Doctorado
  1. Comprendiendo el Álgebra  1.1. Teoría de grupos  1.1.1. Propiedades básicas de los grupos  1.1.2. Subgrupos  1.1.3. Cosets y el teorema de Lagrange  1.1.4. Subgrupos normales  1.1.5. Grupo cociente  1.1.6. Homomorfismos de grupos  1.1.7. Teorema de Sylow  1.1.8. Introducción a los grupos libres  1.1.9. ¿Qué son las actividades grupales?  1.1.10. Grupos simples y resolubles  1.2. Teoría de anillos  1.2.1. Anillos e ideales  1.2.2. Introducción a los homomorfismos de anillos  1.2.3. Anillos polinomiales  1.2.4. Dominios Ideales Principales  1.2.5. Dominios de factorización única  1.2.6. Anillos noetherianos  1.2.7. Anillos de Artiniano  1.3. Teoría de campos  1.3.1. Extensiones de campos  1.3.2. División de áreas  1.3.3. Teoría de Galois  1.3.4. Cierre algebraico en teoría de campos  1.3.5. Campos finitos  1.3.6. Extensión trascendental  1.4. Teoría de módulos  1.4.1. Módulos sobre anillos  1.4.2. Módulos libres  1.4.3. Morfismo de módulos  1.4.4. Módulos simples y semisimples  1.4.5. Módulos proyectivos  1.4.6. Módulos inyectivos  1.5. Álgebra lineal  1.5.1. Espacio vectorial  1.5.2. Transformaciones lineales  1.5.3. Comprendiendo Valores Propios y Vectores Propios  1.5.4. Forma canónica  1.5.5. Espacio de producto interior  1.5.6. Teorema Espectral  1.5.7. Descomposición en valores singulares
  2. Entendiendo el Análisis Matemático  2.1. Análisis real  2.1.1. Números reales y completitud  2.1.2. Introducción a las secuencias y series  2.1.3. Continuidad en el análisis real  2.1.4. Diferenciación en el análisis real  2.1.5. Integración de Riemann  2.1.6. Introducción a los espacios métricos  2.1.7. Medida de Lebesgue  2.2. Análisis complejo  2.2.1. Números complejos  2.2.2. Funciones analíticas  2.2.3. Integración de contornos  2.2.4. Teorema de Cauchy  2.2.5. Teorema del residuo  2.2.6. Mapeo conforme  2.3. Análisis funcional  2.3.1. Comprender ubicaciones estándar  2.3.2. Introducción a los espacios de Banach  2.3.3. Espacios de Hilbert  2.3.4. Operadores lineales  2.3.5. Teoría espectral  2.3.6. Operadores compactos  2.4. Teoría de la medida  2.4.1. Álgebra sigma  2.4.2. Medidas e integrales en la teoría de la medida  2.4.3. Integración de Lebesgue  2.4.4. Teorema de convergencia  2.4.5. Teorema de Fubini  2.5. Análisis Armónico  2.5.1. Serie de Fourier  2.5.2. Transformada de Fourier  2.5.3. Teoría de la distribución  2.5.4. Wavelets
  3. Topología  3.1. Topología general  3.1.1. Conjuntos abiertos y cerrados  3.1.2. Continuidad  3.1.3. Introducción a la compacidad  3.1.4. Conectividad en topología general  3.1.5. Topología métrica  3.2. Topología algebraica  3.2.1. Grupo fundamental  3.2.2. Teoría de la homotopía  3.2.3. Teoría de la homología  3.2.4. Cohomología  3.2.5. Secuencia exacta  3.3. Topología diferencial  3.3.1. Variedades suaves  3.3.2. Espacio tangente  3.3.3. Campos vectoriales  3.3.4. Comprensión de las Formas Diferenciales
