复分析

复分析是数学的一个分支，研究复数的函数。复数通过使用 x 轴表示实数和 y 轴表示虚数，将一维数轴的概念扩展到二维复平面。一个复数通常表示为 z = x + yi，其中 x 和 y 是实数，i 是满足 i² = -1 的虚数单位。

复平面

复平面是绘制复数的区域。水平轴代表实部 x，垂直轴代表虚部 yi。在复平面中将复数表示为点或向量有助于可视化诸如加法、减法和乘法等操作。

在上面的例子中，复平面中以红色标记的点 z = x + yi 表示一个复数。

复数的加法和减法

复数的加法和减法很简单。分别将相应的实部和虚部相加或相减。例如，如果 z₁ = x₁ + y₁i 和 z₂ = x₂ + y₂i，则：

z₁ + z₂ = (x₁ + x₂) + (y₁ + y₂)i
z₁ – z₂ = (x₁ – x₂) + (y₁ – y₂)i

示例

假设我们有两个复数，z₁ = 3 + 4i 和 z₂ = 1 + 2i。那么它们的和和差的计算如下：

z₁ + z₂ = (3 + 1) + (4 + 2)i = 4 + 6i
z₁ – z₂ = (3 – 1) + (4 – 2)i = 2 + 2i

复数的乘法

乘法涉及展开项并应用性质 i² = -1。例如：

z₁ * z₂ = (x₁ + y₁i)(x₂ + y₂i)
        = x₁x₂ + x₁y₂i + y₁x₂i + y₁y₂i²
        = (x₁x₂ – y₁y₂) + (x₁y₂ + y₁x₂)i

这里，乘法的展开类似于分配律代数，其中有一个额外的规则将 i² 简化为 -1。

示例

让我们取两个复数 z₁ = 2 + 3i 和 z₂ = 4 + i，则：

z₁ * z₂ = (2 + 3i)(4 + i)
        = 2*4 + 2*i + 3i*4 + 3i²
        = 8 + 2i + 12i – 3
        = 5 + 14i

复共轭

对于一个复数 z = x + yi，它的复共轭，记为 z̅，是数 x - yi。共轭有助于分母有理化和求模。

示例

对于复数 z = 5 + 3i，它的共轭是 z̅ = 5 - 3i。

复数的除法

要除以复数，将分子和分母乘以分母的共轭。例如，除以 z₁ = x₁ + y₁i z₂ = x₂ + y₂i：

z₁ / z₂ = (x₁ + y₁i) / (x₂ + y₂i)
        = (x₁ + y₁i) * (x₂ - y₂i) / ((x₂ + y₂i) * (x₂ - y₂i))
        = [(x₁x₂ + y₁y₂) + (y₁x₂ – x₁y₂)i] / (x₂² + y₂²)

示例

让我们将 z₁ = 7 + i 除以 z₂ = 2 - 3i：

z₁ / z₂ = (7 + i) * (2 + 3i) / ((2 - 3i) * (2 + 3i))
        = (14 + 21i + 2i - 3) / (4 + 9)
        = (11 + 23i) / 13
        = 11/13 + (23/13)i

极坐标形式

每个复数也可以用极坐标表示。极坐标形式揭示了表示复数的向量的大小和角度。如果 z = x + yi，则其极坐标形式为：

z = r(cosθ + isinθ)

其中 r = √(x² + y²) 是模，θ = atan2(y, x) 是幅角（或角度）。

示例

对于复数 z = 3 + 4i，它的模是 r = √(3² + 4²) = 5。角度 θ 是 atan2(4, 3)。因此，极坐标形式为：

z = 5(cosθ + isinθ)

欧拉公式

欧拉公式是复分析与三角学之间的重要联系，其表达式为：

e^(iθ) = cosθ + isinθ

使用欧拉公式，复数的极坐标形式可以简化为：

z = re^(iθ)

复分析的应用

复分析在工程、物理和数论等领域有许多应用。它用于信号处理、流体动力学和电磁学。复函数的微积分提供了强大的工具来解决热力学和量子力学中的物理问题。

总结

复分析不仅是数学的一个美丽而有趣的领域，而且它也带来了实际应用，展示了其在纯数学之外的影响。通过研究复函数、积分和级数展开，可以揭示深层的数学特性和强大的问题解决技术。

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