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मापन सिद्धांत में माप और समाकल
गणितीय विश्लेषण में, मापन सिद्धांत वह शाखा है जो लंबाई, क्षेत्रफल, और घनफल की सामान्यीकृत अवधारणाओं की जांच करती है। यह जटिल सेटों और स्थानों पर कार्यों के एकीकरण के लिए आधारभूत भाषा प्रदान करता है। यह प्रदर्शनी माप और समाकल की अवधारणाओं को गहराई से समझाती है, उनकी परिभाषाओं, गुणधर्मों, और अनुप्रयोगों का विवरण देती है, जो सहजात्र दृष्टिकोण के साथ संपृक्त है।
मापन सिद्धांत का परिचय
मापन सिद्धांत को पूरी तरह से समझने के लिए, हम एक प्राथमिक अवधारणा से शुरू करते हैं: एक सेट के आकार को मापना। साधारण शब्दों में, जब हम किसी सेट को मापते हैं, तो हम एक गैर-नकारात्मक संख्या आवंटित करने की कोशिश कर रहे होते हैं जो उसके "आकार" को चित्रित करती है। प्रारंभ में, यह सरल लगता है: वास्तविक संख्या रेखा पर एक इंटरवल [a, b] का आकार उसकी लंबाई है, जिसकी गणना b - a के रूप में की जाती है। लेकिन अधिक जटिल सेटों का क्या?
निम्नलिखित प्रश्नों पर विचार करें:
- एक बिंदु का "आकार" क्या है? — सहज रूप से, यह शून्य होना चाहिए क्योंकि एक बिंदु की कोई लंबाई नहीं होती।
- बिंदुओं के संग्रह के बारे में आप क्या सोचते हैं? — यदि यह गिनने योग्य है, जैसे एक इंटरवल के भीतर तर्कसंगत संख्या, तो आप उम्मीद कर सकते हैं कि इसका आकार भी शून्य होगा।
माप की परिभाषा
एक माप वास्तविक संख्याओं के प्रत्येक उपयुक्त उपसमुच्चय (अक्सर मापने योग्य कहते हैं) को, या अधिक सामान्यतः, दिए गए स्थान के एक उपसमुच्चय को एक संख्या आवंटित करने का एक प्रणालीबद्ध तरीका है। औपचारिक रूप से, एक समुच्चय X पर माप μ एक फ़ंक्शन है जो X के उपसमुच्चयों को गैर-ऋणात्मक वास्तविक संख्या या ∞ आवंटित करता है और तीन शर्तों को पूरा करता है:
- गैर-ऋणात्मकता: प्रत्येक मापने योग्य सेट
Aके लिएμ(A) >= 0। - शून्य सेट:
μ(∅) = 0। - गिनने योग्य संकार्य जोड़: गिनने योग्य विसंकेत मापने योग्य सेट
{A_i}के किसी भी संग्रह के लिए, संघ के माप उनके मापों का योग होगा:μ(∪ A_i) = Σ μ(A_i)
मापों का निर्माण
सबसे सरल मापों में से एक को वास्तविक रेखा पर लेबेक माप कहा जाता है, जो इंटरवल को सामान्य लंबाई प्रदान करता है। उदाहरण के लिए, वास्तविक संख्याओं पर लेबेक माप λ इस प्रकार अनुकूल होता है: λ([a, b]) = b - a।
अधिक प्रगतिशील मापों को बनाने के लिए, हम σ-बीजगणित और बाह्य माप जैसी अवधारणाओं का उपयोग करते हैं। एक σ-बीजगणित समुच्चय X के उपसमुच्चयों का एक संग्रह है जिसमें रिक्त समुच्चय शामिल होता है और यह पूरक और गिनने योग्य संघों के अंतर्गत बंद होता है। किसी भी सेट X के लिए, खुली अंतरालों को सीमित करने वाली सबसे छोटी σ-बीजगणित को बोरेल σ-बीजगणित कहते हैं, जिसे B(X) द्वारा अंकित किया जाता है।
उदाहरण: बोरेल माप
कल्पना करने के लिए, वास्तविक रेखा R पर विचार करें:
