फुबिनी का प्रमेय

फुबिनी का प्रमेय मापन सिद्धांत में एक मौलिक परिणाम है जो एकाधिक समाकलन में समाकलन के क्रम को बदलने की क्षमता प्रदान करता है। यह प्रमेय विशेष रूप से उन मामलों में उपयोगी है जब बहुआयामी स्थानों पर समाकलन के साथ काम करना पड़ता है। इस प्रमेय का नाम इतालवी गणितज्ञ गुइडो फुबिनी के नाम पर रखा गया है।

मापन सिद्धांत का परिचय

फुबिनी के प्रमेय में गोता लगाने से पहले, मापन सिद्धांत के बारे में कुछ बुनियादी बातें समझना महत्वपूर्ण है। मापन सिद्धांत समाकलन के मौलिक जोड़ के बाहर समाकलन की अवधारणा को विस्तारित करता है और समाकलन की अधिक कठोर और सामान्यीकृत अवधारणा की अनुमति देता है।

मापन सिद्धांत में, हम मापन के साथ काम करते हैं, जिन्हें लंबाई, क्षेत्र, या आयतन की सामान्यीकृत धारणाओं के रूप में सोचा जा सकता है। मापन हमें उन स्थानों के आकार या आयतन को मापने में मदद करता है जो प्राथमिक ज्यामिति का उपयोग करके आसानी से नहीं समझे जा सकते हैं।

फुबिनी के प्रमेय को समझना

हम फुबिनी के प्रमेय के आवश्यक कथन से शुरू करते हैं। दो σ-समाप्त मापन स्थानों ( (X, mathcal{A}, mu) ) और ( (Y, mathcal{B}, nu) ) पर विचार करें। फुबिनी का प्रमेय बताता है कि यदि ( f: X times Y rightarrow mathbb{R} ) एक मापन समर्थ फ़ंक्शन है जो उत्पाद माप के संदर्भ में पूर्ण रूप से समाकलनीय है, तो हम उत्पाद स्थान पर ( f ) के द्विगुण समाकलन की गणना क्रमिक समाकलन द्वारा कर सकते हैं:

(int_{X times Y} f(x, y) , d(mu times nu)(x, y) = int_X left(int_Y f(x, y) , dnu(y)right) , dmu(x) = int_Y left(int_X f(x, y) , dmu(x)right) , dnu(y))

यह समीकरण मूल रूप से हमें बताता है कि किसी फ़ंक्शन के उपर एक उत्पाद स्थान के समाकल को एक चर के साथ समाकल और फिर दूसरे चर के साथ समाकल में कम किया जा सकता है।

पूर्व आवश्यकताएँ

फुबिनी के प्रमेय को पूरी तरह से समझने के लिए निम्नलिखित अवधारणाओं को समझना आवश्यक है:

• मापन स्थान: मापन स्थान एक तिकडी ((X, mathcal{A}, mu)) होती है जिसमें एक सेट (X), (X) पर एक σ-बीजगचणा (mathcal{A}), और एक माप (mu) होता है जो (mathcal{A}) के हर सेट के लिए एक गैर-ऋणात्मक विस्तारित वास्तविक संख्या निर्दिष्ट करता है।
• σ-समाप्त माप: एक माप (mu) को σ-समाप्त कहा जाता है यदि स्थान (X) को गिनती गई प्राप्य आधार में विभाजित किया जा सकता है, जिनमें से प्रत्येक का माप सीमित होता है।
• उत्पाद माप: उत्पाद माप (mu times nu) एक उत्पाद σ-बीजगचणा (mathcal{A} times mathcal{B}) पर इस प्रकार परिभाषित होता है कि किसी भी आयाताकार क्षेत्र (A times B) के लिए जहाँ (A in mathcal{A}) और (B in mathcal{B}), ((mu times nu)(A times B) = mu(A)nu(B)) हो।

उत्पाद स्थानों के विपरीत समाकल का दृश्य उदाहरण

विचार करें कि विमान में एक आयाताकार क्षेत्र (A times B) जिसमें (A) क्षैतिज अक्ष स्थान (X) में और (B) लंबवत अक्ष स्थान (Y) में होता है। फुबिनी का प्रमेय हमें इस द्विविमीय क्षेत्र पर समाकलन करने में मदद करता है, इसे पहले एक अक्ष के साथ और फिर दूसरे अक्ष के साथ किया गया समाकल का उदाहरण देता है।

उदाहरण: द्विगुण समाकलन की गणना करना

एक और ठोस उदाहरण के लिए, एक फ़ंक्शन पर विचार करें ( f(x, y) = e^{-(x^2 + y^2)} )। हम इस फ़ंक्शन को पूरे ( mathbb{R}^2 ) पर समाकलन करना चाहते हैं।

