Докторантура
  1. Понимание алгебры  1.1. Теория групп  1.1.1. Основные свойства групп  1.1.2. Подгруппы  1.1.3. Классы смежности и теорема Лагранжа  1.1.4. Нормальные подгруппы  1.1.5. Факторгруппа  1.1.6. Групповые гомоморфизмы  1.1.7. Теорема Силова  1.1.8. Введение в свободные группы  1.1.9. Что такое групповые действия?  1.1.10. Простые и разрешимые группы  1.2. Теория колец  1.2.1. Кольца и идеалы  1.2.2. Введение в гомоморфизмы колец  1.2.3. Кольца многочленов  1.2.4. Области главных идеалов  1.2.5. Уникальные области факторизации  1.2.6. Нетеровы кольца  1.2.7. Артиниевы кольца  1.3. Теория полей  1.3.1. Расширения полей  1.3.2. Деление области  1.3.3. Теория Галуа  1.3.4. Алгебраическое замыкание в теории полей  1.3.5. Конечные поля  1.3.6. Трансцендентальное расширение  1.4. Теория модулей  1.4.1. Модули над кольцами  1.4.2. Свободные модули  1.4.3. Гомоморфизм модуля  1.4.4. Простые и полупростые модули  1.4.5. Проективные модули  1.4.6. Инъективные модули  1.5. Линейная алгебра  1.5.1. Векторное пространство  1.5.2. Линейные преобразования  1.5.3. Понимание собственных чисел и собственных векторов  1.5.4. Каноническая форма  1.5.5. Пространство с внутренним произведением  1.5.6. Теорема о спектральном расщеплении  1.5.7. Разложение по сингулярным значениям
  2. Понимание математического анализа  2.1. Реальный анализ  2.1.1. Действительные числа и полнота  2.1.2. Введение в последовательности и ряды  2.1.3. Непрерывность в теории действительных чисел  2.1.4. Дифференцирование в действительном анализе  2.1.5. Интегрирование по Риману  2.1.6. Введение в метрические пространства  2.1.7. Мера Лебега  2.2. Комплексный анализ  2.2.1. Комплексные числа  2.2.2. Аналитические функции  2.2.3. Контурная интеграция  2.2.4. Теорема Коши  2.2.5. Теорема о вычетах  2.2.6. Конформное отображение  2.3. Функциональный анализ  2.3.1. Понимание стандартных пространств  2.3.2. Введение в пространство БАНАХА  2.3.3. Пространства Гильберта  2.3.4. Линейные операторы  2.3.5. Спектральная теория  2.3.6. Компактные операторы  2.4. Теория меры  2.4.1. Сигма алгебра  2.4.2. Измерение и интегралы в теории меры  2.4.3. Интегрирование по Лебегу  2.4.4. Теорема о сходимости  2.4.5. Теорема Фубини  2.5. Гармонический анализ  2.5.1. Ряд Фурье  2.5.2. Преобразование Фурье  2.5.3. Теория распределений  2.5.4. Вейвлеты
  3. Топология  3.1. Общая топология  3.1.1. Открытые и закрытые множества  3.1.2. Непрерывность  3.1.3. Введение в компактность  3.1.4. Связность в общей топологии  3.1.5. Метрика топология  3.2. Алгебраическая топология  3.2.1. Фундаментальная группа  3.2.2. Теория гомотопий  3.2.3. Теория гомологии  3.2.4. Когомология  3.2.5. Точная последовательность  3.3. Дифференциальная топология  3.3.1. Гладкие многообразия  3.3.2. Тангенциальное пространство  3.3.3. Векторные поля  3.3.4. Понимание дифференциальных форм
