Doutorado
  1. Compreendendo Álgebra  1.1. Teoria dos grupos  1.1.1. Propriedades básicas dos grupos  1.1.2. Subgrupos  1.1.3. Classes laterais e o teorema de Lagrange  1.1.4. Subgrupos normais  1.1.5. Grupo quociente  1.1.6. Homomorfismos de grupos  1.1.7. Teorema de Sylow  1.1.8. Introdução aos grupos livres  1.1.9. O que são atividades em grupo?  1.1.10. Grupos simples e solucionáveis  1.2. Teoria dos anéis  1.2.1. Anéis e ideais  1.2.2. Introdução aos homomorfismos de anéis  1.2.3. Aneis polinomiais  1.2.4. Domínios de ideais principais  1.2.5. Domínios de Fatoração Única  1.2.6. Anéis noetherianos  1.2.7. Anéis Artinianos  1.3. Teoria dos Campos  1.3.1. Extensões de corpos  1.3.2. Divisão de área  1.3.3. Teoria de Galois  1.3.4. Fechamento algébrico na teoria dos corpos  1.3.5. Campos finitos  1.3.6. Extensão transcendental  1.4. Teoria dos módulos  1.4.1. Módulos sobre anéis  1.4.2. Módulos livres  1.4.3. Homomorfismo de módulo  1.4.4. Módulos simples e semi-simples  1.4.5. Módulos projetivos  1.4.6. Módulos Injetivos  1.5. Álgebra linear  1.5.1. Espaço vetorial  1.5.2. Transformações lineares  1.5.3. Entendendo Autovalores e Autovetores  1.5.4. Forma canônica  1.5.5. Espaço de produto interno  1.5.6. Teorema Espectral  1.5.7. Decomposição em valores singulares
  2. Compreendendo a Análise Matemática  2.1. Análise real  2.1.1. Números reais e completude  2.1.2. Introdução a sequências e séries  2.1.3. Continuidade em análise real  2.1.4. Diferenciação em análise real  2.1.5. Integração de Riemann  2.1.6. Introdução aos espaços métricos  2.1.7. Medida de Lebesgue  2.2. Análise Complexa  2.2.1. Números complexos  2.2.2. Funções analíticas  2.2.3. Integração de contorno  2.2.4. Teorema de Cauchy  2.2.5. Teorema do Resíduo  2.2.6. Mapeamento conformal  2.3. Análise Funcional  2.3.1. Compreendendo locais padrão  2.3.2. Introdução aos espaços de Banach  2.3.3. Espaços de Hilbert  2.3.4. Operadores lineares  2.3.5. Teoria espectral  2.3.6. Operadores compactos  2.4. Teoria da Medida  2.4.1. Álgebra sigma  2.4.2. Medição e integrais na teoria da medida  2.4.3. Integração de Lebesgue  2.4.4. Teorema da Convergência  2.4.5. Teorema de Fubini  2.5. Análise Harmônica  2.5.1. Séries de Fourier  2.5.2. Transformada de Fourier  2.5.3. Teoria da distribuição  2.5.4. Wavelets
  3. Topologia  3.1. Topologia geral  3.1.1. Conjuntos abertos e fechados  3.1.2. Continuidade  3.1.3. Introdução à compacidade  3.1.4. Conectividade na topologia geral  3.1.5. Topologia métrica  3.2. Topologia algébrica  3.2.1. Grupo fundamental  3.2.2. Teoria da homotopia  3.2.3. Teoria da homologia  3.2.4. Cohomologia  3.2.5. Sequência exata  3.3. Topologia diferencial  3.3.1. Variedades suaves  3.3.2. Espaço tangente  3.3.3. Campos vetoriais  3.3.4. Compreendendo Formas Diferenciais