  4. Geometría  4.1. Geometría diferencial  4.1.1. Curvas y superficies en geometría diferencial  4.1.2. Geometría Riemanniana  4.1.3. Comprendiendo las geodésicas en la geometría diferencial  4.1.4. Curvatura  4.2. Geometría algebraica  4.2.1. Variedades afines y proyectivas  4.2.2. Planes  4.2.3. Separadores e intersecciones  4.2.4. Cohomología en geometría algebraica  4.3. Geometría Computacional  4.3.1. Introducción a las cubiertas convexas en geometría computacional  4.3.2. Triangulación  4.3.3. Diagrama de Voronoi  4.3.4. Algoritmos Geométricos
  5. Teoría de números  5.1. Teoría de números elemental  5.1.1. Divisibilidad en la teoría de números elemental  5.1.2. Congruencia en teoría de números elemental  5.1.3. Aritmética modular  5.2. Teoría analítica de números  5.2.1. Teorema de los números primos  5.2.2. Series de Dirichlet  5.2.3. Zeta y funciones L  5.3. Teoría de números algebraicos  5.3.1. Campos numéricos  5.3.2. Introducción a ideales en teoría de números algebraicos  5.3.3. Grupos de clases en teoría de números algebraicos  5.3.4. Representación de Galois
  6. Compañerismo  6.1. Combinatoria computacional  6.1.1. Función generadora  6.1.2. Relación de recurrencia  6.1.3. Ppermutaion y combinaciones  6.2. Teoría de grafos  6.2.1. Isomorfismo de grafos  6.2.2. Planicidad en teoría de grafos  6.2.3. Coloración de grafos  6.3. Combinatoria extrema  6.3.1. Teoría de Ramsey  6.3.2. Métodos probabilísticos en combinatoria extrema  6.4. Combinatoria algebraica  6.4.1. Métodos de matrices en combinatoria algebraica  6.4.2. Teoría de la representación
  7. Argumentos y fundamentos  7.1. Teoría de conjuntos  7.1.1. Axiomas de Zermelo-Fraenkel  7.1.2. Ordinales y cardinales  7.2. Introducción a la teoría de modelos  7.2.1. Estructuras y teorías en la teoría de modelos  7.2.2. Teorema de compacidad  7.3. Teoría de la demostración  7.3.1. Sistemas formales  7.3.2. Consistencia y completitud
  8. Probabilidad y Estadística  8.1. Teoría de la probabilidad  8.1.1. Variables aleatorias  8.1.2. Expectativa y variación  8.1.3. Teorema central del límite  8.2. Procesos estocásticos  8.2.1. Cadenas de Markov  8.2.2. Movimiento Browniano  8.3. Inferencia estadística  8.3.1. Pruebas de hipótesis  8.3.2. Análisis de regresión
  9. Matemáticas aplicadas  9.1. Análisis numérico en matemáticas aplicadas  9.1.1. Métodos iterativos  9.1.2. Interpolación  9.1.3. Análisis de errores  9.2. Ecuaciones diferenciales parciales  9.2.1. Ecuación elíptica  9.2.2. Ecuación parabólica  9.2.3. Ecuaciones hiperbólicas  9.3. Sistemas dinámicos  9.3.1. Teoría del caos  9.3.2. Análisis de estabilidad en sistemas dinámicos

