हिल्बर्ट स्थान

फंक्शनल एनालिसिस के क्षेत्र में, जो गणितीय विश्लेषण की एक शाखा है, हिल्बर्ट स्थान एक महत्वपूर्ण भूमिका निभाते हैं। जर्मन गणितज्ञ डेविड हिल्बर्ट के नाम पर रखे गए, ये अन्य चीज़ों के साथ, वेक्टर बीजगणित की अवधारणाओं को गहराई से समझने और उन्हें अनंत आयामों तक विस्तारित करने के लिए एक रूपरेखा प्रदान करते हैं। हिल्बर्ट स्थानें यूक्लिडियन स्थान की धारणा को सामान्यीकृत करती हैं और आंतरिक उत्पाद वाले अनंत-आयामी वेक्टर स्थान की अनुमति देती हैं, जिनका उपयोग ओर्थोगोनैलिटी और कोणों की धारणाओं को परिभाषित करने के लिए किया जाता है।

हिल्बर्ट स्थानों का परिचय

एक हिल्बर्ट स्थान एक प्रकार का आंतरिक उत्पाद स्थान होता है, जो सिर्फ एक वेक्टर स्थान से कहीं अधिक जटिल संरचना है क्योंकि यह दूरी और कोण की परिभाषा की अनुमति देता है। मूल रूप से, एक हिल्बर्ट स्थान एक पूर्ण आंतरिक उत्पाद स्थान होता है, जिसका अर्थ है कि यह एक ऐसा स्थान है जहाँ ऐसे अनुक्रम जो संमिलित प्रतीत होते हैं वास्तव में एक बिंदु पर सीमित हो जाते हैं जो स्थान के अंदर होता है।

आंतरिक उत्पाद स्थान की मूल बातें

सेट V पर एक आंतरिक उत्पाद स्थान उस कार्य से बना होता है जो दो वेक्टर लेता है और कुछ विशेषताओं के साथ एक स्केलर लौटाता है। आंतरिक उत्पाद, अक्सर <u, v> के रूप में निरूपित, वेक्टर u और v के लिए निम्नलिखित को संतुष्ट होना चाहिए:

• संयुग्म समरूपता: <u, v> = <v, u> *, जहाँ * यौगिक संयुग्म को दर्शाता है।
• पहले तर्क में रेखीयता: <au + bv, w> = a<u, w> + b<v, w> सभी स्केलर a और b के लिए।
• धनात्मक निर्धारकता: <v, v> > 0 सभी v ≠ 0 के लिए।

आंतरिक उत्पादों का उदाहरण

एक उदाहरण ^{ℝ n} में मानक डॉट उत्पाद है, जहाँ दो वेक्टर x और y के लिए:

<x, y> = x 1 y 1 + x 2 y 2 + ... + x n y n

जटिल संख्याओं के स्थान में, दो वेक्टर u और v का आंतरिक उत्पाद इस प्रकार दिया गया है:

<u, v> = u 1 v 1 * + u 2 v 2 * + ... + u n v n *

पूर्णता को परिभाषित करना

गणित में पूर्णता एक महत्वपूर्ण अवधारणा है। सरल शब्दों में, एक स्थान पूर्ण होता है यदि उस स्थान में हर कॉशी अनुक्रम (एक अनुक्रम जहाँ तत्त्व पारस्परिक रूप से समीप आते हैं) एक सीमा तक सीमित होता है जो उस स्थान में भी होती है। आप इसे एक ऐसे स्थान के रूप में समझ सकते हैं जिसमें कोई "गड्ढे" नहीं होते हैं: जहाँ भी आप एक बिंदु के पास पहुँचते हैं, वहाँ वास्तव में एक बिंदु होता है।

कॉशी अनुक्रम

मेट्रिक स्थान में अनुक्रम {x n } को कॉशी अनुक्रम कहा जाता है यदि, किसी भी धनात्मक वास्तविक संख्या ε के लिए, एक पूर्णांक N ऐसा होता है कि सभी प्राकृतिक संख्याओं m, n > N के लिए, दूरी:

||x m - x n || < ε

एक हिल्बर्ट स्थान में, यदि आप कोई भी ऐसा कॉशी अनुक्रम लेते हैं, तो यह अनिवार्य रूप से उस स्थान में निहित एक बिंदु तक सीमित हो जाता है।

हिल्बर्ट स्थान का दृश्य प्रतिनिधित्व

इस सरल दृश्य में, स्थान को एक तल के रूप में सोचें। वेक्टर v और w के बीच एक निश्चित कोण और दूरी होती है, जो रेखाओं द्वारा प्रदर्शित होती है। यह तल पूर्ण है, क्योंकि अगर कोई अनुक्रम किसी बिंदु के करीब आता है, तो वह बिंदु भी तल में होता है।

हिल्बर्ट स्थान में उदाहरण

हिल्बर्ट स्थान भौतिकी और इंजीनियरिंग में व्यापक रूप से लागू होते हैं, विशेष रूप से क्वांटम मैकेनिक्स और सिग्नल प्रोसेसिंग में। आइए कुछ उदाहरण देखें जो हिल्बर्ट स्थानों में विभिन्न परिदृश्यों को दर्शाते हैं:

