Doutorado
  1. Compreendendo Álgebra  1.1. Teoria dos grupos  1.1.1. Propriedades básicas dos grupos  1.1.2. Subgrupos  1.1.3. Classes laterais e o teorema de Lagrange  1.1.4. Subgrupos normais  1.1.5. Grupo quociente  1.1.6. Homomorfismos de grupos  1.1.7. Teorema de Sylow  1.1.8. Introdução aos grupos livres  1.1.9. O que são atividades em grupo?  1.1.10. Grupos simples e solucionáveis  1.2. Teoria dos anéis  1.2.1. Anéis e ideais  1.2.2. Introdução aos homomorfismos de anéis  1.2.3. Aneis polinomiais  1.2.4. Domínios de ideais principais  1.2.5. Domínios de Fatoração Única  1.2.6. Anéis noetherianos  1.2.7. Anéis Artinianos  1.3. Teoria dos Campos  1.3.1. Extensões de corpos  1.3.2. Divisão de área  1.3.3. Teoria de Galois  1.3.4. Fechamento algébrico na teoria dos corpos  1.3.5. Campos finitos  1.3.6. Extensão transcendental  1.4. Teoria dos módulos  1.4.1. Módulos sobre anéis  1.4.2. Módulos livres  1.4.3. Homomorfismo de módulo  1.4.4. Módulos simples e semi-simples  1.4.5. Módulos projetivos  1.4.6. Módulos Injetivos  1.5. Álgebra linear  1.5.1. Espaço vetorial  1.5.2. Transformações lineares  1.5.3. Entendendo Autovalores e Autovetores  1.5.4. Forma canônica  1.5.5. Espaço de produto interno  1.5.6. Teorema Espectral  1.5.7. Decomposição em valores singulares
  2. Compreendendo a Análise Matemática  2.1. Análise real  2.1.1. Números reais e completude  2.1.2. Introdução a sequências e séries  2.1.3. Continuidade em análise real  2.1.4. Diferenciação em análise real  2.1.5. Integração de Riemann  2.1.6. Introdução aos espaços métricos  2.1.7. Medida de Lebesgue  2.2. Análise Complexa  2.2.1. Números complexos  2.2.2. Funções analíticas  2.2.3. Integração de contorno  2.2.4. Teorema de Cauchy  2.2.5. Teorema do Resíduo  2.2.6. Mapeamento conformal  2.3. Análise Funcional  2.3.1. Compreendendo locais padrão  2.3.2. Introdução aos espaços de Banach  2.3.3. Espaços de Hilbert  2.3.4. Operadores lineares  2.3.5. Teoria espectral  2.3.6. Operadores compactos  2.4. Teoria da Medida  2.4.1. Álgebra sigma  2.4.2. Medição e integrais na teoria da medida  2.4.3. Integração de Lebesgue  2.4.4. Teorema da Convergência  2.4.5. Teorema de Fubini  2.5. Análise Harmônica  2.5.1. Séries de Fourier  2.5.2. Transformada de Fourier  2.5.3. Teoria da distribuição  2.5.4. Wavelets
  3. Topologia  3.1. Topologia geral  3.1.1. Conjuntos abertos e fechados  3.1.2. Continuidade  3.1.3. Introdução à compacidade  3.1.4. Conectividade na topologia geral  3.1.5. Topologia métrica  3.2. Topologia algébrica  3.2.1. Grupo fundamental  3.2.2. Teoria da homotopia  3.2.3. Teoria da homologia  3.2.4. Cohomologia  3.2.5. Sequência exata  3.3. Topologia diferencial  3.3.1. Variedades suaves  3.3.2. Espaço tangente  3.3.3. Campos vetoriais  3.3.4. Compreendendo Formas Diferenciais
  4. Geometria  4.1. Geometria diferencial  4.1.1. Curvas e superfícies na geometria diferencial  4.1.2. Geometria Riemanniana  4.1.3. Compreendendo geodésicas na geometria diferencial  4.1.4. Curvatura  4.2. Geometria algébrica  4.2.1. Variedades afins e projetivas  4.2.2. Planos  4.2.3. Separadores e interseções  4.2.4. Cohomologia na geometria algébrica  4.3. Geometria Computacional  4.3.1. Introdução às coberturas convexas na geometria computacional  4.3.2. Triangulação  4.3.3. Diagrama de Voronoi  4.3.4. Algoritmos Geométricos
  5. Teoria dos números  5.1. Teoria dos números elementar  5.1.1. Divisibilidade na teoria elementar dos números  5.1.2. Congruência na teoria dos números elementar  5.1.3. Aritmética modular  5.2. Teoria analítica dos números  5.2.1. Teorema dos números primos  5.2.2. Séries de Dirichlet  5.2.3. Zeta e funções L  5.3. Teoria dos números algébricos  5.3.1. Campos numéricos  5.3.2. Introdução aos ideais na teoria algébrica dos números  5.3.3. Grupos de classes em teoria algébrica dos números  5.3.4. Representação de Galois
  6. Companhia  6.1. Combinatória computacional  6.1.1. Função Geradora  6.1.2. Relação de recorrência  6.1.3. Permanência e combinação  6.2. Teoria dos grafos  6.2.1. Isomorfismo de grafos  6.2.2. Planaridade em teoria dos grafos  6.2.3. Coloração de grafos  6.3. Combinatória extrema  6.3.1. Teoria de Ramsey  6.3.2. Métodos probabilísticos em combinatória extrema  6.4. Combinatória algébrica  6.4.1. Métodos de matrizes em combinatória algébrica  6.4.2. Teoria da Representação
  7. Argumentos e fundamentos  7.1. Teoria dos conjuntos  7.1.1. Axiomas de Zermelo-Fraenkel  7.1.2. Ordinais e cardinais  7.2. Introdução à teoria dos modelos  7.2.1. Estruturas e teorias na teoria dos modelos  7.2.2. Teorema da compacidade  7.3. Teoria da prova  7.3.1. Sistemas formais  7.3.2. Consistência e completude
  8. Probabilidade e Estatística  8.1. Teoria da probabilidade  8.1.1. Variáveis aleatórias  8.1.2. Expectativa e variação  8.1.3. Teorema do limite central  8.2. Processos estocásticos  8.2.1. Cadeias de Markov  8.2.2. Movimento browniano  8.3. Inferência estatística  8.3.1. Teste de hipóteses  8.3.2. Análise de regressão
  9. Matemática aplicada  9.1. Análise numérica em matemática aplicada  9.1.1. Métodos iterativos  9.1.2. Interpolação  9.1.3. Análise de erros  9.2. Equações diferenciais parciais  9.2.1. Equação elíptica  9.2.2. Equação parabólica  9.2.3. Equações hiperbólicas  9.3. Sistemas dinâmicos  9.3.1. Teoria do Caos  9.3.2. Análise de estabilidade em sistemas dinâmicos

