Докторантура
  1. Понимание алгебры  1.1. Теория групп  1.1.1. Основные свойства групп  1.1.2. Подгруппы  1.1.3. Классы смежности и теорема Лагранжа  1.1.4. Нормальные подгруппы  1.1.5. Факторгруппа  1.1.6. Групповые гомоморфизмы  1.1.7. Теорема Силова  1.1.8. Введение в свободные группы  1.1.9. Что такое групповые действия?  1.1.10. Простые и разрешимые группы  1.2. Теория колец  1.2.1. Кольца и идеалы  1.2.2. Введение в гомоморфизмы колец  1.2.3. Кольца многочленов  1.2.4. Области главных идеалов  1.2.5. Уникальные области факторизации  1.2.6. Нетеровы кольца  1.2.7. Артиниевы кольца  1.3. Теория полей  1.3.1. Расширения полей  1.3.2. Деление области  1.3.3. Теория Галуа  1.3.4. Алгебраическое замыкание в теории полей  1.3.5. Конечные поля  1.3.6. Трансцендентальное расширение  1.4. Теория модулей  1.4.1. Модули над кольцами  1.4.2. Свободные модули  1.4.3. Гомоморфизм модуля  1.4.4. Простые и полупростые модули  1.4.5. Проективные модули  1.4.6. Инъективные модули  1.5. Линейная алгебра  1.5.1. Векторное пространство  1.5.2. Линейные преобразования  1.5.3. Понимание собственных чисел и собственных векторов  1.5.4. Каноническая форма  1.5.5. Пространство с внутренним произведением  1.5.6. Теорема о спектральном расщеплении  1.5.7. Разложение по сингулярным значениям
  2. Понимание математического анализа  2.1. Реальный анализ  2.1.1. Действительные числа и полнота  2.1.2. Введение в последовательности и ряды  2.1.3. Непрерывность в теории действительных чисел  2.1.4. Дифференцирование в действительном анализе  2.1.5. Интегрирование по Риману  2.1.6. Введение в метрические пространства  2.1.7. Мера Лебега  2.2. Комплексный анализ  2.2.1. Комплексные числа  2.2.2. Аналитические функции  2.2.3. Контурная интеграция  2.2.4. Теорема Коши  2.2.5. Теорема о вычетах  2.2.6. Конформное отображение  2.3. Функциональный анализ  2.3.1. Понимание стандартных пространств  2.3.2. Введение в пространство БАНАХА  2.3.3. Пространства Гильберта  2.3.4. Линейные операторы  2.3.5. Спектральная теория  2.3.6. Компактные операторы  2.4. Теория меры  2.4.1. Сигма алгебра  2.4.2. Измерение и интегралы в теории меры  2.4.3. Интегрирование по Лебегу  2.4.4. Теорема о сходимости  2.4.5. Теорема Фубини  2.5. Гармонический анализ  2.5.1. Ряд Фурье  2.5.2. Преобразование Фурье  2.5.3. Теория распределений  2.5.4. Вейвлеты
  3. Топология  3.1. Общая топология  3.1.1. Открытые и закрытые множества  3.1.2. Непрерывность  3.1.3. Введение в компактность  3.1.4. Связность в общей топологии  3.1.5. Метрика топология  3.2. Алгебраическая топология  3.2.1. Фундаментальная группа  3.2.2. Теория гомотопий  3.2.3. Теория гомологии  3.2.4. Когомология  3.2.5. Точная последовательность  3.3. Дифференциальная топология  3.3.1. Гладкие многообразия  3.3.2. Тангенциальное пространство  3.3.3. Векторные поля  3.3.4. Понимание дифференциальных форм
  4. Геометрия  4.1. Дифференциальная геометрия  4.1.1. Кривые и поверхности в дифференциальной геометрии  4.1.2. Риманова геометрия  4.1.3. Понимание геодезических линий в дифференциальной геометрии  4.1.4. Кривизна  4.2. Алгебраическая геометрия  4.2.1. Аффинные и проективные многообразия  4.2.2. Планы  4.2.3. Разделители и пересечения  4.2.4. Когомология в алгебраической геометрии  4.3. Вычислительная геометрия  4.3.1. Введение в выпуклые оболочки в вычислительной геометрии  4.3.2. Триангуляция  4.3.3. Диаграмма Вороного  4.3.4. Геометрические алгоритмы
  5. Теория чисел  5.1. Элементарная теория чисел  5.1.1. Делимость в элементарной теории чисел  5.1.2. Сравнимость в элементарной теории чисел  5.1.3. Модульная арифметика  5.2. Аналитическая теория чисел  5.2.1. Теорема о распределении простых чисел  5.2.2. Ряды Дирихле  5.2.3. Зета и L-функции  5.3. Алгебраическая теория чисел  5.3.1. Числовые поля  5.3.2. Введение в идеалы в алгебраической теории чисел  5.3.3. Классы групп в алгебраической теории чисел  5.3.4. Представление Галуа
  6. Товарищество  6.1. Вычислительная комбинаторика  6.1.1. Функция-генератор  6.1.2. Рекуррентные соотношения  6.1.3. Перестановка и сочетание  6.2. Теория графов  6.2.1. Изоморфизм графов  6.2.2. Плоскостность в теории графов  6.2.3. Окраска графов  6.3. Экстремальная комбинаторика  6.3.1. Теория Рамсея  6.3.2. Вероятностные методы в экстремальной комбинаторике  6.4. Алгебраическая комбинаторика  6.4.1. Методы матриц в алгебраической комбинаторике  6.4.2. Теория представлений
  7. Аргументы и основания  7.1. Теория множеств  7.1.1. Аксиомы Цермело-Френкеля  7.1.2. Порядковые и кардинальные числа  7.2. Введение в теорию моделей  7.2.1. Структуры и теории в теории моделей  7.2.2. Теорема компактности  7.3. Теория доказательств  7.3.1. Формальные системы  7.3.2. Согласованность и полнота
  8. Вероятность и статистика  8.1. Теория вероятностей  8.1.1. Случайные величины  8.1.2. Ожидание и вариация  8.1.3. Центральная предельная теорема  8.2. Стохастические процессы  8.2.1. Марковские цепи  8.2.2. Броуновское движение  8.3. Статистическое заключение  8.3.1. Тестирование гипотез  8.3.2. Регрессионный анализ
  9. Прикладная математика  9.1. Численный анализ в прикладной математике  9.1.1. Итеративные методы  9.1.2. Интерполяция  9.1.3. Анализ ошибок  9.2. Уравнения в частных производных  9.2.1. Эллиптическое уравнение  9.2.2. Параболическое уравнение  9.2.3. Гиперболические уравнения  9.3. Динамические системы  9.3.1. Теория хаоса  9.3.2. Анализ устойчивости в динамических системах

