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जटिल संख्याएँ वे संख्यात्मक वस्त्र हैं जो एकविकल्पिक संख्याओं की सामान्य अवधारणा को दो-आयामी जटिल विमानों में विस्तृत करती हैं। वे गणित, भौतिक विज्ञान, इंजीनियरिंग और उससे परे कई क्षेत्रों में उपयोग की जाती हैं क्योंकि वे एक समृद्ध संरचना की गारंटी देती हैं जो उन समीकरणों को भी हल करती हैं जिनके पास वास्तविक संख्याओं के क्षेत्र में कोई हल नहीं होता।
क्या हैं जटिल संख्याएँ?
जटिल संख्याओं की जड़ में काल्पनिक इकाई होती है, जिसे i के रूप में संकेतित किया जाता है और जिसे निम्नलिखित गुण द्वारा परिभाषित किया गया है:
i² = -1एक जटिल संख्या को इस प्रकार दर्शाया जाता है:
z = a + biजहाँ a और b वास्तविक संख्याएँ हैं। z का वास्तविक भाग a है, और काल्पनिक भाग b है।
जटिल संख्याओं का दृश्य प्रतिनिधित्व
क्योंकि जटिल संख्याएँ दो घटकों वाली होती हैं, उन्हें विमानों में बिंदुओं या वेक्टरों के रूप में देखा जा सकता है, जिसे जटिल विमान कहते हैं। क्षैतिज अक्ष वास्तविक भाग का प्रतिनिधित्व करता है, और लंबवत अक्ष काल्पनिक भाग का प्रतिनिधित्व करता है।
उपरोक्त उदाहरण में, जटिल संख्या z = a + bi को जटिल विमान में लाल बिंदु द्वारा दर्शाया गया है, जहाँ इसकी स्थिति द्वारा निर्धारित की जाती है (a, b) निर्देशांकों द्वारा।
जटिल संख्याओं के साथ मौलिक क्रियाएँ
जटिल संख्याओं को जोड़ा, घटाया, गुणा और विभाजित किया जा सकता है उसी प्रकार जैसे वास्तविक संख्याओं के साथ किया जाता है, अंतर इतना होता है कि सभी क्रियाएँ काल्पनिक इकाई i और उसके गुण i² = -1 को ध्यान में रखकर की जाती हैं।
जोड़ और घटाना
जटिल संख्याओं को जोड़ने या घटाने के लिए, वास्तविक भागों और काल्पनिक भागों को अलग-अलग जोड़ें:
(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i(a + bi) - (c + di) = (a - c) + (b - d)iउदाहरण: मान लें, z1 = 3 + 4i और z2 = 1 + 2i।
- जोड़:
z1 + z2 = (3 + 1) + (4 + 2)i = 4 + 6i - घटाना:
z1 - z2 = (3 - 1) + (4 - 2)i = 2 + 2i
गुणा
जटिल संख्याओं का गुणन वितरण कानून का उपयोग करके किया जाता है:
(a + bi) * (c + di) = ac + adi + bci + bdi²(a + bi) * (c + di) = (ac - bd) + (ad + bc)iध्यान दें कि bdi² बन जाता है bd(-1), जो -bd है।
उदाहरण: z1 = 2 + 3i और z2 = 1 + 4i को गुणा करें।
(2 + 3i) * (1 + 4i) = 2*1 + 2*4i + 3i*1 + 3*4i² = 2 + 8i + 3i - 12= (2 - 12) + (8 + 3)i = -10 + 11i
विभाजन
जटिल संख्याओं को विभाजित करने के लिए, अंश और हर को हर के संयुग्म से गुणा करें। जटिल संख्या z = a + bi का संयुग्म overline{z} = a - bi है।
frac{a + bi}{c + di} * frac{c - di}{c - di} = frac{(a + bi)(c - di)}{c² + d²}उत्पाद लागू करें:
frac{(ac + bd) + (bc - ad)i}{c² + d²}उदाहरण: z1 = 4 + 2i को z2 = 1 - i से विभाजित करें।
z2का संयुग्म1 + iहै।frac{4 + 2i}{1 - i} * frac{1 + i}{1 + i} = frac{(4 + 2i)(1 + i)}{1² + 1²} = frac{4 + 4i + 2i + 2i²}{2}- क्योंकि
i² = -1, इसलिए2i² = -2। इस प्रकार,frac{4 + 4i + 2i - 2}{2} = frac{2 + 6i}{2} = 1 + 3i।
