Теорема Фубини

Теорема Фубини — это фундаментальный результат теории меры, который позволяет менять порядок интегрирования в кратном интеграле. Эта теорема особенно полезна в математике при работе с интегралами по многомерным пространствам. Теорема названа в честь итальянского математика Гвидо Фубини.

Введение в теорию измерения

Прежде чем углубляться в теорему Фубини, важно понять некоторые основы теории меры. Теория меры расширяет концепцию интегрирования за пределы простого суммирования площадей под кривыми и позволяет более строго и обобщенно трактовать понятие интегрирования.

В теории меры мы имеем дело с измерениями, которые можно рассматривать как обобщенные понятия длины, площади или объема. Измерения помогают нам измерять размер или объем пространств, которые невозможно легко понять с помощью элементарной геометрии.

Понимание теоремы Фубини

Мы начинаем с основного утверждения теоремы Фубини. Рассмотрим два σ-конечных измеримых пространства ( (X, mathcal{A}, mu) ) и ( (Y, mathcal{B}, nu) ). Теорема Фубини утверждает, что если ( f: X times Y rightarrow mathbb{R} ) — измеримая функция, которая абсолютно интегрируема относительно произведения меры, то мы можем вычислить двойной интеграл от ( f ) на произведении пространства путём последовательного интегрирования:

(int_{X times Y} f(x, y) , d(mu times nu)(x, y) = int_X left(int_Y f(x, y) , dnu(y)right) , dmu(x) = int_Y left(int_X f(x, y) , dmu(x)right) , dnu(y))

Уравнение, по существу, говорит нам, что интеграл функции по произведению пространства можно свести к интегралу по одной переменной, а затем по другой переменной.

Предварительные условия

Чтобы полностью понять теорему Фубини, необходимо понять следующие концепции:

• Мера измеримого пространства: Мера измеримого пространства является тройкой ((X, mathcal{A}, mu)), состоящей из множества (X), σ-алгебры (mathcal{A}) на (X) и меры (mu), которая присваивает каждому множеству в (mathcal{A}) неотрицательное расширенное вещественное число.
• σ-конечная мера: Мера (mu) называется σ-конечной, если пространство (X) можно разбить на счётное объединение измеримых множеств, каждое из которых имеет конечную меру.
• Произведение меры: Произведение меры (mu times nu) определяется на произведении σ-алгебры (mathcal{A} times mathcal{B}) таким образом, что для любого прямоугольного региона (A times B), где (A in mathcal{A}) и (B in mathcal{B}), ((mu times nu)(A times B) = mu(A)nu(B)).

Визуальный пример интегрирования по пространствам произведения

Рассмотрим прямоугольную область (A times B) на плоскости, где (A) лежит вдоль горизонтальной оси (X), а (B) лежит вдоль вертикальной оси (Y). Теорема Фубини помогает нам выполнять интегрирование по этой двумерной области, разбивая его на интегрирование сначала вдоль одной оси, а затем вдоль другой.

Пример: Вычисление двойных интегралов

Для более конкретного примера рассмотрим функцию ( f(x, y) = e^{-(x^2 + y^2)} ). Мы хотим интегрировать эту функцию по всему ( mathbb{R}^2 ).

Согласно теореме Фубини, можно сначала проинтегрировать по (y), фиксируя (x), а затем по (x):

(int_{-infty}^{infty} left(int_{-infty}^{infty} e^{-(x^2 + y^2)} , dy right) dx)

Или, альтернативно, можно сначала проинтегрировать по (x), а затем по (y):

(int_{-infty}^{infty} left(int_{-infty}^{infty} e^{-(x^2 + y^2)} , dx right) dy)

Независимо от порядка интегрирования, результат будет ( pi ). Эта коммутативность — это сила, предоставляемая теоремой Фубини, что особенно важно для сложных или вычислительно интенсивных функций.

Приложения в теории вероятностей и статистике

Теорема Фубини имеет множество применений в теории вероятностей и статистике, часто используясь для упрощения интегралов в ожидаемых значениях и дисперсиях случайных величин, определённых по совместным распределениям.

Предположим, что у нас есть две непрерывные случайные величины (X) и (Y) с совместной плотностью вероятности (f_{XY}(x, y)). Ожидаемое значение функции (g(X, Y)) даётся:

(mathbb{E}[g(X, Y)] = int_{-infty}^{infty} int_{-infty}^{infty} g(x, y) f_{XY}(x, y) , dy , dx)

Согласно теореме Фубини, можно поменять порядок интегрирования, если это упростит вычисления:

(mathbb{E}[g(X, Y)] = int_{-infty}^{infty} int_{-infty}^{infty} g(x, y) f_{XY}(x, y) , dx , dy)

Случай с произведением функций

Интересный сценарий возникает, когда функция (f(x, y)) может быть выражена как произведение двух различных функций (x) и (y), т.е., (f(x, y) = h(x)k(y)). Теорема Фубини утверждает:

(int_{X times Y} h(x)k(y) , d(mu times nu)(x, y) = left(int_X h(x) , dmu(x)right)left(int_Y k(y) , dnu(y))

Произведение меры таких функций явно разделяется, что демонстрирует независимость переменных в интегралах.

Свойства и условия

Теорема Фубини применяется при соблюдении определённых условий; прежде всего, функция (f(x, y)) должна быть измеримой и абсолютно интегрируемой на (X times Y). Измеримость гарантирует, что функция уважает структуру, обусловленную σ-алгеброй, а абсолютная интегрируемость гарантирует конечность интеграла.

Полная интегрируемость гораздо важнее, чем простая интегрируемость. Она гарантирует:

• ( int_{X times Y} |f(x, y)| , d(mu times nu)(x, y) < infty )

Это условие предотвращает изменение порядка интегрирования в случаях, когда интеграл существует, но изменение может привести к разным суммам.

Заключение

Теорема Фубини является мощным инструментом в анализе, особенно в теории меры, упрощая подход к оценке сложных многомерных интегралов. Используемая как в чистой математике, так и в прикладных дисциплинах, таких как статистика и физика, эта теорема оказывается решающей при выполнении кажущихся невозможными интегрирований. Возможность менять порядок интегрирования без изменения результата значительно упрощает аналитическую и вычислительную сложность, связанную с обработкой многомерных наборов данных.

комментарии