Докторантура → Понимание математического анализа → Теория меры ↓


Сигма алгебра


Введение в сигма алгебру

Сигма алгебры являются фундаментальной концепцией в теории меры, которая является неотъемлемой частью действительного анализа и теории вероятностей. Они обеспечивают строгий подход к обработке коллекций «измеримых» множеств. Вместо работы со всеми возможными подгруппами данного множества, сигма алгебры сосредотачиваются на подгруппах, которые хорошо себя ведут с точки зрения меры, такой как длина, площадь, вероятность и т.д.

Основы и определения

Сигма алгебра (или σ-алгебра) на множестве X является коллекцией Σ подмножеств X, которые удовлетворяют следующим свойствам:

  1. Ненулевость: X само по себе принадлежит Σ.
  2. Замкнутость относительно дополнения: Если множество A принадлежит Σ, тогда его дополнение Ac = X A также принадлежит Σ. Это означает, что если в нашей коллекции есть подмножество, то у нас также должно быть всё за пределами этого подмножества.
  3. Замкнутость относительно счётных объединений: Если у нас есть счётная коллекция {A1, A2, A3, ...} множеств, которые все принадлежат к Σ, то объединение всех этих множеств A = A1 ∪ A2 ∪ A3 ∪ ... также принадлежит Σ.

Эти свойства обеспечивают, что сигма алгебры хорошо себя ведут и подходят для измерения «размера» последовательным образом. Давайте исследуем некоторые примеры, чтобы проиллюстрировать эту идею.

Визуальный пример сигма алгебры

Рассмотрим симплициальное множество X = {1, 2, 3}. Сигма алгебра на X будет коллекцией подмножеств множества X. Например, такая сигма алгебра могла бы быть:

{ {}, {1, 2, 3}, {1, 2}, {3} }

Этот набор множеств удовлетворяет всем условиям, необходимым для сигма алгебры:

  • Непустота: {1, 2, 3} принадлежит коллекции.
  • Замкнутость дополнения: Для каждого подмножества коллекции существует замкнутое дополнение множества.
  • Замкнутость относительно счётных объединений: любое объединение множеств из коллекции также является подмножеством коллекции или же множества X.

