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विश्लेषणात्मक फलन
विश्लेषणात्मक फलन जटिल विश्लेषण में एक महत्वपूर्ण अवधारणा है, जो जटिल संख्याओं के फलनों का अध्ययन करने वाली गणित की एक शाखा है। सरल शब्दों में, एक विश्लेषणात्मक फलन वह होता है जो स्थानीय रूप से अभिसरण शक्ति श्रेणी द्वारा दिया जाता है। इस परिभाषा का अर्थ है कि ऐसे फलन का वर्णन कलन के संचालन जैसे अवकलन और समाकलन के उपयोग से किया जा सकता है।
विश्लेषणात्मक फलनों की परिभाषा
ऐतिहासिक रूप से, एक फलन f को विश्लेषणात्मक कहा जाता है यदि यह अपने क्षेत्र के हर बिंदु के पड़ोस में अवकलनीय हो। किसी जटिल फलन f के लिए, अवकलनीयता किसी वास्तविक फलन की तुलना में एक और मजबूत शर्त होती है, क्योंकि बिंदु z_0 पर जटिल अवकलनीयता होने के लिए एक सीमा के अस्तित्व की आवश्यकता होती है:
lim (z -> z_0) [(f(z) - f(z_0)) / (z - z_0)]यह रास्ता चाहे जैसा भी हो, z_0 तक पहुँचने में समान होना चाहिए। ऐसी स्थिति से कुछ दिलचस्प गुण उत्पन्न होते हैं।
शक्ति श्रेणी का निरूपण
विश्लेषणात्मक फलनों का एक उल्लेखनीय गुण यह है कि उन्हें शक्ति श्रेणियों के रूप में व्यक्त किया जा सकता है। इसका अर्थ है कि यदि f z_0 पर विश्लेषणात्मक है, तो z_0 के पड़ोस में, f को इस प्रकार लिखा जा सकता है:
f(z) = ∑ a_n (z - z_0)^nजहां n >= 0, और गुणांक a_n को जटिल समाकलनों का उपयोग करके गणना की जा सकती है।
विश्लेषणात्मक फलनों के उदाहरण
उदाहरण 1: बहुपद फलन
एक साधारण फलन पर विचार करें:
f(z) = z^2 + 3z + 2यह फलन एक बहुपद है, इसलिए यह संपूर्ण जटिल समतल में हर जगह विश्लेषणात्मक है।
उदाहरण 2: घातीय फलन
घातीय फलन:
f(z) = e^zसंपूर्ण (entire) है, जिसका अर्थ है कि यह संपूर्ण जटिल समतल में हर बिंदु पर विश्लेषणात्मक है। इसे निम्नलिखित रूप में विस्तारित किया जा सकता है:
f(z) = 1 + z + z^2/2! + z^3/3! + ...दृश्य अन्वेषण
विश्लेषणात्मक फलनों को बेहतर रूप से समझने के लिए, आइए इन फलनों के प्रभाव के दृश्यांकन के माध्यम से उनके व्यवहार की एक झलक लें।
यह आरेख पहचान फलन f(z) = z की परिमाणता को दर्शाने में मदद करता है, जो मूल बिंदु पर केंद्रित वृत्तों को समान वृत्तों में रूपांतरित करता है।
विश्लेषणात्मक फलनों के गुण
विश्लेषणात्मक फलनों के गुणों का एक बड़ा संग्रह होता है:
- अद्वितीयता: यदि दो विश्लेषणात्मक फलन एक बिंदु स्रोत वाले सेट पर सहमत होते हैं, तो वे समान होते हैं।
- शून्य: विश्लेषणात्मक फलन के शून्य अकेले होते हैं, जब तक कि फलन पूर्ण रूप से शून्य न हो।
- अधिकतम माडुलस सिद्धांत: यदि f किसी क्षेत्र D में विश्लेषणात्मक और अहस्तांतरणीय है, तो |f(z)| का अधिकतम मूल्य D के भीतर नहीं हो सकता है, सिवाय सीमा बिंदु के।
- विश्लेषणात्मक विस्तार: प्रदत्त विश्लेषणात्मक फलनों के क्षेत्र को प्रारंभिक क्षेत्र से परे विस्तारित करता है, जबकि विश्लेषणात्मकता को बनाए रखता है।
कौशी-रीमैन समीकरण
विश्लेषणात्मक फलनों का एक और महत्वपूर्ण पहलू यह है कि वे कौशी-रीमैन समीकरणों को संतुष्ट करते हैं, जो निम्नलिखित हैं:
u = u(x, y), v = v(x, y)
dx/dy = dw/dz
∂u/∂x = ∂v/∂y
निष्कर्षण विचार
विश्लेषणात्मक फलन जटिल विश्लेषण में सबसे आंतरिक रूप से समृद्ध और शक्तिशाली अवधारणाओं में से एक है, जो कई भौतिक घटनाओं और गणितीय दिशाओं के साथ धीरे-धीरे जुड़ा है।
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