उदाहरण 1: अनुक्रम स्थान l 2

अनुक्रम स्थान l 2 पर विचार करें, जिसमें सभी अनंत अनुक्रम {x n } शामिल होते हैं जो निम्नानुसार होते हैं:

∑ |x n | 2 < ∞

l 2 में आंतरिक उत्पाद इस प्रकार परिभाषित होता है:

<x, y> = ∑ x n y n *

यह स्थान पूर्ण है क्योंकि यदि दूसरी पल के संदर्भ में कोई श्रृंखला सीमित है, तो यह l 2 में सीमित होता है।

उदाहरण 2: फ़ंक्शन स्थान L 2 (ℝ)

स्थान L 2 (ℝ) में सभी फ़ंक्शन f(x) होते हैं जो निम्नलिखित होते हैं:

∫ -∞ ∞ |f(x)| 2 dx < ∞

यहाँ, आंतरिक उत्पाद इस प्रकार दिया गया है:

<f, g> = ∫ -∞ ∞ f(x)g(x) * dx

यह फ़ंक्शन स्थान पूर्ण है, जो सुनिश्चित करता है कि इस आंतरिक उत्पाद वाले फ़ंक्शनों के हर कॉशी अनुक्रम स्थान के भीतर एक फ़ंक्शन तक सीमित होता है।

हिल्बर्ट स्थानों के बारे में और अधिक

हिल्बर्ट स्थानों को समझने के लिए ओर्थोगोनैलिटी, आधार और प्रक्षेपण को समझना भी महत्वपूर्ण है। यह संभावित रूप से अनंत आयामों में वेक्टरों को समझने के समान है।

ओर्थोगोनल पूरक और प्रक्षेपण

जैसे ही सीमित-आयामी स्थानों में, हिल्बर्ट स्थानों में वेक्टर ओर्थोगोनल हो सकते हैं। यदि <u, v> = 0, तो u और v को ओर्थोगोनल कहा जाता है। एक हिल्बर्ट स्थान H के उपसेट S का ओर्थोगोनल पूरक H के सभी वेक्टरों का सेट है जो S के प्रत्येक वेक्टर के लिए ओर्थोगोनल होते हैं।

एक मुख्य गुण यह है कि एक हिल्बर्ट स्थान H में हर वेक्टर u को अद्वितीय रूप से योग के रूप में विभाजित किया जा सकता है:

u = u 1 + u 2

जिसमें u 1 S में है और u 2 S के ओर्थोगोनल पूरक में है। वेक्टर u 1 S पर u का प्रक्षेपण होता है।

ओर्थोगोनल आधार

सीमित आयामों में, एक आधार एक वेक्टर सेट होता है जिसके खिलाफ सभी अन्य वेक्टर प्रतिनिधित्व किए जा सकते हैं। एक हिल्बर्ट स्थान में, यह अवधारणा ओर्थोगोनल आधारों तक फैलती है, जहाँ सभी आधार वेक्टर पारस्परिक रूप से ओर्थोगोनल होते हैं।

एक हिल्बर्ट स्थान H का ओर्थोनॉर्मल आधार वेक्टरों का एक सेट है {e i } जिस तरह:

• <e i , e j > = δ ij, जहाँ δ क्रोनाकर डेल्टा है, 1 यदि i = j और 0 अन्यथा।
• किसी भी वेक्टर v के लिए H में, v को अनंत योग के रूप में व्यक्त किया जा सकता है v = ∑ c i e i, जहाँ c i v के आधार के सापेक्ष निर्देशांक होते हैं।

यह बुनियादी ढांचा एक हिल्बर्ट स्थान के भीतर संकेतों, फ़ंक्शनों, या डेटा का विश्लेषण और विस्तार करने में मदद करता है, उसी तरह जैसे क्लासिकल एनालिसिस में फोरियर श्रंखला कार्य करती है।

निष्कर्ष

हिल्बर्ट स्थान गणित और भौतिकी में मुख्य संरचनाओं के रूप में कार्य करते हैं, अनंत-आयामी स्थानों का प्रतिनिधित्व करते हैं जिनमें सीमित-आयामी वेक्टर स्थानों के ज्यामितीय अंतर्ज्ञान शामिल होते हैं। वे आधुनिकी भौतिकी, इंजीनियरिंग, और यहां तक कि कंप्यूटर विज्ञान के हिस्से के रूप में एक विस्तृत श्रृंखला के अनुप्रयोगों को समझने के लिए आवश्यक तार्किक वर्णन प्रदान करते हैं।

हिल्बर्ट स्थानों की धारणा संरचना बीजगणितीय और स्थलाकृतिक तत्वों, जैसे वेक्टर स्थानों और आंतरिक उत्पादों, को पूर्णता के साथ जोड़ती है, जो कार्यात्मक विश्लेषण के अधिक जटिल क्षेत्रों के लिए एक मजबूत नींव सुनिश्चित करती है। चाहे यह पीडीई, ऑपरेटर थ्योरी या क्वांटम मेकेनिक्स का अध्ययन हो, हिल्बर्ट स्थान जटिल समस्याओं को समझने और हल करने के लिए एक बहुमुखी और शक्तिशाली उपकरणकिट प्रदान करते हैं।

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