पीएचडी → गणितीय विश्लेषण की समझ → वास्तविक विश्लेषण ↓
रीमान एकीककरण
गणितीय विश्लेषण के क्षेत्र में, रीमान एकीककरण एक आधारभूत अवधारणा के रूप में खड़ा है। जर्मन गणितज्ञ बर्नहार्ड रीमान के नाम पर, यह विधि एक फंक्शन के वक्र के नीचे के क्षेत्र को समझने के तरीके को क्रांतिकारी बनाता है। रीमान एकीककरण को पूरी तरह से रीमान विधि कहा जाता है। इसे समझने के लिए, हम इसके परिभाषा, गुण, अनुप्रयोग, और उदाहरणों का पाठ, गणितीय संकेतन, और दृश्य प्रदर्शनों के मिश्रण के माध्यम से अध्ययन करते हैं।
रीमान एकीककरण को परिभाषित करना
मूल रूप से, रीमान एकीककरण एक प्रक्रिया है जिसके माध्यम से एक सीमित और संलग्न आंतराल पर परिभाषित किसी विशेष प्रकार के फंक्शन को एक संख्या दी जाती है। यह संख्या उस आंतराल पर फंक्शन के वक्र के नीचे के क्षेत्र का प्रतिनिधित्व करती है। यह कैसे काम करता है, समझने के लिए पढ़ें। एक निरंतरता फंक्शन f को एक सीमित आंतराल [a, b] पर परिभाषित मानते हैं।
हम आंतराल [a, b] को छोटे उपआंतरालों में विभाजित करके शुरू करते हैं। [a, b] का विभाजन P एक सीमित संख्या अनुक्रम है:
P = { x_0, x_1, x_2, ..., x_n } जहां a = x_0 < x_1 < x_2 < ... < x_n = bहर उपआंतराल [x_{i-1}, x_i] का उपयोग वक्र के नीचे के क्षेत्र को उन आयतों से अनुमानित करने के लिए किया जाता है जिनकी ऊँचाई प्रत्येक उपआंतराल के भीतर के कुछ बिंदुओं पर फंक्शन मान द्वारा निर्धारित होती है। ये बिंदु आमतौर पर बाएँ अंत बिंदु, दाएँ अंत बिंदु, या उपआंतराल के भीतर कोई भी बिंदु हो सकते हैं।
रीमान जोड़फल
विभाजन P के हिसाब से f का रीमान जोड़फल इस प्रकार परिभाषित किया गया है:
S(P, f) = Σ f(x_i^*) (x_i - x_{i-1}) जहां i = 1, 2, ..., nयहाँ, x_i^* उपआंतराल [x_{i-1}, x_i] में एक बिंदु है। रीमान जोड़फल आयतों के कुल क्षेत्र का प्रतिनिधित्व करता है और वक्र के नीचे के क्षेत्र का एक अनुमान प्रदान करता है।
जैसा कि प्रदर्शित है, अगर हम विभाजनों की संख्या बढ़ाते हैं और प्रत्येक आयत की चौड़ाई परिष्कृत करते हैं, तो रीमान जोड़फल वास्तव में वक्र के नीचे के क्षेत्र के करीब पहुँच जाता है।
रीमान समाकल
एक फंक्शन f को [a, b] पर रीमान एकीकर्ता कहा जाता है यदि रीमान जोड़फलों की सीमा मौजूद है और प्रत्येक उपआंतराल में बिंदुओं x_i^* की पसंद के बावजूद वही है जब उपआंतराल की चौड़ाई शून्य की ओर बढ़ती है। a से b तक f का रीमान समाकल अंकित किया जाता है:
∫ a b f(x) dx = lim (||P|| → 0) S(P, f)जहाँ ||P|| विभाजन का मानक है, जो उस विभाजन के सबसे लंबे उपआंतराल की लंबाई है।
उदाहरण: एक रेखीय फंक्शन का समाकल
रेखीय फंक्शन f(x) = x को आंतराल [0, 1] पर मानें। इस आंतराल पर f(x) का रीमान समाकल खोजें।
[0, 1] को n समान उपआंतरालों में विभाजित करें, जहाँ हर उपआंतराल की चौड़ाई Δx = 1/n है। सरलता के लिए दाएँ समाप्ति बिंदुओं को चुनें:
x_i^* = i/nn
टिप्पणियाँ