश्लेषण  9.2. आंशिक अवकल समीकरण  9.2.1. अण्डाकार समीकरण  9.2.2. पैराबोलिक समीकरण  9.2.3. हाइपरबोलिक समीकरण  9.3. डायनामिक सिस्टम्स  9.3.1. अराजकता सिद्धांत  9.3.2. गतिशील प्रणालियों में स्थिरता विश्लेषण

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मापन सिद्धांत


मापन सिद्धांत गणितीय विश्लेषण की वह शाखा है जो सांकेतिक व्यावसायिकता की तकनीकों पर ध्यान केंद्रित करने के बजाय एकीकरण के सैद्धांतिक आधार से संबंधित है। यह संभावना, सांख्यिकी और कार्यात्मक विश्लेषण जैसे कई क्षेत्रों में सहायक है। जिन समस्याओं के लिए आयतन और क्षेत्रफल की पारंपरिक परिभाषाएँ लागू नहीं होतीं, उनके लिए मापन सिद्धांत विकसित किया गया था; इसका आधुनिक विश्लेषण में व्यापक अनुप्रयोग है।

मूलभूत अवधारणाएँ

सबसे मूल स्तर पर, मापन सिद्धांत मापन स्थान की अवधारणा से शुरू होता है। एक मापन स्थान एक त्रय (X, mathcal{A}, mu) है जहाँ:

  • X एक सेट है।
  • mathcal{A} X पर एक σ-बीजगणित है।
  • mu: mathcal{A} to [0, infty] एक मापन है।

मापन का उद्देश्य प्रत्येक X के उपसमुच्चय को mathcal{A} में आकार या आयतन का प्रतिनिधित्व करने वाली एक संख्या सौंपने का एक व्यवस्थित तरीका प्रदान करना है। यह संख्या गैर-ऋणात्मक होती है और अनंत हो सकती है।

σ-बीजगणित

किसी सेट X पर σ-बीजगणित mathcal{A} X के उपसमुच्चयों का एक संग्रह है जिसमें तीन गुण होते हैं:

  1. X स्वयं mathcal{A} में है।
  2. mathcal{A} संपूरकता के तहत बंद है: यदि एक सेट A mathcal{A} में है, तो X setminus A भी mathcal{A} में है।
  3. mathcal{A} गणनीय संघों के तहत बंद है: यदि A_1, A_2, ldots mathcal{A} में हैं, तो bigcup_{i=1}^{infty} A_i भी mathcal{A} में है।

मापन

मापन mu σ-बीजगणित mathcal{A} से विस्तारित वास्तविक संख्याओं [0, infty] तक की एक फलन है जो संतुष्ट होती है:

  1. गैर-ऋणात्मकता: mu(A) geq 0 प्रत्येक A in mathcal{A} के लिए।
  2. शून्य रिक्त सेट: mu(emptyset) = 0।
  3. गणनीय संपूर्णता/σ-संपूर्णता: यदि A_1, A_2, ldots mathcal{A} में हैं और असंलग्न हैं, तो mu(bigcup_{i=1}^infty A_i) = sum_{i=1}^infty mu(A_i)।

मापन के उदाहरण

इन परिभाषाओं को स्पष्ट करने के लिए कुछ उदाहरणों पर नज़र डालें:

1. गिनती मापन

किसी भी सेट X के लिए, हम एक गिनती मापन mu को परिभाषित कर सकते हैं ताकि X के प्रत्येक उपसमुच्चय A के लिए, mu(A) A में तत्वों की संख्या हो। इस मापन को समझना आसान है: यह तत्वों को सीधे गिनता है।

2. लेबेस्ग मापन

वास्तविक रेखा mathbb{R} पर, लेबेस्ग मापन सबसे महत्वपूर्ण मापन है, जो अंतरालों से लेकर सेटों के एक व्यापक संग्रह तक लंबाई की धारणा का विस्तार करता है। अंतराल [a, b] का लेबेस्ग मापन b - a है।