  4. Geometria  4.1. Geometria diferencial  4.1.1. Curvas e superfícies na geometria diferencial  4.1.2. Geometria Riemanniana  4.1.3. Compreendendo geodésicas na geometria diferencial  4.1.4. Curvatura  4.2. Geometria algébrica  4.2.1. Variedades afins e projetivas  4.2.2. Planos  4.2.3. Separadores e interseções  4.2.4. Cohomologia na geometria algébrica  4.3. Geometria Computacional  4.3.1. Introdução às coberturas convexas na geometria computacional  4.3.2. Triangulação  4.3.3. Diagrama de Voronoi  4.3.4. Algoritmos Geométricos
  5. Teoria dos números  5.1. Teoria dos números elementar  5.1.1. Divisibilidade na teoria elementar dos números  5.1.2. Congruência na teoria dos números elementar  5.1.3. Aritmética modular  5.2. Teoria analítica dos números  5.2.1. Teorema dos números primos  5.2.2. Séries de Dirichlet  5.2.3. Zeta e funções L  5.3. Teoria dos números algébricos  5.3.1. Campos numéricos  5.3.2. Introdução aos ideais na teoria algébrica dos números  5.3.3. Grupos de classes em teoria algébrica dos números  5.3.4. Representação de Galois
  6. Companhia  6.1. Combinatória computacional  6.1.1. Função Geradora  6.1.2. Relação de recorrência  6.1.3. Permanência e combinação  6.2. Teoria dos grafos  6.2.1. Isomorfismo de grafos  6.2.2. Planaridade em teoria dos grafos  6.2.3. Coloração de grafos  6.3. Combinatória extrema  6.3.1. Teoria de Ramsey  6.3.2. Métodos probabilísticos em combinatória extrema  6.4. Combinatória algébrica  6.4.1. Métodos de matrizes em combinatória algébrica  6.4.2. Teoria da Representação
  7. Argumentos e fundamentos  7.1. Teoria dos conjuntos  7.1.1. Axiomas de Zermelo-Fraenkel  7.1.2. Ordinais e cardinais  7.2. Introdução à teoria dos modelos  7.2.1. Estruturas e teorias na teoria dos modelos  7.2.2. Teorema da compacidade  7.3. Teoria da prova  7.3.1. Sistemas formais  7.3.2. Consistência e completude
  8. Probabilidade e Estatística  8.1. Teoria da probabilidade  8.1.1. Variáveis aleatórias  8.1.2. Expectativa e variação  8.1.3. Teorema do limite central  8.2. Processos estocásticos  8.2.1. Cadeias de Markov  8.2.2. Movimento browniano  8.3. Inferência estatística  8.3.1. Teste de hipóteses  8.3.2. Análise de regressão
  9. Matemática aplicada  9.1. Análise numérica em matemática aplicada  9.1.1. Métodos iterativos  9.1.2. Interpolação  9.1.3. Análise de erros  9.2. Equações diferenciais parciais  9.2.1. Equação elíptica  9.2.2. Equação parabólica  9.2.3. Equações hiperbólicas  9.3. Sistemas dinâmicos  9.3.1. Teoria do Caos  9.3.2. Análise de estabilidade em sistemas dinâmicos

