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सम्मिश्र विश्लेषण
सम्मिश्र विश्लेषण, गणित की वह शाखा है जो सम्मिश्र संख्याओं के फलनों की खोज करती है। सम्मिश्र संख्याएँ एक-आयामी संख्या रेखा के विचार को दो-आयामी सम्मिश्र तल पर विस्तारित करती हैं, जिसमें वास्तविक संख्याओं के लिए क्ष x-अक्ष और काल्पनिक संख्याओं के लिए y-अक्ष का उपयोग होता है। एक सम्मिश्र संख्या को सामान्यत: z = x + yi के रूप में व्यक्त किया जाता है, जहाँ x और y वास्तविक संख्याएँ होती हैं, और i एक काल्पनिक इकाई होती है जिसकी गुणधर् i² = -1 होती है।
सम्मिश्र तल
सम्मिश्र तल वह क्षेत्र होता है जिस पर सम्मिश्र संख्याएँ परिलक्षित होती हैं। क्षैतिज अक्ष वास्तविक भाग x को और लंबवत अक्ष काल्पनिक भाग yi को दर्शाता है। सम्मिश्र तल में बिंदुओं या सदिशों के रूप में सम्मिश्र संख्याओं का प्रतिनिधित्व करने से योग, घटाव और गुणन जैसे क्रियाकलापों को दृष्टिगत करना सरल हो जाता है।
ऊपर के उदाहरण में, सम्मिश्र तल में z = x + yi (लाल रंग में चिह्नित) बिंदु एक सम्मिश्र संख्या का प्रतिनिधित्व करता है।
सम्मिश्र संख्याओं का योग और घटाव
सम्मिश्र संख्याओं का योग और घटाव सरल होता है। आप संबंधित वास्तविक और काल्पनिक भागों को अलग से जोड़ते या घटाते हैं। उदाहरण के लिए, यदि z₁ = x₁ + y₁i और z₂ = x₂ + y₂i हो, तो:
z₁ + z₂ = (x₁ + x₂) + (y₁ + y₂)i z₁ – z₂ = (x₁ – x₂) + (y₁ – y₂)i
उदाहरण
मान लें कि हमारे पास दो सम्मिश्र संख्याएँ हैं, z₁ = 3 + 4i और z₂ = 1 + 2i। तब उनका योग और अंतर इस प्रकार से गणना किया गया है:
z₁ + z₂ = (3 + 1) + (4 + 2)i = 4 + 6i z₁ – z₂ = (3 – 1) + (4 – 2)i = 2 + 2i
सम्मिश्र संख्याओं का गुणन
गुणन में संघटकों को वितरित करना और i² = -1 के गुणधर का उपयोग करना शामिल होता है। उदाहरण के लिए:
z₁ * z₂ = (x₁ + y₁i)(x₂ + y₂i)
= x₁x₂ + x₁y₂i + y₁x₂i + y₁y₂i²
= (x₁x₂ – y₁y₂) + (x₁y₂ + y₁x₂)i
यहाँ, गुणन का विस्तार वितरित बीजगणित के समान है, जिसमें एक अतिरिक्त नियम i² को -1 में सरल बनाता है।
उदाहरण
चलो दो सम्मिश्र संख्याएँ लेते हैं z₁ = 2 + 3i और z₂ = 4 + i, तब:
z₁ * z₂ = (2 + 3i)(4 + i)
= 2*4 + 2*i + 3i*4 + 3i²
= 8 + 2i + 12i – 3
= 5 + 14i
सम्मिश्र संयुग्मज
एक सम्मिश्र संख्या z = x + yi के लिए, उसका सम्मिश्र संयुग्मज, जिसको z̅ के रूप में निरूपित किया गया है, संख्या x - yi है। संयुग्मज हरिशंकुकों को क्रमदंश करने और मापांक का पता लगाने में मदद करते हैं।
उदाहरण
सम्मिश्र संख्या z = 5 + 3i के लिए, इसका संयुग्मज z̅ = 5 - 3i है।
सम्मिश्र संख्याओं का भाग
सम्मिश्र संख्या से भाग करने के लिए, अंश और हर के साथ हर के संयुग्मज को गुणा करें। उदाहरण के लिए, z₁ = x₁ + y₁i z₂ = x₂ + y₂i से भाग करते हैं:
z₁ / z₂ = (x₁ + y₁i) / (x₂ + y₂i)
= (x₁ + y₁i) * (x₂ - y₂i) / ((x₂ + y₂i) * (x₂ - y₂i))
= [(x₁x₂ + y₁y₂) + (y₁x₂ – x₁y₂)i] / (x₂² + y₂²)
उदाहरण
मान लेते हैं कि z₁ = 7 + i को z₂ = 2 - 3i से भाग करना है:
z₁ / z₂ = (7 + i) * (2 + 3i) / ((2 - 3i) * (2 + 3i))
= (14 + 21i + 2i - 3) / (4 + 9)
= (11 + 23i) / 13
= 11/13 + (23/13)i
ध्रुवीय रूप
प्रत्येक सम्मिश्र संख्या को ध्रुवीय निर्देशांकों में भी व्यक्त किया जा सकता है। ध्रुवीय रूप उस सदिश की महिमा और कोण को प्रकट करता है जो सम्मिश्र संख्या का प्रतिनिधित्व करता है। यदि z = x + yi हो तो उसका ध्रुवीय रूप है:
z = r(cosθ + isinθ)
जहाँ r = √(x² + y²) मापांक है, और θ = atan2(y, x) तर्क (या कोण) है।
उदाहरण
सम्मिश्र संख्या z = 3 + 4i के लिए, इसका मापांक r = √(3² + 4²) = 5 है। कोण θ atan2(4, 3) है। अतः, ध्रुवीय रूप है:
z = 5(cosθ + isinθ)
ऑयलर का सूत्र
ऑयलर का सूत्र सम्मिश्र विश्लेषण और त्रिकोणमिति के बीच एक महत्वपूर्ण संबंध है, जो इस प्रकार से व्यक्त किया जाता है:
e^(iθ) = cosθ + isinθ
ऑयलर के सूत्र का उपयोग करके, एक सम्मिश्र संख्या का ध्रुवीय रूप सरल हो जाता है:
z = re^(iθ)
सम्मिश्र विश्लेषण के अनुप्रयोग
सम्मिश्र विश्लेषण के कई अनुप्रयोग हैं, जैसे कि इंजीनियरिंग, भौतिकी और संख्या सिद्धांत में। इसका उपयोग संकेत प्रसंस्करण, तरल गतिकी और विद्युत चुंबकत्व में किया जाता है। सम्मिश्र फलनों का कलनभाषान उपकरण खासाई समस्याओं को थर्मोडायनमिक्स और क्वांटम यांत्रिकी में हल करने के लिए उपयोग करता है।
निष्कर्ष
सम्मिश्र विश्लेषण केवल गणित का एक सुखद और रोचक क्षेत्र नहीं है, बल्कि यह वास्तविक दुनिया के अनुप्रयोगों को भी प्रस्तुत करता है जो इसके प्रभाव का प्रदर्शन करते हैं कि यह कैसे सृजनात्मक गणित से परे जाकर लागू होता है। सम्मिश्र फलनों, अवकल और श्रेणी विस्तारों का अध्ययन करके, गहन गणितीय गुणधरों और शक्तिशाली समस्या समाधान तकनीकों का पता लगाया जा सकता है।
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