इस को ढकने का मतलब होता है कि अंतरालों का उपयोग करना जैसे (-∞, 0), (0, ∞), और अन्य। बोरेल मापने योग्य सेट इन अंतरालों से उभरते हैं जिनके द्वारा गिनने योग्य संघ, इंटरसेक्शन, और पूरक प्रक्रियाएं लागू की जाती हैं।
माप के संबंध में समाकलन
समाकलन की प्रक्रिया वक्राधीन क्षेत्रों और योगों की गणना को सामान्यीकृत करती है। जब हम माप के संबंध में एक फ़ंक्शन को समाकल करते हैं, तो हम रिमान समाकल की अवधारणा को अधिक जटिल कार्यों और स्थानों के लिए विस्तारित करते हैं।
मापने की जगह (X, Σ, μ) पर माप μ के साथ, जहां Σ σ-बीजगणित है और μ एक माप है, सेट X पर फ़ंक्शन f: X → [0, ∞] का समाकलन इस प्रकार लिखा जाता है:
∫ f dμउदाहरण: सरल संकेतों का समाकलन
मान लीजिए कि एक फ़ंक्शन f(x) है जो [a, b] में 1 के बराबर है और अन्यत्र 0 है। इसका लेबेक समाकल [a, b] के लेबेक माप के समकक्ष है:
∫ f dλ = λ([a, b]) = b - aइस समाकलन की कल्पना कीजिए:
लेबेक समाकल के गुण
लेबेग समाकल के कई महत्वपूर्ण गुण होते हैं जो इसे एक बहुमुखी उपकरण बनाते हैं:
- रेखीयता: किसी भी दो समाकलनीय फ़ंक्शन
fऔरgऔर स्केलरαऔरβके लिए,∫ (αf + βg) dμ = α∫ f dμ + β∫ g dμ। - धार्मिकता: यदि
f ≤ gअधिकांश स्थानों पर, तो∫ f dμ ≤ ∫ g dμ। - प्रभावित संगम प्रमेय: यदि कार्यों के अनुक्रम
{f_n}fकी बिंदु-वार संगम करता है, और एक समाकलनीय फ़ंक्शनgसे प्रभावित है (अर्थात,|f_n| ≤ g), तो∫ f_n dμ → ∫ f dμ as n → ∞।
अनुप्रयोग और उदाहरण
मापन सिद्धांत के विविध अनुप्रयोग गणित और विज्ञान के विभिन्न क्षेत्रों में होते हैं। यह प्रमीय सिद्धांत का समर्थन करता है, चूंकि प्रमेय मापों के रूप में व्याख्या की जा सकती हैं और अपेक्षाएं समाकलनों के रूप में। यहां कुछ उदाहरण हैं:
उदाहरण: माप के रूप में संभावना
प्रमीय सिद्धांत में, औपचारिक ढांचा घटनाओं को मापने योग्य समुच्चय में और संभावना को माप में अनुवाद करता है। एक निश्चित नमूना स्थान Ω के लिये, जिसमें प्रत्येक प्रबलता की निर्दिष्ट संभावनाएँ होती हैं, घटनाएं Ω के उपसमुच्चय होती हैं, और किसी घटना का माप उसके घटने की संभावना होती है।
Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} हमाई छह पृष्ठीय पासे के लिए। P({1, 2}) = P(1) + P(2) = 1/6 + 1/6 = 1/3।उदाहरण: भारित औसत
मापन सिद्धांत माप के संबंध में भारित औसत की गणना करने की अनुमति देता है:
∫ f(x) dμ(x) = Σ f(x_i) μ({x_i}),जहां μ प्रत्येक मूल्य x_i का भार प्रतिनिधित्व करता है।
एक औसत ग्रेड का मूल्यांकन करना सोचिए जहां भार विध्यामान अंक का प्रतिनिधित्व करता है:
ग्रेड = {ए, बी, सी} क्रेडिट = {3, 4, 2}भारित औसत:
(3ए + 4बी + 2सी) / (3+4+2)निष्कर्ष
माप सिद्धांत और लेबेक समाकल मजबूत ढाँचों को प्रदान करते हैं जो ज्यामितीय और प्रायिक सांख्यिकीय अंतर्दृष्टि को कठोर गणितीय विश्लेषण में अनुवाद करने में सहायता करते हैं। इसकी लचीलापन और शक्ति सरल ज्यामितीय व्याख्याओं से परे विस्तारित है, जिससे एक गहन भाषा प्राप्त होती है जो कई क्षेत्रों को एकीकृत करती है।
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