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लेबगे मापन
लेबगे मापन वास्तविक विश्लेषण में एक मौलिक अवधारणा है, विशेष रूप से एकीकरण के संदर्भ में। यह n- आयामी अंतरिक्ष के उपसमुच्चयों को "आकार" या "माप" देने का एक सटीक तरीका प्रदान करता है जो लंबाई, क्षेत्र और आयतन की धारणा का सामान्यीकरण करता है। यह प्रारंभिक गणितीय शिक्षा में देखे गए माप के सहज अवधारणाओं को एक अधिक औपचारिक और व्यापक तरीके से लागू करता है, जिससे गणितज्ञ पारंपरिक तरीकों जैसे कि रीमान एकीकरण द्वारा प्रबंधित जटिल सेटों से निपट सकते हैं।
मापन सिद्धांत का परिचय
लेबगे मापन में गहराई से जाने से पहले, मापन सिद्धांत की मूल बातें समझना उपयोगी है। कल्पना करें कि आपके पास वास्तविक रेखा के विभिन्न उपसमुच्चय हैं। आप उनके "आकार" को एक सुसंगत तरीके से निर्धारित करना चाहते हैं। शुरुआती लोगों के लिए, हम मापन सिद्धांत को गणित की वह शाखा मान सकते हैं जो ऐसे प्रश्नों का अध्ययन करती है, और सेटों को इन "आकारों" को निर्दिष्ट करने के लिए उपकरण प्रदान करती है।
पारंपरिक दृष्टिकोण, जैसे वास्तविक रेखा पर अंतराल, लंबाई निर्धारित करने का एक सीधा तरीका देते हैं। एक अंतराल [a, b] के लिए, इसकी लंबाई या माप केवल b - a होती है। हालांकि, वास्तविक दुनिया के अनुप्रयोग और अधिक उन्नत सैद्धांतिक प्रयास अधिक सामान्यीकृत उपकरणों की आवश्यकता करते हैं - इसलिए लेबगे मापन की आवश्यकता है।
रीमान एकीकरण की सीमाएं
आइए रीमान इंटीग्रल का सामान्य उदाहरण मानें, जो कई मानक कार्यों के लिए प्रभावी ढंग से काम करता है लेकिन अधिक जटिल परिदृश्यों के लिए विफल रहता है। मान लीजिए कि हम [0,1] अंतराल में परिमेय संख्याओं के वैदिक कार्य को इंटीग्रेट करना चाहते हैं। यह कार्य परिमेय संख्याओं के लिए 1 है और अपरिमेय संख्याओं के लिए 0 है।
f(x) = { 1, यदि x परिमेय है
0, यदि x अपरिमेय है
रीमान इंटीग्रल इस कार्य को संभालने में सक्षम नहीं है क्योंकि कोई भी दो वास्तविक संख्याओं के बीच परिमेय और अपरिमेय संख्याएं सघन रूप से पैक होती हैं, पारंपरिक रीमान योग का उपयोग करके वक्र के नीचे क्षेत्र का अनुमान लगाना चुनौतीपूर्ण होता है। यह चुनौती लेबगे इंटीग्रल के विकास की ओर ले जाती है, जो व्यवस्थित रूप से ऐसे कार्यों को संभालने के लिए लेबगे मापन पर निर्भर है।
लेबगे मापन को समझना
लेबगे एकीकरण सिद्धांत के केंद्र में लेबगे मापन है। इस मापन को समझने के लिए, आइए एक मापनीय सेट की अवधारणा से शुरू करें। किसी सेट को मापनीय कहा जाता है यदि इसे एक सार्थक माप या "आकार" दिया जा सकता है।
लेबगे मापन की मूलभूत विशेषताएं
नीचे लेबगे मापन को परिभाषित करने वाली कुछ विशेषताएं दी गई हैं:
- यह अनुवाद अपरिवर्तनीय है: एक सेट को एक निश्चित मात्रा में स्थानांतरित करने से उसका माप नहीं बदलता है।
- यह गणनीय संयोज्य है: असम्बद्ध सेटों के गणनीय संघ का माप उनके मापों का योग है।
- रिक्त सेट का माप
0है।
लेबगे मापन की गणना कैसे की जाती है?
