Doutorado
  1. Compreendendo Álgebra  1.1. Teoria dos grupos  1.1.1. Propriedades básicas dos grupos  1.1.2. Subgrupos  1.1.3. Classes laterais e o teorema de Lagrange  1.1.4. Subgrupos normais  1.1.5. Grupo quociente  1.1.6. Homomorfismos de grupos  1.1.7. Teorema de Sylow  1.1.8. Introdução aos grupos livres  1.1.9. O que são atividades em grupo?  1.1.10. Grupos simples e solucionáveis  1.2. Teoria dos anéis  1.2.1. Anéis e ideais  1.2.2. Introdução aos homomorfismos de anéis  1.2.3. Aneis polinomiais  1.2.4. Domínios de ideais principais  1.2.5. Domínios de Fatoração Única  1.2.6. Anéis noetherianos  1.2.7. Anéis Artinianos  1.3. Teoria dos Campos  1.3.1. Extensões de corpos  1.3.2. Divisão de área  1.3.3. Teoria de Galois  1.3.4. Fechamento algébrico na teoria dos corpos  1.3.5. Campos finitos  1.3.6. Extensão transcendental  1.4. Teoria dos módulos  1.4.1. Módulos sobre anéis  1.4.2. Módulos livres  1.4.3. Homomorfismo de módulo  1.4.4. Módulos simples e semi-simples  1.4.5. Módulos projetivos  1.4.6. Módulos Injetivos  1.5. Álgebra linear  1.5.1. Espaço vetorial  1.5.2. Transformações lineares  1.5.3. Entendendo Autovalores e Autovetores  1.5.4. Forma canônica  1.5.5. Espaço de produto interno  1.5.6. Teorema Espectral  1.5.7. Decomposição em valores singulares
  2. Compreendendo a Análise Matemática  2.1. Análise real  2.1.1. Números reais e completude  2.1.2. Introdução a sequências e séries  2.1.3. Continuidade em análise real  2.1.4. Diferenciação em análise real  2.1.5. Integração de Riemann  2.1.6. Introdução aos espaços métricos  2.1.7. Medida de Lebesgue  2.2. Análise Complexa  2.2.1. Números complexos  2.2.2. Funções analíticas  2.2.3. Integração de contorno  2.2.4. Teorema de Cauchy  2.2.5. Teorema do Resíduo  2.2.6. Mapeamento conformal  2.3. Análise Funcional  2.3.1. Compreendendo locais padrão  2.3.2. Introdução aos espaços de Banach  2.3.3. Espaços de Hilbert  2.3.4. Operadores lineares  2.3.5. Teoria espectral  2.3.6. Operadores compactos  2.4. Teoria da Medida  2.4.1. Álgebra sigma  2.4.2. Medição e integrais na teoria da medida  2.4.3. Integração de Lebesgue  2.4.4. Teorema da Convergência  2.4.5. Teorema de Fubini  2.5. Análise Harmônica  2.5.1. Séries de Fourier  2.5.2. Transformada de Fourier  2.5.3. Teoria da distribuição  2.5.4. Wavelets
  3. Topologia  3.1. Topologia geral  3.1.1. Conjuntos abertos e fechados  3.1.2. Continuidade  3.1.3. Introdução à compacidade  3.1.4. Conectividade na topologia geral  3.1.5. Topologia métrica  3.2. Topologia algébrica  3.2.1. Grupo fundamental  3.2.2. Teoria da homotopia  3.2.3. Teoria da homologia  3.2.4. Cohomologia  3.2.5. Sequência exata  3.3. Topologia diferencial  3.3.1. Variedades suaves  3.3.2. Espaço tangente  3.3.3. Campos vetoriais  3.3.4. Compreendendo Formas Diferenciais
  4. Geometria  4.1. Geometria diferencial  4.1.1. Curvas e superfícies na geometria diferencial  4.1.2. Geometria Riemanniana  4.1.3. Compreendendo geodésicas na geometria diferencial  4.1.4. Curvatura  4.2. Geometria algébrica  4.2.1. Variedades afins e projetivas  4.2.2. Planos  4.2.3. Separadores e interseções  4.2.4. Cohomologia na geometria algébrica  4.3. Geometria Computacional  4.3.1. Introdução às coberturas convexas na geometria computacional  4.3.2. Triangulação  4.3.3. Diagrama de Voronoi  4.3.4. Algoritmos Geométricos
  5. Teoria dos números  5.1. Teoria dos números elementar  5.1.1. Divisibilidade na teoria elementar dos números  5.1.2. Congruência na teoria dos números elementar  5.1.3. Aritmética modular  5.2. Teoria analítica dos números  5.2.1. Teorema dos números primos  5.2.2. Séries de Dirichlet  5.2.3. Zeta e funções L  5.3. Teoria dos números algébricos  5.3.1. Campos numéricos  5.3.2. Introdução aos ideais na teoria algébrica dos números  5.3.3. Grupos de classes em teoria algébrica dos números  5.3.4. Representação de Galois
  6. Companhia  6.1. Combinatória computacional  6.1.1. Função Geradora  6.1.2. Relação de recorrência  6.1.3. Permanência e combinação  6.2. Teoria dos grafos  6.2.1. Isomorfismo de grafos  6.2.2. Planaridade em teoria dos grafos  6.2.3. Coloração de grafos  6.3. Combinatória extrema  6.3.1. Teoria de Ramsey  6.3.2. Métodos probabilísticos em combinatória extrema  6.4. Combinatória algébrica  6.4.1. Métodos de matrizes em combinatória algébrica  6.4.2. Teoria da Representação
  7. Argumentos e fundamentos  7.1. Teoria dos conjuntos  7.1.1. Axiomas de Zermelo-Fraenkel  7.1.2. Ordinais e cardinais  7.2. Introdução à teoria dos modelos  7.2.1. Estruturas e teorias na teoria dos modelos  7.2.2. Teorema da compacidade  7.3. Teoria da prova  7.3.1. Sistemas formais  7.3.2. Consistência e completude
  8. Probabilidade e Estatística  8.1. Teoria da probabilidade  8.1.1. Variáveis aleatórias  8.1.2. Expectativa e variação  8.1.3. Teorema do limite central  8.2. Processos estocásticos  8.2.1. Cadeias de Markov  8.2.2. Movimento browniano  8.3. Inferência estatística  8.3.1. Teste de hipóteses  8.3.2. Análise de regressão
  9. Matemática aplicada  9.1. Análise numérica em matemática aplicada  9.1.1. Métodos iterativos  9.1.2. Interpolação  9.1.3. Análise de erros  9.2. Equações diferenciais parciais  9.2.1. Equação elíptica  9.2.2. Equação parabólica  9.2.3. Equações hiperbólicas  9.3. Sistemas dinâmicos  9.3.1. Teoria do Caos  9.3.2. Análise de estabilidade em sistemas dinâmicos

