複素解析
複素解析は、複素数の関数を探求する数学の一分野です。複素数は、実数をx軸、虚数をy軸として使用することで、一次元の数直線の概念を二次元の複素平面に拡張します。複素数は通常z = x + yiと表され、xとyは実数、iは性質i² = -1を持つ虚数単位です。
複素平面
複素平面は、複素数がプロットされる領域です。水平軸は実部xを表し、垂直軸は虚部yiを表します。複素数を複素平面の点またはベクトルとして表現することで、加算、減算、乗算などの操作を視覚化するのに役立ちます。
上記の例では、複素平面の点z = x + yi（赤でマーク）は複素数を表しています。
複素数の加算と減算
複素数の加算と減算は簡単です。対応する実部と虚部を個別に加算または減算します。例えば、z₁ = x₁ + y₁iとz₂ = x₂ + y₂iの場合：
z₁ + z₂ = (x₁ + x₂) + (y₁ + y₂)i z₁ – z₂ = (x₁ – x₂) + (y₁ – y₂)i
例
複素数z₁ = 3 + 4iとz₂ = 1 + 2iが与えられているとします。これらの和と差は次のように計算されます：
z₁ + z₂ = (3 + 1) + (4 + 2)i = 4 + 6i z₁ – z₂ = (3 – 1) + (4 – 2)i = 2 + 2i
複素数の乗算
乗算は項を展開し、性質i² = -1を適用することを含みます。例えば：
z₁ * z₂ = (x₁ + y₁i)(x₂ + y₂i)
= x₁x₂ + x₁y₂i + y₁x₂i + y₁y₂i²
= (x₁x₂ – y₁y₂) + (x₁y₂ + y₁x₂)i
ここで、乗算の展開は分配代数に類似しており、追加の規則としてi²を-1に簡略化します。
例
複素数z₁ = 2 + 3iとz₂ = 4 + iを取ると：
z₁ * z₂ = (2 + 3i)(4 + i)
= 2*4 + 2*i + 3i*4 + 3i²
= 8 + 2i + 12i – 3
= 5 + 14i
複素共役
複素数z = x + yiの複素共役はz̅と表記され、数x - yiです。共役は分母の有理化やモジュラスを求めるのに役立ちます。
例
複素数z = 5 + 3iの場合、その共役はz̅ = 5 - 3iです。
複素数の除算
複素数で割るためには、分子と分母を分母の共役で乗算します。例えば、z₁ = x₁ + y₁i z₂ = x₂ + y₂iの場合：
z₁ / z₂ = (x₁ + y₁i) / (x₂ + y₂i)
= (x₁ + y₁i) * (x₂ - y₂i) / ((x₂ + y₂i) * (x₂ - y₂i))
= [(x₁x₂ + y₁y₂) + (y₁x₂ – x₁y₂)i] / (x₂² + y₂²)
例
z₁ = 7 + iをz₂ = 2 - 3iで割ると：
z₁ / z₂ = (7 + i) * (2 + 3i) / ((2 - 3i) * (2 + 3i))
= (14 + 21i + 2i - 3) / (4 + 9)
= (11 + 23i) / 13
= 11/13 + (23/13)i
極形式
すべての複素数は極座標でも表すことができます。極形式は、複素数を表すベクトルの大きさと角度を示します。もしz = x + yiであれば、その極形式は次のようです：
z = r(cosθ + isinθ)
ここでr = √(x² + y²)はモジュラスで、θ = atan2(y, x)は偏角（または角度）です。
例
複素数z = 3 + 4iの場合、そのモジュラスはr = √(3² + 4²) = 5です。角度θはatan2(4, 3)です。よって、極形式は次のようになります：
z = 5(cosθ + isinθ)
オイラーの公式
オイラーの公式は複素解析と三角法の重要なリンクで、次のように表されます：
e^(iθ) = cosθ + isinθ
オイラーの公式を使用すると、複素数の極形式は簡略化されます：
z = re^(iθ)
複素解析の応用
複素解析は工学、物理学、数論などの分野で多くの応用があります。信号処理、流体力学、電磁気学で使用されます。複素関数の微積分は、熱力学や量子力学の物理的問題を解決するための強力な手法を提供します。
結論
複素解析は、美しく興味深い数学の分野であるだけでなく、純粋な数学を超えてその影響を示す現実世界の応用ももたらします。複素関数、積分、および級数展開を学ぶことで、深い数学的性質や強力な問題解決技術を発見することができます。
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