अधिक सामान्य सेटों, विशेष रूप से उन सेटों, जिन्हें आसानी से अंतरालों द्वारा वर्णित नहीं किया जा सकता है, की लेबगे मापन की गणना के लिए, सेट के बाहरी माप को माना जाता है। विचार आपके लक्षित सेट को कुछ हद तक ओवरलैपिंग खुले अंतरालों के गणनीय संग्रह के साथ कवर करना और इन अंतरालों की कुल लंबाई को कम करने का प्रयास करना है। इन लंबाईयों के असीम रूप से छोटे योग से सेट का बाहरी माप प्राप्त होता है।
m*(A) = inf { ∑ (b_i - a_i) : A ⊆ ⋃ [a_i, b_i) }, खुले अंतराल (a_i, b_i) के लिए
ऊपर के चित्र में, हम दो अंतराल [a_1, b_1) और [a_2, b_2) को देखते हैं जो कुछ सेट A को कवर करते हैं। हम ऐसे अंतरालों की लंबाई के योग को कम करना चाहते हैं ताकि लेबगे मापन का अनुमान लगाया जा सके।
लेबगे इंटीग्रल का निर्माण
एक बार लेबगे मापन की शुरुआत हो जाने पर, लेबगे इंटीग्रल का निर्माण करना संभव हो जाता है। मापनीय कार्यों के लिए, मुख्य विचार उन सेटों को मापकर एकीकृत करना है जहां कार्य कुछ मान प्राप्त करता है, बजाय कठिन रीमान योग बनाकर।
आइए एक उदाहरण पर विचार करें जहां हम एकीकरण विधि को देख सकते हैं:
∫_A f dλ = lim (n→∞) ∑ f(x_i) * m(E_i)
जहां E_i वे खंड हैं जहां f लगभग स्थिर मान लेता है और m लेबगे मापन है।
उदाहरण और अनुप्रयोग
लेबगे मापनों के सार्थक अनुप्रयोग देखने के लिए, संभावना में उनके उपयोग पर विचार करें। जब निरंतर प्रायिकता वितरणों से निपटते हैं, तो प्रायिकता स्थान अक्सर लेबगे मापन से सुसज्जित होता है। इस तरह के प्रसंग में, प्रायिकता घनत्व फलन (पीडीएफ) को एक अंतराल पर एकीकृत किया जाता है ताकि यह पता लगाया जा सके कि एक निरंतर यादृच्छिक चर उस अंतराल के भीतर गिरने की क्या संभावना है।
उदाहरण: अंतरालों का मापन
अंतराल [0, 1] पर विचार करें। यह सहज है कि इसका लेबगे मापन केवल 1 है। हालांकि, लेबगे परिभाषा का उपयोग करते हुए:
m([0, 1]) = sup { ∑ (b_i - a_i) : [0, 1] ⊆ ⋃ [a_i, b_i)}
चूंकि [0, 1] स्वयं एक अंतराल है, इसका माप स्थिर रहता है, लेकिन परिभाषा फिर भी अधिक जटिल, कम सहज सेटों को लगातार लागू होती है।
जटिल सेट मापनों के दृश्यावलोकन
अब, आइए देखें कि लेबगे मापन का उपयोग करके अधिक जटिल सेटों से कैसे निपटा जाता है:
लाल बिंदु वास्तविक रेखा के भीतर पृथक बिंदुओं या असतत सेटों का प्रतिनिधित्व करते हैं। लेबगे मापन के अनुसार, कोई भी सीमित या गणनीय सेट शून्य माप हो जाएगा, जिसका अर्थ है निरंतर मापनों के संदर्भ में व्यावहारिक अप्रासंगिकता। नीला छायांकित क्षेत्र ऐसे अंतरालों को दर्शाता है जो सीमित मापनों का परिणाम देंगे।
निष्कर्ष
लेबगे मापन की शुरुआत गणितीय विश्लेषण के लिए एक बहुत व्यापक क्षितिज की ओर ले जाती है, मूल रूप से पहले के तरीकों द्वारा छोड़े गए अंतरालों को पाटती है। यह हमें उन कार्यों और सेटों के साथ सख्ती से निपटने की अनुमति देता है जिनका केवल रीमान एकीकरण का उपयोग करके विश्लेषण करना कठिन है। इसके अलावा, आधुनिक संभाव्यता सिद्धांत में इसकी उपस्थिति अपरिहार्य है, जो उन्नत वास्तविक विश्लेषण या मापन सिद्धांत में शामिल किसी के लिए जानना अनिवार्य बनाती है। इन मौलिक अवधारणाओं को समझना आधुनिक गणित की गहरी समझ की ओर ले जाता है।
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