Doutorado → Compreendendo a Análise Matemática → Análise Complexa ↓


Funções analíticas


Função analítica é um conceito essencial na análise complexa, um ramo da matemática que estuda funções de números complexos. Em termos simples, uma função analítica é uma função que é localmente dada por uma série de potências convergente. Esta definição significa que tal função pode ser descrita usando operações de cálculo, como diferenciação e integração.

Definição de funções analíticas

Historicamente, uma função f é chamada analítica se for diferenciável em uma vizinhança de cada ponto em seu domínio. Para uma função complexa f, a diferenciabilidade implica uma condição mais forte do que para uma função real, porque a diferenciabilidade complexa no ponto z_0 requer a existência de um limite:

lim (z -> z_0) [(f(z) - f(z_0)) / (z - z_0)]

Isso deve ser o mesmo independentemente do caminho tomado para alcançar z_0. Tal situação leva a algumas propriedades fascinantes.

Representação por série de potências

Uma propriedade notável das funções analíticas é que podem ser expressas como séries de potências. Isso significa que se f é analítica em z_0, então em uma vizinhança de z_0, f pode ser escrita como:

f(z) = ∑ a_n (z - z_0)^n

onde n >= 0, e os coeficientes a_n podem ser calculados usando integrais complexas.

Exemplos de funções analíticas

Exemplo 1: Função polinomial

Considere uma função simples:

f(z) = z^2 + 3z + 2

Esta função é um polinômio, então é analítica em todo o plano complexo.

Exemplo 2: Função exponencial

Celebration:

f(z) = e^z

é inteira, o que significa que é analítica em todos os pontos do plano complexo. Isso pode ser expandido da seguinte forma:

f(z) = 1 + z + z^2/2! + z^3/3! + ...

Exploração visual

Para entender melhor as funções analíticas, vamos observar o comportamento dessas funções através de uma visualização de seus efeitos.

|f(z)| = 1

Este diagrama ajuda a mostrar a magnitude da função identidade f(z) = z, que mapeia círculos centrados na origem para círculos iguais.

Propriedades das funções analíticas

Funções analíticas têm uma grande coleção de propriedades:

  • Unicidade: Se duas funções analíticas coincidem em um conjunto com um ponto limite, então elas são iguais.
  • Zeros: Os zeros de uma função analítica são isolados, a menos que a função seja absolutamente zero.
  • Princípio do Módulo Máximo: Se f é analítica e não constante no domínio D, então |f(z)| não pode ter um máximo dentro de D exceto no limite.
  • Continuação analítica: estende o domínio das funções analíticas além do domínio inicial, mantendo a analiticidade.

Equações de Cauchy–Riemann

Outro aspecto importante das funções analíticas é que elas satisfazem as equações de Cauchy–Riemann, que são as seguintes:


    u = u(x, y), v = v(x, y)
    dx/dy = dw/dz

    ∂u/∂x = ∂v/∂y

Considerações finais

A função analítica é um dos conceitos mais intrinsecamente ricos e poderosos na análise complexa, conectando-se perfeitamente com muitos fenômenos físicos e direções matemáticas.


Doutorado → 2.2.2


U
username
0%
concluído em Doutorado

← Anterior (2.2.1)
Números complexos
Próximo (2.2.3) →
Integração de contorno

Comentários 



Funções analíticas

https://www.buddymath.com/phd/2.2.2?bmal=pt