Измерение и интегралы в теории меры

В математическом анализе теория меры — это раздел, который исследует обобщенные понятия длины, площади и объема. Она предоставляет основополагающий язык для интеграции функций на сложных множествах и пространствах. В этом изложении рассматриваются концепции меры и интеграла, детализируются их определения, свойства и применения, сопоставленные с интуитивными представлениями.

Введение в теорию измерения

Чтобы полностью понять теорию меры, начнем с элементарного понятия: определения размера множества. В простых терминах, когда мы измеряем множество, мы пытаемся присвоить неотрицательное число, которое характеризует его «размер». Изначально это кажется простым: размер интервала [a, b] на числовой прямой равен его длине, вычисляемой как b - a. Но как насчет более сложных множеств?

Рассмотрим следующие вопросы:

• Какой "размер" точки? — Интуитивно, он должен быть равен нулю, поскольку точка не имеет длины.
• Что вы думаете о множестве точек? — Если оно счетное, как рациональные числа в интервале, ожидайте, что его размер также равен нулю.

Определение меры

Мера — это систематический способ присвоения числа каждому подходящему подмножеству вещественных чисел (часто называемых измеримыми) или, более общо, подмножеству заданного пространства. Формально, мера μ на множестве X — это функция, которая присваивает неотрицательное вещественное число или ∞ подмножествам X и удовлетворяет трем условиям:

1. Неотрицательность: для каждого измеримого множества A μ(A) >= 0.
2. Нулевое множество: μ(∅) = 0.
3. Счетная аддитивность: Для любой счетной совокупности попарно непересекающихся измеримых множеств {A_i} мера объединения равна сумме их мер:

   μ(∪ A_i) = Σ μ(A_i)

Построение мер

Одна из простейших мер называется мерой Лебега на вещественной прямой, которая дает интервалам общую длину. Например, мера Лебега λ на вещественных числах подчиняется: λ([a, b]) = b - a.

Для построения более сложных мер мы используем такие понятия, как σ-алгебра и внешняя мера. σ-алгебра — это совокупность подмножеств множества X, которая включает пустое множество и замкнута относительно дополнения и счетных объединений. Для любого множества X наименьшая σ-алгебра, содержащая все открытые интервалы, называется борелевой σ-алгеброй, обозначаемой B(X).

Пример: борелевая мера

Чтобы визуализировать, рассмотрим реальную линию R:

Покрытие может означать использование интервалов, таких как (-∞, 0), (0, ∞) и другие. Борелевские измеримые множества возникают из этих интервалов путем применения операций счетного объединения, пересечения и дополнения.

Интегрирование относительно меры

Процесс интегрирования обобщает вычисление площадей и сумм под кривыми. Когда мы интегрируем функцию относительно меры, мы расширяем понятие интеграла Римана для работы с более сложными функциями и пространствами.

Имея меру μ на измеримом пространстве (X, Σ, μ), где Σ — это σ-алгебра и μ — это мера, интеграл функции f: X → [0, ∞] на множестве X записывается как:

∫ f dμ

Пример: Интегрирование простых сигналов

Предположим, функция f(x) равна 1 для x в [a, b] и 0 в остальных случаях. Ее интеграл Лебега равен мере Лебега [a, b]:

∫ f dλ = λ([a, b]) = b - a

Представьте это интегрирование:

Свойства интеграла Лебега

Интеграл Лебега имеет несколько важных свойств, которые делают его универсальным инструментом:

1. Линейность: Для любых двух интегрируемых функций f и g и скаляров α и β:

   ∫ (αf + βg) dμ = α∫ f dμ + β∫ g dμ.

2. Монотонность: Если f ≤ g почти везде, то

   ∫ f dμ ≤ ∫ g dμ.

3. Теорема о сходимости по нагруженным функциям: Если последовательность функций {f_n} поточечно сходится к f, и ограничена интегрируемой функцией g (т.е. |f_n| ≤ g), то

   ∫ f_n dμ → ∫ f dμ при n → ∞.

Примеры и приложения

Теория меры находит разнообразные применения в различных областях математики и науки. Она поддерживает теорию вероятностей, поскольку вероятности можно интерпретировать как меры, а ожидания — как интегралы. Вот несколько примеров:

Пример: Вероятность как мера

В теории вероятностей формальная структура переводит события в измеримые множества, а вероятность — в меру. Для конечного пространства Ω с заданными вероятностями для каждого исхода события представляют собой подмножества Ω, а мера события — вероятность его наступления.

Пусть Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} для шестигранного кубика. P({1, 2}) = P(1) + P(2) = 1/6 + 1/6 = 1/3.

Пример: Взвешенное среднее

Теория меры позволяет вычислять взвешенное среднее с учетом меры:

∫ f(x) dμ(x) = Σ f(x_i) μ({x_i}),

где μ представляет вес каждого значения x_i.

Рассмотрим вычисление среднего балла, где вес — это количество кредитов:

Оценки = {A, B, C} Кредиты = {3, 4, 2}

Взвешенное среднее:

(3A + 4B + 2C) / (3+4+2)

Заключение

Теория меры и интеграл Лебега предоставляют прочные основы для перевода геометрической и вероятностной интуиции в строгий математический анализ. Их гибкость и мощь выходят за пределы простых геометрических интерпретаций формы, обеспечивая глубокий язык, который объединяет многие области.

комментарии