जटिल संख्याओं का मापांक और तर्क
जटिल संख्या z = a + bi का मापांक (या परिमाण) जटिल विमान में उसकी मूल बिंदु से दूरी होती है, जिसकी गणना इस प्रकार की जाती है:
|z| = sqrt{a² + b²}z का तर्क, जिसे arg(z) द्वारा संकेतित किया जाता है, वह कोण होता है, जिसे त्रीवेप के रूप में मानते हुए, z के रेखा और सकारात्मक वास्तविक अक्ष के बीच होता है, जो सामान्य रूप से रेडियन में मापा जाता है।
उदाहरण: z = 3 + 4i का मापांक और तर्क खोजें।
- मापांक:
|z| = sqrt{3² + 4²} = sqrt{9 + 16} = 5 - तर्क: यदि
tan θ = frac{4}{3}, तोθ ≈ 0.93 (रेडियनों में)।
ध्रुवीय और घातांकीय रूप
जटिल संख्याओं को ध्रुवीय रूप में भी दर्शाया जा सकता है, जो उनकी ज्यामितीय प्रकृति को उजागर करता है:
z = r(cos θ + i sin θ)जहां r z का मापांक है, और θ तर्क है।
यूलर का सूत्र e^{iθ} = cos θ + i sin θ का उपयोग करते हुए, जटिल संख्या के ध्रुवीय रूप को उसके घातां
किय रूप में व्यक्त किया जा सकता है:
z = re^{iθ}यह रूप विशेष रूप से जटिल संख्याओं के गुणा और विभाजन के लिए, साथ ही साथ उन्हें घातांक तक पहुंचने के लिए उपयोगी होता है।
जटिल संयुग्म और विभाजन
एक संख्या z = a + bi का जटिल संयुग्म overline{z} = a - bi होता है। संयुग्मन जटिल विमान में z को वास्तविक अक्ष पर दर्शाता है।
जटिल संख्या और उसके संयुग्म का गुणन हमेशा एक गैर-ऋणात्मक वास्तविक संख्या होता है:
z * overline{z} = (a + bi)(a - bi) = a² + b²उदाहरण: z = 5 + 12i का संयुग्म खोजें और गुणधर्म की जांच करें।
- संयुग्म:
overline{z} = 5 - 12i - गुणनफल:
z * overline{z} = (5 + 12i)(5 - 12i) = 5² + 12² = 25 + 144 = 169
जटिल संख्याओं का अनुप्रयोग
जटिल संख्याएँ इंजीनियरिंग, भौतिकी और अनुप्रयुक्त गणित के क्षेत्रों में व्यापक रूप से प्रयुक्त होती हैं। वे विभेदनात्मक समीकरणों को हल करने, विद्युत परिपथों का विश्लेषण करने और तरंगों और दोलनों का मॉडल बनाने में महत्वपूर्ण होती हैं। विशेष रूप से रोचक अनुप्रयोग क्वांटम यांत्रिकी में है, जहां जटिल संख्याओं का उपयोग क्वांटम प्रणाली की स्थिति को वर्णन करने के लिए किया जाता है।
उदाहरण के लिए, विद्युत इंजीनियरिंग में, परिवर्तनशील धाराएँ और विभवान्तर जटिल संख्याओं के रूप में निरूपित किए जाते हैं। यह इंजीनियरों को ओम नियम और अन्य सिद्धांतों का उपयोग करते हुए सरल तरीके से एसी परिपथों का विश्लेषण करने की अनुमति देता है। काल्पनिक इकाई का उपयोग परिवर्तनशील राशियों के बीच के चरण भेद को ध्यान में रखने के लिए किया जाता है।
निष्कर्ष
जटिल संख्याएँ आधुनिक गणित और इंजीनियरिंग का एक अभिन्न हिस्सा हैं। वे संख्याओं की अवधारणा को विस्तृत करती हैं, जिससे हमें दो आयामों में वास्तविक और काल्पनिक भागों के साथ संचालन करने का एक तरीका मिलता है, और विभिन्न क्षेत्रों में जटिल समस्याओं को हल करने के लिए उपकरण प्रदान करते हैं। जटिल संख्याओं के साथ मौलिक क्रियाओं को समझना और इ नको जटिल विमान में देखना सीखने वालों को इस अवधारणा में महारत हासिल करने में काफी लाभ पहुंचा सकता है।
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