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Compreendendo Álgebra


Álgebra é um ramo da matemática que usa símbolos e letras para representar números e quantidades em fórmulas e equações. É um campo vasto e fundamental da matemática, baseado em operações aritméticas básicas, como adição, subtração, multiplicação e divisão, mas que as estende para resolver problemas mais complexos. Na álgebra, lidamos com valores desconhecidos e os resolvemos usando várias técnicas e regras.

Noções básicas de álgebra

A álgebra introduz o conceito de variáveis, que são símbolos (geralmente letras como x, y ou z) que representam números desconhecidos. Por exemplo, na equação:

x + 5 = 10

Podemos resolver para x e descobrir que x = 5. A ideia é encontrar o valor de x que torna a equação verdadeira.

Operações em álgebra

Assim como a aritmética com números, variáveis em álgebra podem ser adicionadas, subtraídas, multiplicadas e divididas. Considere estas operações simples:

  • a + b = c
  • a - b = c
  • a times b = c
  • a div b = c (onde b neq 0)

Essas operações seguem regras orientadoras, como a propriedade comutativa, propriedade associativa e propriedade distributiva, que tornam a manipulação algébrica possível.

Equações e expressões

Uma parte importante da álgebra é entender a diferença entre expressões e equações.

Uma expressão é uma combinação de variáveis, números e operações. Por exemplo, 3x + 4 é uma expressão. Ela não representa igualdade e não tem 'solução'.

Por outro lado, uma equação afirma que duas expressões são equivalentes, o que significa que têm o sinal =. Por exemplo, 3x + 4 = 10 é uma equação. Podemos resolvê-la para descobrir que x = 2.