Математический пример

Пример более сложной сигма алгебры касается вещественной прямой ℝ. Борелевская сигма алгебра на ℝ создаётся с использованием открытых интервалов:

B(ℝ) = σ({ (a, b) : a, b ∈ ℝ })

В этом случае борелевская сигма алгебра состоит из всех подмножеств ℝ, которые могут быть построены с использованием открытых интервалов, закрытых интервалов и множества операций по дополнению и объединению. Борелевские множества полезны во многих областях анализа, таких как определение функций, измеримых по Лебегу.

Свойства сигма алгебры

Давайте рассмотрим дополнительные свойства и характеристики сигма алгебры:

Замкнутость по пересечению

Несмотря на то, что сигма алгебры известны своей замкнутостью с точки зрения счётных объединений, они также замкнуты с точки зрения пересечений. Это связано с тем, что пересечение счётного количества множеств может быть выражено с использованием дополнений и объединений. Например, если A1, A2, ... принадлежат Σ, то:

A1 ∩ A2 ∩ ... = (A1C ∪ A2C ∪ ... )C

Минимальная и максимальная сигма алгебра

Каждое множество X имеет, по крайней мере, две сигма алгебры. Тривиальная сигма алгебра содержит только пустое множество и само множество: { {}, X }. Это наименьшая возможная сигма алгебра над любым множеством.

Наибольшая сигма алгебра — это множество всех подмножеств множества X, обозначенное P(X), которое содержит каждое подмножество множества X. Хотя это редко интересно для целей измерения, это служит верхней границей.

Порожденная сигма алгебра

Мы часто «порождаем» сигма алгебру из заданной коллекции подмножеств. Сигма алгебра σ(G), порожденная G, является наименьшей сигма алгеброй, содержащей все множества в G. Она содержит подмножества, которые могут быть образованы с помощью взятия дополнений и счётных объединений множеств в G.

Работа с сигма алгеброй

Рассмотрите приложения и их интерпретации в реальных контекстах, таких как вероятность.

Сигма алгебра в вероятности

В теории вероятностей сигма алгебра представляет собой коллекцию всех событий, которые можно измерить. Например, если вы бросаете кубик, пространство элементарных событий — {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Сигма алгебра может определять, какие комбинации исходов (событий) вы предпочитаете, например, «получение четного числа» или «выпадение числа больше 3».

Более формально, в пространстве вероятностей (Ω, Σ, P):

  • Ω — пространство элементарных событий.
  • Σ — сигма алгебра подмножеств Ω (событий).
  • P — вероятность мера, которая назначает вероятности событиям в Σ.

Применения в теории меры

В теории меры сигма алгебра предоставляет способ обработки «измеримых» множеств, которые необходимы для определения интегралов и мер. Например, мера Лебега использует сигма алгебру для определения, какие подмножества вещественных чисел измеримы, позволяя точно вычислять площади и объёмы.

Построение сигма алгебры: пример

Рассмотрим простой пример с X = {a, b, c}:

  1. Начните с базовой коллекции: {{}, {a, b, c}}.
  2. Добавьте одноэлементные множества и их дополнения для обеспечения замкнутости по дополнению: {{}, {a, b, c}, {a}, {b, c}}
  3. Добавьте попарные объединения, необходимые для достижения замкнутости по счётным объединениям: {{}, {a, b, c}, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}}

Это теперь сигма алгебра, удовлетворяющая всем требуемым свойствам.

Почему сигма алгебра важна

Прелесть сигма алгебр заключается в их структуре, которая обеспечивает последовательную основу для анализа различных математических и реальных феноменов. Они важны в следующем:

  • Определение измеримых функций и множеств.
  • Формулировка пространств вероятностей и ожиданий.
  • Для построения теорий интеграции, таких как интеграция Лебега.
  • Позволяя сложные доказательства и применения в таких областях, как функциональный анализ.

Заключение

Сигма алгебры воплощают принципы выбора и комбинации в теории множеств, служащие основой для более сложных аналитических построений. Их четкие правила и свойства позволяют математикам обобщать за пределами простых операций с множествами, позволяя углубленным исследованиям вероятности, анализа и не только.


Докторантура → 2.4.1


U
username
0%
завершено в Докторантура

← предыдущая (2.4)
Теория меры
следующая (2.4.2) →
Измерение и интегралы в теории меры

комментарии 



Сигма алгебра

https://www.buddymath.com/phd/2.4.1?bmal=ru