फुबिनी के प्रमेय के अनुसार, हम सबसे पहले (y) के संदर्भ में समाकलन कर सकते हैं जब (x) स्थिर रहता है, और फिर (x) के संदर्भ में:

(int_{-infty}^{infty} left(int_{-infty}^{infty} e^{-(x^2 + y^2)} , dy right) dx)

वैकल्पिक रूप से, हम सबसे पहले (x) के संदर्भ में समाकलन कर सकते हैं और फिर (y) के संदर्भ में:

(int_{-infty}^{infty} left(int_{-infty}^{infty} e^{-(x^2 + y^2)} , dx right) dy)

समाकलन के क्रम की परवाह किए बिना, परिणाम ( pi ) होगा। यह समाकलियों की शक्ति है जो फुबिनी का प्रमेय प्रदान करता है, जो विशेष रूप से जटिल या संगणकीय गहन फ़ंक्शनों के लिए महत्वपूर्ण होता है।

संभाव्यता और सांख्यिकी में अनुप्रयोग

संभाव्यता सिद्धांत और सांख्यिकी में फुबिनी का प्रमेय के कई अनुप्रयोग होते हैं, अक्सर संयुक्त वितरणों पर विविधाताओं और अनुमाननों के मान समाकलों को सरल करने के लिए उपयोग किया जाता है।

मान लें कि हमारे पास दो निरंतर यादृच्छिक चर (X) और (Y) हैं जिनकी संयुक्त संभावना घनत्व फ़ंक्शन (f_{XY}(x, y)) है। एक फ़ंक्शन (g(X, Y)) का अपेक्षित मान निम्नलिखित है:

(mathbb{E}[g(X, Y)] = int_{-infty}^{infty} int_{-infty}^{infty} g(x, y) f_{XY}(x, y) , dy , dx)

फुबिनी के प्रमेय के अनुसार, हम अगर यह सरल करता है तो हम समाकलन के क्रम को बदल सकते हैं:

(mathbb{E}[g(X, Y)] = int_{-infty}^{infty} int_{-infty}^{infty} g(x, y) f_{XY}(x, y) , dx , dy)

फंक्शनों के उत्पाद के मामले में

एक रोचक परिस्थिति तब उत्पन्न होती है जब फ़ंक्शन (f(x, y)) को (x) और (y) के दो विभिन्न फंक्शनों के उत्पाद के रूप में व्यक्त किया जा सकता है, अर्थात, (f(x, y) = h(x)k(y))। फुबिनी का प्रमेय बताता है:

(int_{X times Y} h(x)k(y) , d(mu times nu)(x, y) = left(int_X h(x) , dmu(x)right)left(int_Y k(y) , dnu(y))

ऐसे फंक्शनों के उत्पाद माप को स्पष्ट रूप से अलग करता है, जो समाकलों में चर की स्वतंत्रता को दर्शाता है।

गुण और शर्तें

फुबिनी का प्रमेय विशिष्ट शर्तों के अंतर्गत लागू होता है जिन्हें संतुष्ट किया जाना चाहिए; मुख्य रूप से, फ़ंक्शन (f(x, y)) को (X times Y) पर मापन समर्थन और पूर्ण रूप से समाकलनीय होना चाहिए। मापकता यह सुनिश्चित करता है कि फ़ंक्शन σ-बीजगचणा द्वारा व्यक्त संरचना का पालन करता है, और पूर्ण रूप से समाकलनीयता समाकल के सीमितता को सुनिश्चित करता है।

पूर्ण समाकलनीयता साधारण समाकलनीयता से ज्यादा महत्वपूर्ण होती है। यह सुनिश्चित करता है:

• ( int_{X times Y} |f(x, y)| , d(mu times nu)(x, y) < infty )

यह शर्त उन परिस्थितियों को रोकती है जहाँ समाकल होता है, लेकिन समाकलन के क्रम को बदलना विभिन्न योगों की ओर ले जा सकता है।

निष्कर्ष

फुबिनी का प्रमेय विश्लेषण में एक शक्तिशाली उपकरण है, विशेषरूप से मापन सिद्धांत के भीतर, जो जटिल बहुआयामी समाकलों को मूल्यांकन करने के लिए सरल दृष्टिकोण सुगम बनाता है। चाहे यह शुद्ध गणित में उपयोग किया जाए या सांख्यिकी और भौतिकी जैसे अनुप्रायोजित विषयों में, यह प्रमेय बहुआयामी डेटा सेट्स के साथ निपटने में विश्लेषणात्मक और संगणकीय जटिलता को काफी सरल करता है, बिना परिणाम को बदले क्रम के समाकलन बदलने की क्षमता।

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