Пространства Гильберта

В области функционального анализа, являющегося отраслью математического анализа, пространства Гильберта играют важную роль. Названные в честь немецкого математика Давида Гильберта, они предоставляют, среди прочего, основу для строгого понимания концепций векторной алгебры и их расширения на бесконечные измерения. Пространства Гильберта обобщают понятие евклидова пространства и допускают бесконечномерные векторные пространства, в которых имеются скалярные произведения, используемые для определения понятий ортогональности и углов.

Введение в пространства Гильберта

Пространство Гильберта — это тип пространства со скалярным произведением, представляющее собой более сложную структуру, чем просто векторное пространство, так как оно позволяет определять расстояние и угол. По сути, пространство Гильберта является полным пространством со скалярным произведением, что означает, что это пространство, где последовательности, которые, по-видимому, сходятся, действительно сходятся к одной точке в пространстве.

Основы пространств со скалярным произведением

Пространство со скалярным произведением на множестве V состоит из функции, которая принимает два вектора и возвращает скаляр с определенными свойствами. Скалярное произведение, часто обозначаемое как <u, v> для векторов u и v, должно удовлетворять следующим условиям:

• Сопряженная симметрия: <u, v> = <v, u> *, где * обозначает комплексное сопряжение.
• Линейность по первому аргументу: <au + bv, w> = a<u, w> + b<v, w> для всех скаляров a и b.
• Положительная определенность: <v, v> > 0 для всех v ≠ 0.

Пример скалярных произведений

Примером является стандартное скалярное произведение в ^{ℝ n}, где для двух векторов x и y:

<x, y> = x 1 y 1 + x 2 y 2 + ... + x n y n

В пространстве комплексных чисел скалярное произведение двух векторов u и v задается как:

<u, v> = u 1 v 1 * + u 2 v 2 * + ... + u n v n *

Определение полноты

Полнота — важное понятие в математике. В общих чертах, пространство является полным, если каждая последовательность Коши (последовательность, элементы которой становятся произвольно близкими друг к другу) в пространстве сходится к пределу, который также находится в этом пространстве. Вы можете думать о нем как о пространстве без "дыр": где бы вы ни приближались к точке, там действительно есть точка.

Последовательность Коши

Последовательность {x n } в метрическом пространстве называется последовательностью Коши, если для каждого положительного действительного числа ε существует такое целое число N, что для всех натуральных чисел m, n > N выполняется неравенство:

||x m - x n || < ε

В пространстве Гильберта, если вы возьмете любую подобную последовательность Коши, она должна сходиться к точке, лежащей в самом пространстве.

Визуальное представление пространства Гильберта

В этом упрощенном виде пространсво представлено как плоскость. Есть фиксированный угол и расстояние между векторами v и w, представленные линиями. Эта плоскость полная, поскольку если последовательность становится произвольно близкой к точке, то эта точка тоже находится на плоскости.

Пример в пространстве Гильберта

Пространства Гильберта широко применяются в физике и инженерии, особенно в квантовой механике и обработке сигналов. Давайте рассмотрим несколько примеров, иллюстрирующих различные сценарии в пространствах Гильберта:

Пример 1: Пространство последовательностей l 2

Рассмотрим пространство последовательностей l 2, которое состоит из всех бесконечных последовательностей {x n }, таких что:

∑ |x n | 2 < ∞

Скалярное произведение в пространстве l 2 определяется как:

<x, y> = ∑ x n y n *

Это пространство полное, поскольку если ряд является сходящимся по вторым моментам, то он сходится в l 2.

Пример 2: Пространство функций L 2 (ℝ)

Пространство L 2 (ℝ) состоит из всех функций f(x) таких, что:

∫ -∞ ∞ |f(x)| 2 dx < ∞

Здесь скалярное произведение задается как:

<f, g> = ∫ -∞ ∞ f(x)g(x) * dx

Это пространство функций полное, что гарантирует, что каждая последовательность Коши функций с таким скалярным произведением сходится к функции внутри пространства.

Подробнее о пространствах Гильберта

Для понимания пространств Гильберта также важно понимать ортогональность, базисы и проекции. Это похоже на понимание векторов, но в потенциально бесконечных измерениях.

Ортогональная составляющая и проекция

Как и в конечномерных пространствах, векторы в пространствах Гильберта могут быть ортогональными. Если <u, v> = 0, то u и v называются ортогональными. Ортогональной составляющей подмножества S пространства Гильберта H называется множество всех векторов в H, которые ортогональны каждому вектору в S.

Ключевое свойство заключается в том, что каждый вектор u в пространстве Гильберта H может быть единственным образом разложен в сумму:

u = u 1 + u 2

где u 1 находится в S и u 2 в ортогональной составляющей S. Вектор u 1 является проекцией u на S

Ортогональный базис

В конечных измерениях, базис — это набор векторов, относительно которого можно представить все остальные вектора. В пространстве Гильберта эта концепция распространяется на ортогональные базисы, где все базисные векторы взаимно ортогональны.

Ортонормированный базис пространства Гильберта H — это набор векторов {e i } таких, что:

• <e i , e j > = δ ij, где δ — это дельта Кронекера, 1, если i = j, и 0 в противном случае.
• Для любого вектора v в H v может быть выражен как бесконечная сумма v = ∑ c i e i, где c i являются координатами v относительно базиса.

Эта инфраструктура помогает анализировать и расширять сигналы, функции или данные в пространстве Гильберта, аналогично тому, как ряд Фурье работает в классическом анализе.

Заключение

Пространства Гильберта служат важной структурой в математике и физике, представляя бесконечномерные пространства с геометрической интуицией, напоминающей конечномерные векторные пространства. Они предоставляют аналитические описания, необходимые для понимания широкого спектра приложений, которые являются частью современной физики, инженерии и даже компьютерных наук.

Концептуальная структура пространств Гильберта сочетает в себе алгебраические и топологические элементы, такие как векторные пространства и скалярные произведения, с полнотой, обеспечивая прочную основу для более сложных областей функционального анализа. Будь то изучение уравнений в частных производных, теории операторов или квантовая механика, пространства Гильберта предоставляют универсальный и мощный инструмент для понимания и решения сложных задач.

комментарии