Resolvendo equações lineares

Equações lineares são o tipo mais simples de equações algébricas. Elas se parecem com ax + b = c. Aqui está um exemplo passo a passo:

2x + 3 = 7

Para resolver esta equação, siga estas etapas:

  1. Subtrair 3 de ambos os lados para simplificar: 
     2x + 3 - 3 = 7 - 3
     2x = 4
  2. Dividir ambos os lados por 2 para encontrar o valor de x: 
     x = 4 / 2
     x = 2

Portanto, x = 2 é uma solução para a equação 2x + 3 = 7.

Ilustrando álgebra com exemplos

Imagine uma balança, onde cada lado deve ser igual para manter a balança equilibrada. Resolver uma equação algébrica é como manter a balança equilibrada. Vamos pegar um exemplo:

X 5 x + 5 = 10

Neste exemplo, uma variável x e um número 5 pesam tanto quanto 10 unidades. Resolver para x mantém o equilíbrio, resultando em x = 5.

Polinômios e fatoração

Polinômios são outro tópico importante em álgebra. Um polinômio é uma expressão de mais de dois termos algébricos, especificamente uma soma de vários termos que contêm diferentes potências da mesma variável. A forma padrão de um polinômio é:

a_n x^n + a_(n-1) x^(n-1) + ... + a_2 x^2 + a_1 x + a_0

onde n é um inteiro não negativo, e os coeficientes a_n, a_(n-1), ..., a_0 são constantes.

Fatorar polinômios envolve expressar o polinômio como um produto de seus fatores. Por exemplo, para fatorar x^2 + 5x + 6:

Encontre dois números que, quando multiplicados, dão 6 (o termo constante) e, quando somados, dão 5 (o coeficiente do termo x). Assim, temos 2 e 3. Portanto, a expressão pode ser dividida em:

(x + 2)(x + 3)

Equações quadráticas

Equações quadráticas são equações algébricas desta forma:

ax^2 + bx + c = 0

Essas equações são chamadas de quadráticas porque incluem termos até x^2 (a segunda potência). Existem várias maneiras de resolver equações quadráticas, incluindo:

Método de fatoração

Se uma expressão quadrática puder ser fatorada, pode ser resolvida configurando cada fator para zero. Por exemplo:

4^2 - 3x - 4 = 0

Isto pode ser atribuído aos seguintes fatores:

(x – 4)(x + 1) = 0

Configurar cada fator para 0 dá as soluções: x = 4 e x = -1.

Fórmula quadrática

Quando uma quadrática não pode ser facilmente fatorada, a fórmula quadrática pode ser usada:

x = (-b ± √(b² - 4ac)) / (2a)

Por exemplo, resolvendo:

2x^2 - 4x - 3 = 0

Uso da Fórmula Quadrática:

x = (4 ± √((4)^2 - 4(2)(-3))) / (2(2))

Isto dá as soluções: x = 2.5 e x = -0.5.

Desigualdades algébricas

Desigualdades são semelhantes a equações, mas em vez de um sinal de igual (=), eles usam símbolos de desigualdade (>, <, ≥, ≤). Resolver os envolve as mesmas operações que equações, mas essas operações afetam a direção do sinal de desigualdade.

Por exemplo: resolva a desigualdade:

3x + 4 > 10

Subtraia 4 de ambos os lados:

3x > 6

Divida ambos os lados por 3:

x > 2

Então, a solução mostra que x deve ser um número maior que 2. Podemos expressar esta solução na linha numérica ou com a notação de intervalo, (2,∞).

Álgebra na vida real

A álgebra é amplamente utilizada em vários cenários da vida real, como calcular distâncias, prever lucros e resolver problemas logísticos. Um exemplo comum disso é determinar o custo de mercadorias.

Suponha que você está comprando x balas a $0,50 por bala e y chocolates a $1,00 por bala, e deseja gastar um total de $10. Podemos representar isso com uma equação:

0.50x + 1.00y = 10

Vamos dizer que você decide comprar 8 chocolates. Substitua y = 8 na equação:

0.50x + 1.00(8) = 10

Simplifique e resolva:

0.50x + 8 = 10
0.50x = 2
x = 4

Você comprará 4 balas e 8 chocolates para permanecer dentro do seu orçamento.

Resumo

Álgebra é uma ferramenta vital para entender conceitos matemáticos e resolver uma variedade de problemas práticos. É baseada na aritmética e abre a porta para áreas de matemática avançada, permitindo que indivíduos trabalhem com incógnitas, desenvolvam equações, resolvam problemas e prevejam resultados de forma eficiente.

Através de equações, desigualdades, polinômios e mais, a álgebra nos ajuda a entender padrões e relações no mundo ao nosso redor.


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