Doutorado
  1. Compreendendo Álgebra  1.1. Teoria dos grupos  1.1.1. Propriedades básicas dos grupos  1.1.2. Subgrupos  1.1.3. Classes laterais e o teorema de Lagrange  1.1.4. Subgrupos normais  1.1.5. Grupo quociente  1.1.6. Homomorfismos de grupos  1.1.7. Teorema de Sylow  1.1.8. Introdução aos grupos livres  1.1.9. O que são atividades em grupo?  1.1.10. Grupos simples e solucionáveis  1.2. Teoria dos anéis  1.2.1. Anéis e ideais  1.2.2. Introdução aos homomorfismos de anéis  1.2.3. Aneis polinomiais  1.2.4. Domínios de ideais principais  1.2.5. Domínios de Fatoração Única  1.2.6. Anéis noetherianos  1.2.7. Anéis Artinianos  1.3. Teoria dos Campos  1.3.1. Extensões de corpos  1.3.2. Divisão de área  1.3.3. Teoria de Galois  1.3.4. Fechamento algébrico na teoria dos corpos  1.3.5. Campos finitos  1.3.6. Extensão transcendental  1.4. Teoria dos módulos  1.4.1. Módulos sobre anéis  1.4.2. Módulos livres  1.4.3. Homomorfismo de módulo  1.4.4. Módulos simples e semi-simples  1.4.5. Módulos projetivos  1.4.6. Módulos Injetivos  1.5. Álgebra linear  1.5.1. Espaço vetorial  1.5.2. Transformações lineares  1.5.3. Entendendo Autovalores e Autovetores  1.5.4. Forma canônica  1.5.5. Espaço de produto interno  1.5.6. Teorema Espectral  1.5.7. Decomposição em valores singulares
  2. Compreendendo a Análise Matemática  2.1. Análise real  2.1.1. Números reais e completude  2.1.2. Introdução a sequências e séries  2.1.3. Continuidade em análise real  2.1.4. Diferenciação em análise real  2.1.5. Integração de Riemann  2.1.6. Introdução aos espaços métricos  2.1.7. Medida de Lebesgue  2.2. Análise Complexa  2.2.1. Números complexos  2.2.2. Funções analíticas  2.2.3. Integração de contorno  2.2.4. Teorema de Cauchy  2.2.5. Teorema do Resíduo  2.2.6. Mapeamento conformal  2.3. Análise Funcional  2.3.1. Compreendendo locais padrão  2.3.2. Introdução aos espaços de Banach  2.3.3. Espaços de Hilbert  2.3.4. Operadores lineares  2.3.5. Teoria espectral  2.3.6. Operadores compactos  2.4. Teoria da Medida  2.4.1. Álgebra sigma  2.4.2. Medição e integrais na teoria da medida  2.4.3. Integração de Lebesgue  2.4.4. Teorema da Convergência  2.4.5. Teorema de Fubini  2.5. Análise Harmônica  2.5.1. Séries de Fourier  2.5.2. Transformada de Fourier  2.5.3. Teoria da distribuição  2.5.4. Wavelets
  3. Topologia  3.1. Topologia geral  3.1.1. Conjuntos abertos e fechados  3.1.2. Continuidade  3.1.3. Introdução à compacidade  3.1.4. Conectividade na topologia geral  3.1.5. Topologia métrica  3.2. Topologia algébrica  3.2.1. Grupo fundamental  3.2.2. Teoria da homotopia  3.2.3. Teoria da homologia  3.2.4. Cohomologia  3.2.5. Sequência exata  3.3. Topologia diferencial  3.3.1. Variedades suaves  3.3.2. Espaço tangente  3.3.3. Campos vetoriais  3.3.4. Compreendendo Formas Diferenciais
  4. Geometria  4.1. Geometria diferencial  4.1.1. Curvas e superfícies na geometria diferencial  4.1.2. Geometria Riemanniana  4.1.3. Compreendendo geodésicas na geometria diferencial  4.1.4. Curvatura  4.2. Geometria algébrica  4.2.1. Variedades afins e projetivas  4.2.2. Planos  4.2.3. Separadores e interseções  4.2.4. Cohomologia na geometria algébrica  4.3. Geometria Computacional  4.3.1. Introdução às coberturas convexas na geometria computacional  4.3.2. Triangulação  4.3.3. Diagrama de Voronoi  4.3.4. Algoritmos Geométricos
  5. Teoria dos números  5.1. Teoria dos números elementar  5.1.1. Divisibilidade na teoria elementar dos números  5.1.2. Congruência na teoria dos números elementar  5.1.3. Aritmética modular  5.2. Teoria analítica dos números  5.2.1. Teorema dos números primos  5.2.2. Séries de Dirichlet  5.2.3. Zeta e funções L  5.3. Teoria dos números algébricos  5.3.1. Campos numéricos  5.3.2. Introdução aos ideais na teoria algébrica dos números  5.3.3. Grupos de classes em teoria algébrica dos números  5.3.4. Representação de Galois
  6. Companhia  6.1. Combinatória computacional  6.1.1. Função Geradora  6.1.2. Relação de recorrência  6.1.3. Permanência e combinação  6.2. Teoria dos grafos  6.2.1. Isomorfismo de grafos  6.2.2. Planaridade em teoria dos grafos  6.2.3. Coloração de grafos  6.3. Combinatória extrema  6.3.1. Teoria de Ramsey  6.3.2. Métodos probabilísticos em combinatória extrema  6.4. Combinatória algébrica  6.4.1. Métodos de matrizes em combinatória algébrica  6.4.2. Teoria da Representação
  7. Argumentos e fundamentos  7.1. Teoria dos conjuntos  7.1.1. Axiomas de Zermelo-Fraenkel  7.1.2. Ordinais e cardinais  7.2. Introdução à teoria dos modelos  7.2.1. Estruturas e teorias na teoria dos modelos  7.2.2. Teorema da compacidade  7.3. Teoria da prova  7.3.1. Sistemas formais  7.3.2. Consistência e completude
  8. Probabilidade e Estatística  8.1. Teoria da probabilidade  8.1.1. Variáveis aleatórias  8.1.2. Expectativa e variação  8.1.3. Teorema do limite central  8.2. Processos estocásticos  8.2.1. Cadeias de Markov  8.2.2. Movimento browniano  8.3. Inferência estatística  8.3.1. Teste de hipóteses  8.3.2. Análise de regressão
  9. Matemática aplicada  9.1. Análise numérica em matemática aplicada  9.1.1. Métodos iterativos  9.1.2. Interpolação  9.1.3. Análise de erros  9.2. Equações diferenciais parciais  9.2.1. Equação elíptica  9.2.2. Equação parabólica  9.2.3. Equações hiperbólicas  9.3. Sistemas dinâmicos  9.3.1. Teoria do Caos  9.3.2. Análise de estabilidade em sistemas dinâmicos