  4. Геометрия  4.1. Дифференциальная геометрия  4.1.1. Кривые и поверхности в дифференциальной геометрии  4.1.2. Риманова геометрия  4.1.3. Понимание геодезических линий в дифференциальной геометрии  4.1.4. Кривизна  4.2. Алгебраическая геометрия  4.2.1. Аффинные и проективные многообразия  4.2.2. Планы  4.2.3. Разделители и пересечения  4.2.4. Когомология в алгебраической геометрии  4.3. Вычислительная геометрия  4.3.1. Введение в выпуклые оболочки в вычислительной геометрии  4.3.2. Триангуляция  4.3.3. Диаграмма Вороного  4.3.4. Геометрические алгоритмы
  5. Теория чисел  5.1. Элементарная теория чисел  5.1.1. Делимость в элементарной теории чисел  5.1.2. Сравнимость в элементарной теории чисел  5.1.3. Модульная арифметика  5.2. Аналитическая теория чисел  5.2.1. Теорема о распределении простых чисел  5.2.2. Ряды Дирихле  5.2.3. Зета и L-функции  5.3. Алгебраическая теория чисел  5.3.1. Числовые поля  5.3.2. Введение в идеалы в алгебраической теории чисел  5.3.3. Классы групп в алгебраической теории чисел  5.3.4. Представление Галуа
  6. Товарищество  6.1. Вычислительная комбинаторика  6.1.1. Функция-генератор  6.1.2. Рекуррентные соотношения  6.1.3. Перестановка и сочетание  6.2. Теория графов  6.2.1. Изоморфизм графов  6.2.2. Плоскостность в теории графов  6.2.3. Окраска графов  6.3. Экстремальная комбинаторика  6.3.1. Теория Рамсея  6.3.2. Вероятностные методы в экстремальной комбинаторике  6.4. Алгебраическая комбинаторика  6.4.1. Методы матриц в алгебраической комбинаторике  6.4.2. Теория представлений
  7. Аргументы и основания  7.1. Теория множеств  7.1.1. Аксиомы Цермело-Френкеля  7.1.2. Порядковые и кардинальные числа  7.2. Введение в теорию моделей  7.2.1. Структуры и теории в теории моделей  7.2.2. Теорема компактности  7.3. Теория доказательств  7.3.1. Формальные системы  7.3.2. Согласованность и полнота
  8. Вероятность и статистика  8.1. Теория вероятностей  8.1.1. Случайные величины  8.1.2. Ожидание и вариация  8.1.3. Центральная предельная теорема  8.2. Стохастические процессы  8.2.1. Марковские цепи  8.2.2. Броуновское движение  8.3. Статистическое заключение  8.3.1. Тестирование гипотез  8.3.2. Регрессионный анализ
  9. Прикладная математика  9.1. Численный анализ в прикладной математике  9.1.1. Итеративные методы  9.1.2. Интерполяция  9.1.3. Анализ ошибок  9.2. Уравнения в частных производных  9.2.1. Эллиптическое уравнение  9.2.2. Параболическое уравнение  9.2.3. Гиперболические уравнения  9.3. Динамические системы  9.3.1. Теория хаоса  9.3.2. Анализ устойчивости в динамических системах

