フビーニの定理

フビーニの定理は、測度論における基本的な結果であり、多重積分において積分の順序を変更する能力を提供します。この定理は、多次元空間にわたる積分を扱う際に数学で特に有用です。この定理は、イタリアの数学者グイド・フビーニの名にちなんで名付けられました。

測度論の紹介

フビーニの定理に入る前に、測度論についての基本を理解することが重要です。測度論は、曲線の下の領域の単純な総和を超えて積分の概念を拡張し、より厳密で一般化された積分の概念を可能にします。

測度論では、長さ、面積、体積の一般化された概念と考えることができる測定を扱います。測定は、基本的な幾何学を使って容易に理解できない空間のサイズや体積を測るのに役立ちます。

フビーニの定理の理解

フビーニの定理の基本的な声明から始めます。2つのσ有限測度空間 ( (X, mathcal{A}, mu) ) と ( (Y, mathcal{B}, nu) ) を考えます。フビーニの定理は、( f: X times Y rightarrow mathbb{R} ) が積測度に対して絶対可積分な可測関数である場合、積空間上の ( f ) の重積分を反復積分によって計算できることを述べています：

(int_{X times Y} f(x, y) , d(mu times nu)(x, y) = int_X left(int_Y f(x, y) , dnu(y)right) , dmu(x) = int_Y left(int_X f(x, y) , dmu(x)right) , dnu(y))

この方程式は本質的に、積空間上の関数の積分が、一変数の積分ともう一方の変数の積分に減らされることを示しています。

前提条件

フビーニの定理を完全に理解するためには、次の概念を理解することが必要です：

• 測度空間: 測度空間は、集合 (X)、σ-代数 (mathcal{A}) 、および非負の拡張実数を (mathcal{A}) の各集合に割り当てる測度 (mu) から成る3組の組 ((X, mathcal{A}, mu)) です。
• σ有限測度: 測度 (mu) は、空間 (X) が有限測度を持つ可測集合の可算和に分解できる場合、σ有限と呼ばれます。
• 積測度: 積測度 (mu times nu) は、任意の長方形領域 (A times B) に対して ((mu times nu)(A times B) = mu(A)nu(B)) となるように積σ-代数 (mathcal{A} times mathcal{B}) 上で定義されます。

積場所にわたる積分の視覚的な例

水平軸空間(X)に(A)が横たわり、垂直軸空間(Y)に(B)が横たわる平面の長方形領域 (A×B) を考えます。フビーニの定理は、この2D領域での積分を、最初に1つの軸に沿った積分、次に他の軸に沿った積分に分解するのを助けます。

例: 重積分の計算

より具体的な例として、関数 ( f(x, y) = e^{-(x^2 + y^2)} ) を考えます。我々は、全ての ( mathbb{R}^2 ) にわたってこの関数を積分したいと思います。

フビーニの定理によれば、(x) を固定して (y) に関して最初に積分し、その後 (x) に関して積分できます:

(int_{-infty}^{infty} left(int_{-infty}^{infty} e^{-(x^2 + y^2)} , dy right) dx)

または、最初に(x)に関して積分し、それから(y)に関して積分できます：

(int_{-infty}^{infty} left(int_{-infty}^{infty} e^{-(x^2 + y^2)} , dx right) dy)

積分の順序に関係なく、結果は ( pi ) になります。これは、フビーニの定理が提供する力であり、特に複雑または計算的に負担がかかる関数にとって重要です。

確率と統計での応用

フビーニの定理は、確率論と統計学において多くの応用があり、共分布で定義されたランダム変数の期待値や分散の積分を簡素化するためにしばしば使用されます。

2つの連続ランダム変数 (X) と (Y) が共同確率密度関数 (f_{XY}(x, y)) を持っていると仮定します。関数 (g(X, Y)) の期待値は次のように与えられます：

(mathbb{E}[g(X, Y)] = int_{-infty}^{infty} int_{-infty}^{infty} g(x, y) f_{XY}(x, y) , dy , dx)

フビーニの定理によれば、計算を簡素化するために積分の順序を変更することができます：

(mathbb{E}[g(X, Y)] = int_{-infty}^{infty} int_{-infty}^{infty} g(x, y) f_{XY}(x, y) , dx , dy)

関数の積の場合

関数 (f(x, y)) が (x) と (y) の異なる2つの関数の積として表現できる場合、興味深いシナリオが発生します。つまり、(f(x, y) = h(x)k(y)) です。フビーニ定理は次のように述べています：

(int_{X times Y} h(x)k(y) , d(mu times nu)(x, y) = left(int_X h(x) , dmu(x)right)left(int_Y k(y) , dnu(y))

そのような関数の積測度は明確に分離され、積分における変数の独立性を示します。

特性と条件

フビーニの定理は、特定の条件が満たされる場合に適用されます。主に、関数 (f(x, y)) は可測であり、 (X times Y) で絶対可積分でなければなりません。可測性は、関数がσ代数によって誘導される構造を尊重することを保証し、絶対可積分性は積分の有限性を保証します。

完全な可積分性は単なる可積分性よりもはるかに重要です。それは以下を保証します：

• ( int_{X times Y} |f(x, y)| , d(mu times nu)(x, y) < infty )

この条件は、積分が存在するものの、順序を変更すると異なる和になるかもしれない場合に備えて積分の順序を変えるのを防ぎます。

結論

フビーニの定理は、特に測度論内での解析における強力なツールであり、複雑な多次元積分の評価のためのより簡単なアプローチを提供します。純粋数学、統計学、物理学などの応用分野で使用されるかどうかにかかわらず、この定理は、多次元データセットの処理に関連する分析的および計算的複雑さを劇的に簡略化する結果を変更せずに積分の順序を変える能力を示しています。

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