Doutorado → Compreendendo a Análise Matemática → Análise Complexa ↓


Integração de contorno


A integração de contorno é um método da análise complexa, onde integrais de funções complexas são avaliadas ao longo de caminhos no plano complexo. Esta técnica poderosa é essencial em campos como matemática, física e engenharia, proporcionando insights em problemas tanto teóricos quanto práticos. Vamos explorar os fundamentos da integração de contorno, incluindo seus conceitos, fórmulas, exemplos e aplicações.

Introdução à integração de contorno

Em matemática, a integração normalmente envolve encontrar a área sob uma curva ou ao longo de um caminho. Quando lidamos com funções de uma variável complexa, a situação envolve não apenas encontrar áreas, mas também avaliar integrais de linha complexas. Imagine uma curva suave ou caminho no plano complexo; a integração de contorno foca nesses caminhos.

A análise complexa estuda funções que têm números complexos como suas entradas e saídas. Um número complexo é um número da forma $(a + bi)$, onde $a$ e $b$ são números reais, e $i$ é uma unidade imaginária com a propriedade $i^2 = -1$. A integração de contorno avalia integrais de funções desta forma ao longo de caminhos predefinidos (contornos) no plano complexo.

Noções básicas de integrais complexos

Considere uma função complexa $f(z)$, onde $z$ é um número complexo $z = x + iy$. A integral de $f(z)$ ao longo do caminho $C$ é dada por:

[ int_C f(z) , dz ]

Para calcular integrais de contorno, muitas vezes uma expressão é convertida de uma variável complexa para uma forma parametrizada. A parametrização de um contorno $C$ envolverá o uso de uma variável real, digamos $t$, tipicamente onde $a leq t leq b$, dando $z = phi(t)$. Aqui, $phi$ é uma mapeamento $t$ que traça o contorno do ponto $z(a)$ ao ponto $z(b)$.

Teorema da integração de Cauchy

Um resultado central na análise complexa sobre integração de contorno é o teorema integral de Cauchy. Este teorema descreve as condições sob as quais a integral de uma função holomorfa complexa (uma função que é complexamente diferenciável em uma vizinhança de cada ponto em seu domínio) sobre um contorno fechado é zero.

Teorema: Se uma função $f(z)$ é holomorfa em um contorno fechado simples $C$ e em seu interior, então:

[ int_C f(z) , dz = 0 ]

Este teorema essencialmente nos diz que para funções bem comportadas sob certas condições, a integral do loop fechado não resulta em saída líquida. Esta é uma capacidade muito poderosa, permitindo-nos mover contornos sem alterar o valor da integral, enquanto a distorção do caminho não cruzar quaisquer singularidades, pontos onde a função não está definida ou se torna infinita.

Fórmula integral de Cauchy

Outro elemento fundamental na integração de contorno é a fórmula integral de Cauchy, que não só nos diz como avaliar valores exatos de funções a partir de suas integrais de contorno, mas também forma a base para muitos outros conceitos avançados na análise complexa. Fórmula: Se $f(z)$ é uma função holomorfa dentro e sobre algum contorno fechado $C$, e $a$ é um ponto dentro de $C$, então:

[ f(a) = frac{1}{2pi i} int_C frac{f(z)}{z - a} , dz ]

Esta fórmula é importante porque indica que o valor de uma função holomorfa na linha de contorno e dentro dela pode ser completamente determinado apenas por seus valores na linha de contorno.

