Doctorado
  1. Comprendiendo el Álgebra  1.1. Teoría de grupos  1.1.1. Propiedades básicas de los grupos  1.1.2. Subgrupos  1.1.3. Cosets y el teorema de Lagrange  1.1.4. Subgrupos normales  1.1.5. Grupo cociente  1.1.6. Homomorfismos de grupos  1.1.7. Teorema de Sylow  1.1.8. Introducción a los grupos libres  1.1.9. ¿Qué son las actividades grupales?  1.1.10. Grupos simples y resolubles  1.2. Teoría de anillos  1.2.1. Anillos e ideales  1.2.2. Introducción a los homomorfismos de anillos  1.2.3. Anillos polinomiales  1.2.4. Dominios Ideales Principales  1.2.5. Dominios de factorización única  1.2.6. Anillos noetherianos  1.2.7. Anillos de Artiniano  1.3. Teoría de campos  1.3.1. Extensiones de campos  1.3.2. División de áreas  1.3.3. Teoría de Galois  1.3.4. Cierre algebraico en teoría de campos  1.3.5. Campos finitos  1.3.6. Extensión trascendental  1.4. Teoría de módulos  1.4.1. Módulos sobre anillos  1.4.2. Módulos libres  1.4.3. Morfismo de módulos  1.4.4. Módulos simples y semisimples  1.4.5. Módulos proyectivos  1.4.6. Módulos inyectivos  1.5. Álgebra lineal  1.5.1. Espacio vectorial  1.5.2. Transformaciones lineales  1.5.3. Comprendiendo Valores Propios y Vectores Propios  1.5.4. Forma canónica  1.5.5. Espacio de producto interior  1.5.6. Teorema Espectral  1.5.7. Descomposición en valores singulares
  2. Entendiendo el Análisis Matemático  2.1. Análisis real  2.1.1. Números reales y completitud  2.1.2. Introducción a las secuencias y series  2.1.3. Continuidad en el análisis real  2.1.4. Diferenciación en el análisis real  2.1.5. Integración de Riemann  2.1.6. Introducción a los espacios métricos  2.1.7. Medida de Lebesgue  2.2. Análisis complejo  2.2.1. Números complejos  2.2.2. Funciones analíticas  2.2.3. Integración de contornos  2.2.4. Teorema de Cauchy  2.2.5. Teorema del residuo  2.2.6. Mapeo conforme  2.3. Análisis funcional  2.3.1. Comprender ubicaciones estándar  2.3.2. Introducción a los espacios de Banach  2.3.3. Espacios de Hilbert  2.3.4. Operadores lineales  2.3.5. Teoría espectral  2.3.6. Operadores compactos  2.4. Teoría de la medida  2.4.1. Álgebra sigma  2.4.2. Medidas e integrales en la teoría de la medida  2.4.3. Integración de Lebesgue  2.4.4. Teorema de convergencia  2.4.5. Teorema de Fubini  2.5. Análisis Armónico  2.5.1. Serie de Fourier  2.5.2. Transformada de Fourier  2.5.3. Teoría de la distribución  2.5.4. Wavelets
  3. Topología  3.1. Topología general  3.1.1. Conjuntos abiertos y cerrados  3.1.2. Continuidad  3.1.3. Introducción a la compacidad  3.1.4. Conectividad en topología general  3.1.5. Topología métrica  3.2. Topología algebraica  3.2.1. Grupo fundamental  3.2.2. Teoría de la homotopía  3.2.3. Teoría de la homología  3.2.4. Cohomología  3.2.5. Secuencia exacta  3.3. Topología diferencial  3.3.1. Variedades suaves  3.3.2. Espacio tangente  3.3.3. Campos vectoriales  3.3.4. Comprensión de las Formas Diferenciales