A B

यह वास्तविक संख्या रेखा पर [a, b] को निर्दिष्ट करता है जिसका लेबेस्ग मापन लंबाई b - a है।

मापन सिद्धांत के माध्यम से एकीकरण

मापन सिद्धांत द्वारा प्रदान किए गए सबसे शक्तिशाली उपकरणों में से एक एकीकरण का एक बहुत ही सामान्य सिद्धांत है। इसे लेबेस्ग इंटीग्रल कहा जाता है। राइमान इंटीग्रल, जो सीमित रुकावट वाले फ़ंक्शन तक सीमित है, के विपरीत, लेबेस्ग इंटीग्रल बहुत अधिक जटिल मामलों को संभाल सकता है।

राइमान बनाम लेबेस्ग एकीकरण

दोनों के बीच मुख्य अंतर यह है कि एकीकरण किस प्रकार से फ़ंक्शन मानों को जोड़ता है। राइमान इंटीग्रल फ़ंक्शन के डोमेन को विभाजित करता है, जबकि लेबेस्ग इंटीग्रल फ़ंक्शन के रेंज को विभाजित करता है।

इस धारणा को व्यक्त करने के लिए, अंतराल [a, b] पर परिभाषित एक फ़ंक्शन f पर विचार करें। राइमान योग इसके इंटीग्रल को लगभग करने के लिए अंतराल के एक विभाजन को ऊपर उठाता है:

Riemann integral: int_a^b f(x) , dx = lim_{n to infty} sum_{i=1}^n f(x_i^*) Delta x_i

जबकि लेबेस्ग इंटीग्रल स्तर सेटों का उपयोग करके कोडोमेन को विभाजित करता है।

लेबेस्ग इंटीग्रल की शक्ति इसके विस्तृत वर्ग के फ़ंक्शंस को एकीकृत करने की क्षमता से उत्पन्न होती है। उस फ़ंक्शन पर विचार करें जो शून्य मापन वाले चर के सेट पर एक मान लेता है। लेबेस्ग इंटीग्रल इसे आसानी से संभाल सकता है क्योंकि यह विशेष मानों पर जहाँ फ़ंक्शन सेटों का मापन लेता है, उस पर जोर देता है।

अनुप्रयोग

1. संभाव्यता सिद्धांत

संभाव्यता में, मापन सैद्धांतिक ढांचा हमें संभाव्यता मापन को परिभाषित करने की अनुमति देता है, जो पारंपरिक कोल्मोगोरोव संभाव्यता के स्वयंसिद्धों का सामान्यीकरण करते हैं। गणितीय रूप से, एक संभाव्यता मापन एक मापन होता है जिसमें पूरा स्थान 1 मापन होता है। घटनाएँ तब मापन योग्य सेट बन जाती हैं, और संभाव्यता कार्य मापन हो जाते हैं।

2. कार्यात्मक विश्लेषण

इस क्षेत्र में, मापन सिद्धांत L^p जैसे स्थानों को परिभाषित करने में मदद करता है, जहाँ सीमाएँ और कायाकल्प के लेंस के तहत कार्यों का अध्ययन किया जाता है, जैसे कि लगभग-प्रत्येक स्थान में अभिसरण और मापन में अभिसरण को परिभाषित करते हैं।

निष्कर्ष

मापन सिद्धांत गणित का एक मजबूत क्षेत्र है जो आकार और एकीकरण की सावधानीपूर्वक जाँच की अनुमति देता है। मापन, σ-बीजगणित और लेबेस्ग इंटीग्रल को समझकर, हम क्षेत्रों, संभाव्यता और कार्यों को सख्ती से संभालने के लिए एक आधार प्रदान करते हैं। इसके गहरे पारगमन ने इसे शुद्ध और अनुप्रयुक्त दोनों संदर्भों में महत्वपूर्ण बना दिया है, और यह गणितीय परिदृश्य में इसकी महत्वपूर्ण भूमिका को दर्शाता है।


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