Exemplo de integração de contorno

Vamos considerar um exemplo para entender melhor a integração de contorno. Suponha que queiramos avaliar a integral:

[ int_C frac{1}{z} , dz ]

onde $C$ é o círculo unitário $|z|=1$ no plano complexo, parametrizado por $z(t) = e^{it}$ para $0 leq t leq 2pi$.

Substituindo $z(t) = e^{it}$ e $dz = ie^{it} dt$ na integral, obtemos:

[ int_0^{2pi} frac{1}{e^{it}} cdot ie^{it} , dt = int_0^{2pi} i , dt = i [t]_0^{2pi} = i(2pi - 0) = 2pi i ]

Aqui, fizemos uso da simetria e da natureza periódica da função exponencial complexa $e^{it}$ no círculo unitário.

O papel dos resíduos

Muitas vezes, funções na análise complexa têm pontos onde "explodem" (tornam-se infinitas), chamados singularidades. Resíduos são uma ferramenta poderosa para calcular integrais, especialmente quando essas singularidades entram em jogo. Um conceito essencial é que, ao integrar em torno de uma singularidade, o resíduo nesse ponto contribui para o valor da integral. O Teorema do Resíduo afirma: Teorema: Suponha que $f(z)$ seja uma função que é holomorfa em uma região, exceto por um número finito de singularidades isoladas $a_1, a_2, ldots, a_n$. Se $C$ é um contorno fechado simples na região e não passa por nenhuma singularidade, então:

[ int_C f(z) , dz = 2 pi i sum text{Res}(f, a_k) ]

onde a soma é sobre todas as singularidades $a_k$ dentro de $C$, e $text{Res}(f, a_k)$ denota o resíduo de $f$ em $a_k$.

Exemplo usando o teorema do resíduo

Como exemplo, considere a avaliação:

[ int_C frac{e^z}{z^2 + 1} , dz ]

onde $C$ é o círculo $|z|=2$ no plano complexo. A função $f(z) = frac{e^z}{z^2 + 1}$ tem singularidades em $z = i$ e $z = -i$. Como $|i| = 1$ e $|-i| = 1$, ambas as singularidades estão dentro do contorno $C$. Os resíduos podem ser calculados da seguinte forma: Para $a = i$, o resíduo é calculado usando o limite:

[ text{Res}left(frac{e^z}{z^2 + 1}, iright) = lim_{z to i} (z - i) frac{e^z}{z^2 + 1} = lim_{z to i} frac{e^z}{z + i} = frac{e^i}{2i} ]

Da mesma forma, para $a = -i$:

[ text{Res}left(frac{e^z}{z^2 + 1}, -iright) = lim_{z to -i} (z + i) frac{e^z}{z^2 + 1} = lim_{z to -i} frac{e^z}{z - i} = frac{e^{-i}}{-2i} ]

Usando o Teorema do Resíduo:

[ int_C frac{e^z}{z^2 + 1} , dz = 2 pi i left(frac{e^i}{2i} + frac{e^{-i}}{-2i}right) = pi(e^i - e^{-i}) ] ]

De acordo com a fórmula de Euler, $e^{itheta} = cos theta + i sin theta$, então $e^i = cos 1 + i sin 1$ e $e^{-i} = cos 1 - i sin 1$. Assim, a integral é avaliada da seguinte forma:

[ = pi(2i sin 1) = 2 pi i sin 1 ]

Conclusão

A integração de contorno demonstra a beleza e o poder da análise complexa, simplificando o cálculo de integrais. Desde a avaliação de curvas simples até a resolução de singularidades usando resíduos, ela abre um mundo de aplicações e possibilidades, não apenas na matemática teórica, mas também na mecânica quântica, engenharia elétrica e além.

Diagrama de resumo

Podemos visualizar o processo de integração de contorno no plano complexo da seguinte forma:

caminho do contorno 0

No diagrama acima, considere o círculo preto como o caminho de integração (contorno) e o ponto vermelho como a origem. Este caminho pode ter comportamentos diferentes, dependendo das características da função que estamos integrando.

Leituras adicionais

Se você quiser explorar a integração de contorno em mais profundidade, consulte livros sobre análise complexa, como "Variáveis Complexas e Aplicações" de Brown e Churchill ou "Análise Complexa" de Stein e Shakarchi. Além disso, explore aplicações em física ou engenharia para uma perspectiva prática desta ferramenta matemática.


Doutorado → 2.2.3


U
username
0%
concluído em Doutorado

← Anterior (2.2.2)
Funções analíticas
Próximo (2.2.4) →
Teorema de Cauchy

Comentários 



Integração de contorno

https://www.buddymath.com/phd/2.2.3?bmal=pt