  4. Geometría  4.1. Geometría diferencial  4.1.1. Curvas y superficies en geometría diferencial  4.1.2. Geometría Riemanniana  4.1.3. Comprendiendo las geodésicas en la geometría diferencial  4.1.4. Curvatura  4.2. Geometría algebraica  4.2.1. Variedades afines y proyectivas  4.2.2. Planes  4.2.3. Separadores e intersecciones  4.2.4. Cohomología en geometría algebraica  4.3. Geometría Computacional  4.3.1. Introducción a las cubiertas convexas en geometría computacional  4.3.2. Triangulación  4.3.3. Diagrama de Voronoi  4.3.4. Algoritmos Geométricos
  5. Teoría de números  5.1. Teoría de números elemental  5.1.1. Divisibilidad en la teoría de números elemental  5.1.2. Congruencia en teoría de números elemental  5.1.3. Aritmética modular  5.2. Teoría analítica de números  5.2.1. Teorema de los números primos  5.2.2. Series de Dirichlet  5.2.3. Zeta y funciones L  5.3. Teoría de números algebraicos  5.3.1. Campos numéricos  5.3.2. Introducción a ideales en teoría de números algebraicos  5.3.3. Grupos de clases en teoría de números algebraicos  5.3.4. Representación de Galois
  6. Compañerismo  6.1. Combinatoria computacional  6.1.1. Función generadora  6.1.2. Relación de recurrencia  6.1.3. Ppermutaion y combinaciones  6.2. Teoría de grafos  6.2.1. Isomorfismo de grafos  6.2.2. Planicidad en teoría de grafos  6.2.3. Coloración de grafos  6.3. Combinatoria extrema  6.3.1. Teoría de Ramsey  6.3.2. Métodos probabilísticos en combinatoria extrema  6.4. Combinatoria algebraica  6.4.1. Métodos de matrices en combinatoria algebraica  6.4.2. Teoría de la representación
  7. Argumentos y fundamentos  7.1. Teoría de conjuntos  7.1.1. Axiomas de Zermelo-Fraenkel  7.1.2. Ordinales y cardinales  7.2. Introducción a la teoría de modelos  7.2.1. Estructuras y teorías en la teoría de modelos  7.2.2. Teorema de compacidad  7.3. Teoría de la demostración  7.3.1. Sistemas formales  7.3.2. Consistencia y completitud
  8. Probabilidad y Estadística  8.1. Teoría de la probabilidad  8.1.1. Variables aleatorias  8.1.2. Expectativa y variación  8.1.3. Teorema central del límite  8.2. Procesos estocásticos  8.2.1. Cadenas de Markov  8.2.2. Movimiento Browniano  8.3. Inferencia estadística  8.3.1. Pruebas de hipótesis  8.3.2. Análisis de regresión
  9. Matemáticas aplicadas  9.1. Análisis numérico en matemáticas aplicadas  9.1.1. Métodos iterativos  9.1.2. Interpolación  9.1.3. Análisis de errores  9.2. Ecuaciones diferenciales parciales  9.2.1. Ecuación elíptica  9.2.2. Ecuación parabólica  9.2.3. Ecuaciones hiperbólicas  9.3. Sistemas dinámicos  9.3.1. Teoría del caos  9.3.2. Análisis de estabilidad en sistemas dinámicos