Докторантура → Понимание математического анализа → Функциональный анализ ↓


Компактные операторы


В функциональном анализе, разделе математики, компактные операторы занимают важное место благодаря своим многочисленным приложениям в различных областях, таких как квантовая механика, дифференциальные уравнения в частных производных и другие области анализа. Перед тем как погрузиться в детальное изучение компактных операторов, важно сформировать базовое понимание, начиная с общего понятия линейных операторов.

Понимание линейных операторов

Линейный оператор - это отображение между двумя векторными пространствами, которое сохраняет сложение векторов и умножение на скаляр. Если T - линейный оператор, то для любых векторов u и v, и любого скаляра α, должны выполняться следующие условия:

 
    T(u + v) = T(u) + T(v) 
    T(αu) = αT(u)

Линейные операторы распространены в различных математических формулах, обеспечивая способ понимания преобразований, которые растягивают, вращают или отражают объекты в векторных пространствах.

Что такое компактные операторы?

Компактные операторы - это особый класс линейных операторов, которые отображают конечные множества в относительно компактные множества. Это означает, что замыкание образа любого конечного подмножества под оператором является компактным. Математически, если T - компактный оператор из банахова пространства X в другое банахово пространство Y, то для любого конечного подмножества B пространства X замыкание T(B) в Y является компактным.

Для визуального объяснения этого концепта рассмотрим, как компактные операторы ведут себя в евклидовом пространстве.

Множество B T(B) плотный

На этом диаграмме B - ограниченное множество в исходном пространстве. Когда применяется компактный оператор T, образ T(B) приобретает компактную форму.

Свойства компактных операторов

Вот некоторые важные свойства компактных операторов, которые отличают их от других операторов:

  • Сходимость последовательности: Основное свойство компактных операторов касается сходимости последовательности. Последовательность векторов (x_n) содержит сходящуюся подпоследовательность (x_{n_k}) такую, что T(x_{n_k}) сходится в кодомене.
  • Замкнутый образ: Если X - банахово пространство, то образ компактного оператора замкнут, когда оператор ограничивается на единичные шары.
  • Компактность в конечных размерностях: Каждый оператор, действующий на конечномерное пространство, является компактным. Это следует из компактности конечномерных множеств.

Для иллюстрации свойства сходимости последовательности рассмотрим последовательность векторов, нанесенных вдоль линии в данном пространстве, которая сходится к точке.

Лимитная точка Сходимость последовательности

Примеры компактных операторов

Понимание компактных операторов можно улучшить, рассмотрев конкретные примеры, которые позволяют понять абстрактные концепции, основанные на реальных приложениях.

1. Оператор идентичности на конечных размерностях

Рассмотрим векторное пространство X, которое является конечномерным. Оператор идентичности I: X → X, определяемый как I(x) = x для любого вектора x в X, является тривиально компактным, поскольку все конечномерные пространства компактны.

2. Интегральные операторы

Классическим примером компактного оператора является интегральный оператор. Допустим, у нас есть интегральный оператор T, который действует на непрерывную функцию, определенную на интервале:

 
    (Tϕ)(x) = ∫_a^b K(x, y)ϕ(y)dy

где K(x, y) является непрерывной функцией и находится в определенных пределах. Такие операторы важны при решении некоторых типов дифференциальных уравнений и появляются в теории Фредгольма.

Применения компактных операторов

Компактные операторы не только теоретическая концепция; они находят применение в различных практических областях. Некоторые важные применения включают:

  • Квантовая механика: В квантовой механике компактные операторы могут описывать ограниченные квантовые наблюдаемые и помогают устанавливать существование собственных значений.
  • ДУЧП и дифференциальные уравнения: Компактные операторы используются для решения краевых задач в дифференциальных уравнениях в частных производных. Такие инструменты, как теорема Арцела-Асколи, часто используют теорию компактных операторов в доказательствах и анализе.

Заключение

Компактные операторы обеспечивают важные связи между многими областями математики и физики. Благодаря своим богатым теоретическим свойствам и глубоким последствиям в реальных приложениях, они представляют собой мощный механизм, с помощью которого сложные системы могут быть поняты более интуитивно.

Хотя компактные операторы иногда считаются абстрактными, их простота в некоторых случаях, в сочетании с теоретической глубиной, делает их одной из самых интересных тем в функциональном анализе. Исследование на этом не заканчивается; существует множество теорем и глубоких результатов, связанных с компактными операторами, таких как теория Риса-Шаудера, которая представляет собой плодородную почву для продолжения изучения и понимания.


Докторантура → 2.3.6


U
username
0%
завершено в Докторантура

← предыдущая (2.3.5)
Спектральная теория
следующая (2.4) →
Теория меры

комментарии 



Компактные операторы

https://www.buddymath.com/phd/2.3.6?bmal=ru