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Análise Complexa


A análise complexa é um ramo da matemática que explora funções de números complexos. Números complexos estendem a ideia da linha numérica unidimensional para o plano complexo bidimensional, utilizando o eixo x para números reais e o eixo y para números imaginários. Um número complexo é geralmente expresso como z = x + yi, onde x e y são números reais, e i é uma unidade imaginária com a propriedade i² = -1.

Plano complexo

O plano complexo é a área na qual números complexos são plotados. O eixo horizontal representa a parte real x e o eixo vertical representa a parte imaginária yi. Representar números complexos como pontos ou vetores no plano complexo ajuda a visualizar operações como adição, subtração e multiplicação.

z = x + y Eixo imaginário Eixo real

No exemplo acima, o ponto z = x + yi (marcado em vermelho) no plano complexo representa um número complexo.

Adição e subtração de números complexos

Adicionar e subtrair números complexos é simples. Você adiciona ou subtrai separadamente as partes reais e imaginárias correspondentes. Por exemplo, se z₁ = x₁ + y₁i e z₂ = x₂ + y₂i, então:

z₁ + z₂ = (x₁ + x₂) + (y₁ + y₂)i
z₁ – z₂ = (x₁ – x₂) + (y₁ – y₂)i

Exemplo

Suponha que temos dois números complexos, z₁ = 3 + 4i e z₂ = 1 + 2i. Então, sua soma e diferença são calculadas da seguinte forma:

z₁ + z₂ = (3 + 1) + (4 + 2)i = 4 + 6i
z₁ – z₂ = (3 – 1) + (4 – 2)i = 2 + 2i

Multiplicação de números complexos

A multiplicação envolve distribuir os termos e aplicar a propriedade i² = -1. Por exemplo:

z₁ * z₂ = (x₁ + y₁i)(x₂ + y₂i)
        = x₁x₂ + x₁y₂i + y₁x₂i + y₁y₂i²
        = (x₁x₂ – y₁y₂) + (x₁y₂ + y₁x₂)i

Aqui, a expansão da multiplicação é semelhante à da álgebra distributiva, com uma regra adicional simplificando i² para -1.

Exemplo

Vamos pegar dois números complexos z₁ = 2 + 3i e z₂ = 4 + i, então:

z₁ * z₂ = (2 + 3i)(4 + i)
        = 2*4 + 2*i + 3i*4 + 3i²
        = 8 + 2i + 12i – 3
        = 5 + 14i

Conjugados complexos

Para um número complexo z = x + yi, seu conjugado complexo, denotado como z̅, é o número x - yi. Conjugados ajudam a racionalizar denominadores e encontrar o módulo.

Exemplo

Para o número complexo z = 5 + 3i, seu conjugado é z̅ = 5 - 3i.

Divisão de números complexos

Para dividir por um número complexo, multiplica-se o numerador e o denominador pelo conjugado do denominador. Por exemplo, dividindo por z₁ = x₁ + y₁i z₂ = x₂ + y₂i:

z₁ / z₂ = (x₁ + y₁i) / (x₂ + y₂i)
        = (x₁ + y₁i) * (x₂ - y₂i) / ((x₂ + y₂i) * (x₂ - y₂i))
        = [(x₁x₂ + y₁y₂) + (y₁x₂ – x₁y₂)i] / (x₂² + y₂²)

Exemplo

Vamos dividir z₁ = 7 + i por z₂ = 2 - 3i:

z₁ / z₂ = (7 + i) * (2 + 3i) / ((2 - 3i) * (2 + 3i))
        = (14 + 21i + 2i - 3) / (4 + 9)
        = (11 + 23i) / 13
        = 11/13 + (23/13)i

Forma polar

Todo número complexo também pode ser expresso em coordenadas polares. A forma polar revela a magnitude e o ângulo do vetor que representa o número complexo. Se z = x + yi então sua forma polar é:

z = r(cosθ + isinθ)

onde r = √(x² + y²) é o módulo, e θ = atan2(y, x) é o argumento (ou ângulo).

Exemplo

Para o número complexo z = 3 + 4i, seu módulo é r = √(3² + 4²) = 5. O ângulo θ é atan2(4, 3). Assim, a forma polar é:

z = 5(cosθ + isinθ)

Fórmula de Euler

A fórmula de Euler é um elo importante entre análise complexa e trigonometria, que é expressa como:

e^(iθ) = cosθ + isinθ

Usando a fórmula de Euler, a forma polar de um número complexo simplifica-se para:

z = re^(iθ)

Aplicações da análise complexa

A análise complexa tem muitas aplicações em campos como engenharia, física e teoria dos números. É usada no processamento de sinais, dinâmica de fluidos e eletromagnetismo. O cálculo de funções complexas proporciona ferramentas poderosas para resolver problemas físicos em termodinâmica e mecânica quântica.

Conclusão

A análise complexa não é apenas um campo belo e interessante da matemática, mas também traz aplicações do mundo real que demonstram seu impacto além da matemática pura. Estudando funções complexas, integrais e expansões em série, pode-se descobrir propriedades matemáticas profundas e técnicas poderosas de resolução de problemas.


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