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Teoría de la medida


La teoría de la medida es una rama del análisis matemático que se ocupa de la base teórica de la integración en lugar de centrarse en las técnicas de integración. Es útil en muchos campos como la probabilidad, la estadística y el análisis funcional. Desarrollada para problemas donde las definiciones clásicas de volumen y área no se aplican, la teoría de la medida tiene amplias aplicaciones en el análisis moderno.

Conceptos básicos

En el nivel más básico, la teoría de la medida comienza con el concepto de un espacio de medida. Un espacio de medida es un triplete (X, mathcal{A}, mu) donde:

  • X es un conjunto.
  • mathcal{A} es una σ-álgebra sobre X.
  • mu: mathcal{A} to [0, infty] es una medida.

El objetivo de la medida es proporcionar una forma sistemática de asignar un número que pueda representar el tamaño o volumen a cada subconjunto de X en mathcal{A}. Este número es no negativo y puede ser infinito.

σ-álgebra

Una σ-álgebra mathcal{A} en un conjunto X es una colección de subconjuntos de X que satisfacen tres propiedades:

  1. X en sí mismo está en mathcal{A}.
  2. mathcal{A} es cerrada bajo la complementación: si un conjunto A está en mathcal{A}, entonces X setminus A también está en mathcal{A}.
  3. mathcal{A} es cerrada bajo uniones contables: si A_1, A_2, ldots están en mathcal{A}, entonces bigcup_{i=1}^{infty} A_i también está en mathcal{A}.

Medidas

La medida mu es una función de una σ-álgebra mathcal{A} a los números reales extendidos [0, infty] que satisface:

  1. No negatividad: mu(A) geq 0 para cada A in mathcal{A}.
  2. Cero Conjunto Vacío: mu(emptyset) = 0.
  3. Aditividad contable/σ-aditividad: Si A_1, A_2, ldots están en mathcal{A} y son disjuntos, entonces mu(bigcup_{i=1}^infty A_i) = sum_{i=1}^infty mu(A_i).

Ejemplos de medidas

Veamos algunos ejemplos para aclarar estas definiciones:

1. Medida de conteo

Para cualquier conjunto X, podemos definir una medida de conteo mu tal que para cada subconjunto A de X, mu(A) es el número de elementos en A. Esta medida es fácil de entender: cuenta los elementos directamente.

2. Medida de Lebesgue

En la recta real mathbb{R}, la medida de Lebesgue es la medida más importante, que extiende la noción de longitud de intervalos a una colección más amplia de conjuntos. La medida de Lebesgue del intervalo [a, b] es b - a.

A B

Denota el intervalo [a, b] en la línea de números reales que tiene una medida de Lebesgue de longitud b - a.

Integración a través de la teoría de la medida

Una de las herramientas más poderosas que ofrece la teoría de la medida es un principio de integración muy general. Se llama la integral de Lebesgue. A diferencia de la integral de Riemann, que se limita a funciones en un intervalo finito con algunas discontinuidades, la integral de Lebesgue puede manejar casos mucho más complicados.

Integración de Riemann versus Lebesgue

La diferencia principal entre las dos es la forma en que la integración suma los valores de las funciones. La integral de Riemann divide el dominio de la función, mientras que la integral de Lebesgue divide el rango de la función.

Para expresar esta noción, considere una función f definida en un intervalo [a, b]. La suma de Riemann aproxima su integral elevando una partición del intervalo:

Integral de Riemann: int_a^b f(x) , dx = lim_{n to infty} sum_{i=1}^n f(x_i^*) Delta x_i,

mientras que la integral de Lebesgue divide el codominio usando conjuntos de nivel.

El poder de la integral de Lebesgue surge de su capacidad para integrar una amplia clase de funciones. Considere una función que toma un valor en un conjunto de variables de medida cero. La integral de Lebesgue puede manejar esto fácilmente porque enfatiza la medida de los conjuntos donde las funciones toman valores particulares.

Aplicación

1. Teoría de probabilidades

En la probabilidad, el marco teórico de la medida nos permite definir medidas de probabilidad, que generalizan los axiomas tradicionales de Kolmogorov de la probabilidad. Matemáticamente, una medida de probabilidad es una medida en la que todo el espacio tiene medida 1. Los eventos se convierten entonces en conjuntos medibles y las funciones de probabilidad en medidas.

2. Análisis funcional

En esta área, la teoría de la medida ayuda a definir espacios como el espacio L^p, donde se estudian funciones bajo la lupa de límites y transformaciones, definiendo la convergencia como casi en cada espacio y convergencia en medida.

Conclusión

La teoría de la medida es un área robusta de las matemáticas que permite una investigación cuidadosa del tamaño y la integración. Al comprender la medida, la σ-álgebra y la integral de Lebesgue, proporcionamos una base para tratar rigurosamente campos, probabilidades y funciones. Su profundo alcance tanto en contextos puros como aplicados subraya su importancia en el panorama matemático.


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