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Análisis complejo


El análisis complejo es una rama de las matemáticas que explora funciones de números complejos. Los números complejos extienden la idea de la línea de números unidimensional a un plano complejo bidimensional utilizando el eje x para números reales y el eje y para números imaginarios. Un número complejo se expresa generalmente como z = x + yi, donde x y y son números reales, y i es una unidad imaginaria con la propiedad i² = -1.

Plano complejo

El plano complejo es el área en la que se grafican los números complejos. El eje horizontal representa la parte real x, y el eje vertical representa la parte imaginaria yi. Representar números complejos como puntos o vectores en el plano complejo ayuda a visualizar operaciones como la suma, la resta y la multiplicación.

z = x + y Eje imaginario Eje real

En el ejemplo anterior, el punto z = x + yi (marcado en rojo) en el plano complejo representa un número complejo.

Suma y resta de números complejos

Sumar y restar números complejos es simple. Se suman o restan por separado las partes reales e imaginarias correspondientes. Por ejemplo, si z₁ = x₁ + y₁i y z₂ = x₂ + y₂i, entonces:

z₁ + z₂ = (x₁ + x₂) + (y₁ + y₂)i
z₁ – z₂ = (x₁ – x₂) + (y₁ – y₂)i

Ejemplo

Supongamos que tenemos dos números complejos, z₁ = 3 + 4i y z₂ = 1 + 2i. Entonces su suma y diferencia se calculan de la siguiente manera:

z₁ + z₂ = (3 + 1) + (4 + 2)i = 4 + 6i
z₁ – z₂ = (3 – 1) + (4 – 2)i = 2 + 2i

Multiplicación de números complejos

La multiplicación implica distribuir los términos y aplicar la propiedad i² = -1. Por ejemplo:

z₁ * z₂ = (x₁ + y₁i)(x₂ + y₂i)
        = x₁x₂ + x₁y₂i + y₁x₂i + y₁y₂i²
        = (x₁x₂ – y₁y₂) + (x₁y₂ + y₁x₂)i

Aquí, la expansión de la multiplicación es similar a la del álgebra distributiva, con una regla adicional simplificando i² a -1.

Ejemplo

Tomemos dos números complejos z₁ = 2 + 3i y z₂ = 4 + i, entonces:

z₁ * z₂ = (2 + 3i)(4 + i)
        = 2*4 + 2*i + 3i*4 + 3i²
        = 8 + 2i + 12i – 3
        = 5 + 14i

Conjugados complejos

Para un número complejo z = x + yi, su conjugado complejo, denotado como z̅, es el número x - yi. Los conjugados ayudan a racionalizar denominadores y encontrar el módulo.

Ejemplo

Para el número complejo z = 5 + 3i, su conjugado es z̅ = 5 - 3i.

División de números complejos

Para dividir por un número complejo, multiplica el numerador y el denominador por el conjugado del denominador. Por ejemplo, dividiendo por z₁ = x₁ + y₁i z₂ = x₂ + y₂i:

z₁ / z₂ = (x₁ + y₁i) / (x₂ + y₂i)
        = (x₁ + y₁i) * (x₂ - y₂i) / ((x₂ + y₂i) * (x₂ - y₂i))
        = [(x₁x₂ + y₁y₂) + (y₁x₂ – x₁y₂)i] / (x₂² + y₂²)

Ejemplo

Dividamos z₁ = 7 + i por z₂ = 2 - 3i:

z₁ / z₂ = (7 + i) * (2 + 3i) / ((2 - 3i) * (2 + 3i))
        = (14 + 21i + 2i - 3) / (4 + 9)
        = (11 + 23i) / 13
        = 11/13 + (23/13)i

Forma polar

Cada número complejo también puede expresarse en coordenadas polares. La forma polar revela la magnitud y el ángulo del vector que representa el número complejo. Si z = x + yi entonces su forma polar es:

z = r(cosθ + isinθ)

donde r = √(x² + y²) es el módulo, y θ = atan2(y, x) es el argumento (o ángulo).

Ejemplo

Para el número complejo z = 3 + 4i, su módulo es r = √(3² + 4²) = 5 El ángulo θ es atan2(4, 3). Por lo tanto, la forma polar es:

z = 5(cosθ + isinθ)

Fórmula de Euler

La fórmula de Euler es un vínculo importante entre el análisis complejo y la trigonometría, que se expresa como:

e^(iθ) = cosθ + isinθ

Usando la fórmula de Euler, la forma polar de un número complejo se simplifica a:

z = re^(iθ)

Aplicaciones del análisis complejo

El análisis complejo tiene muchas aplicaciones en campos como la ingeniería, la física y la teoría de números. Se utiliza en el procesamiento de señales, la dinámica de fluidos y el electromagnetismo. El cálculo de funciones complejas proporciona herramientas poderosas para resolver problemas físicos en termodinámica y mecánica cuántica.

Conclusión

El análisis complejo no solo es un campo hermoso e interesante de las matemáticas, sino que también trae consigo aplicaciones del mundo real que demuestran su impacto más allá de las matemáticas puras. Al estudiar funciones complejas, integrales y expansiones en series, uno puede descubrir propiedades matemáticas profundas y técnicas poderosas de resolución de problemas.


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