Докторантура
  1. Понимание алгебры  1.1. Теория групп  1.1.1. Основные свойства групп  1.1.2. Подгруппы  1.1.3. Классы смежности и теорема Лагранжа  1.1.4. Нормальные подгруппы  1.1.5. Факторгруппа  1.1.6. Групповые гомоморфизмы  1.1.7. Теорема Силова  1.1.8. Введение в свободные группы  1.1.9. Что такое групповые действия?  1.1.10. Простые и разрешимые группы  1.2. Теория колец  1.2.1. Кольца и идеалы  1.2.2. Введение в гомоморфизмы колец  1.2.3. Кольца многочленов  1.2.4. Области главных идеалов  1.2.5. Уникальные области факторизации  1.2.6. Нетеровы кольца  1.2.7. Артиниевы кольца  1.3. Теория полей  1.3.1. Расширения полей  1.3.2. Деление области  1.3.3. Теория Галуа  1.3.4. Алгебраическое замыкание в теории полей  1.3.5. Конечные поля  1.3.6. Трансцендентальное расширение  1.4. Теория модулей  1.4.1. Модули над кольцами  1.4.2. Свободные модули  1.4.3. Гомоморфизм модуля  1.4.4. Простые и полупростые модули  1.4.5. Проективные модули  1.4.6. Инъективные модули  1.5. Линейная алгебра  1.5.1. Векторное пространство  1.5.2. Линейные преобразования  1.5.3. Понимание собственных чисел и собственных векторов  1.5.4. Каноническая форма  1.5.5. Пространство с внутренним произведением  1.5.6. Теорема о спектральном расщеплении  1.5.7. Разложение по сингулярным значениям
  2. Понимание математического анализа  2.1. Реальный анализ  2.1.1. Действительные числа и полнота  2.1.2. Введение в последовательности и ряды  2.1.3. Непрерывность в теории действительных чисел  2.1.4. Дифференцирование в действительном анализе  2.1.5. Интегрирование по Риману  2.1.6. Введение в метрические пространства  2.1.7. Мера Лебега  2.2. Комплексный анализ  2.2.1. Комплексные числа  2.2.2. Аналитические функции  2.2.3. Контурная интеграция  2.2.4. Теорема Коши  2.2.5. Теорема о вычетах  2.2.6. Конформное отображение  2.3. Функциональный анализ  2.3.1. Понимание стандартных пространств  2.3.2. Введение в пространство БАНАХА  2.3.3. Пространства Гильберта  2.3.4. Линейные операторы  2.3.5. Спектральная теория  2.3.6. Компактные операторы  2.4. Теория меры  2.4.1. Сигма алгебра  2.4.2. Измерение и интегралы в теории меры  2.4.3. Интегрирование по Лебегу  2.4.4. Теорема о сходимости  2.4.5. Теорема Фубини  2.5. Гармонический анализ  2.5.1. Ряд Фурье  2.5.2. Преобразование Фурье  2.5.3. Теория распределений  2.5.4. Вейвлеты
  3. Топология  3.1. Общая топология  3.1.1. Открытые и закрытые множества  3.1.2. Непрерывность  3.1.3. Введение в компактность  3.1.4. Связность в общей топологии  3.1.5. Метрика топология  3.2. Алгебраическая топология  3.2.1. Фундаментальная группа  3.2.2. Теория гомотопий  3.2.3. Теория гомологии  3.2.4. Когомология  3.2.5. Точная последовательность  3.3. Дифференциальная топология  3.3.1. Гладкие многообразия  3.3.2. Тангенциальное пространство  3.3.3. Векторные поля  3.3.4. Понимание дифференциальных форм
  4. Геометрия  4.1. Дифференциальная геометрия  4.1.1. Кривые и поверхности в дифференциальной геометрии  4.1.2. Риманова геометрия  4.1.3. Понимание геодезических линий в дифференциальной геометрии  4.1.4. Кривизна  4.2. Алгебраическая геометрия  4.2.1. Аффинные и проективные многообразия  4.2.2. Планы  4.2.3. Разделители и пересечения  4.2.4. Когомология в алгебраической геометрии  4.3. Вычислительная геометрия  4.3.1. Введение в выпуклые оболочки в вычислительной геометрии  4.3.2. Триангуляция  4.3.3. Диаграмма Вороного  4.3.4. Геометрические алгоритмы
  5. Теория чисел  5.1. Элементарная теория чисел  5.1.1. Делимость в элементарной теории чисел  5.1.2. Сравнимость в элементарной теории чисел  5.1.3. Модульная арифметика  5.2. Аналитическая теория чисел  5.2.1. Теорема о распределении простых чисел  5.2.2. Ряды Дирихле  5.2.3. Зета и L-функции  5.3. Алгебраическая теория чисел  5.3.1. Числовые поля  5.3.2. Введение в идеалы в алгебраической теории чисел  5.3.3. Классы групп в алгебраической теории чисел  5.3.4. Представление Галуа
  6. Товарищество  6.1. Вычислительная комбинаторика  6.1.1. Функция-генератор  6.1.2. Рекуррентные соотношения  6.1.3. Перестановка и сочетание  6.2. Теория графов  6.2.1. Изоморфизм графов  6.2.2. Плоскостность в теории графов  6.2.3. Окраска графов  6.3. Экстремальная комбинаторика  6.3.1. Теория Рамсея  6.3.2. Вероятностные методы в экстремальной комбинаторике  6.4. Алгебраическая комбинаторика  6.4.1. Методы матриц в алгебраической комбинаторике  6.4.2. Теория представлений
  7. Аргументы и основания  7.1. Теория множеств  7.1.1. Аксиомы Цермело-Френкеля  7.1.2. Порядковые и кардинальные числа  7.2. Введение в теорию моделей  7.2.1. Структуры и теории в теории моделей  7.2.2. Теорема компактности  7.3. Теория доказательств  7.3.1. Формальные системы  7.3.2. Согласованность и полнота
  8. Вероятность и статистика  8.1. Теория вероятностей  8.1.1. Случайные величины  8.1.2. Ожидание и вариация  8.1.3. Центральная предельная теорема  8.2. Стохастические процессы  8.2.1. Марковские цепи  8.2.2. Броуновское движение  8.3. Статистическое заключение  8.3.1. Тестирование гипотез  8.3.2. Регрессионный анализ
  9. Прикладная математика  9.1. Численный анализ в прикладной математике  9.1.1. Итеративные методы  9.1.2. Интерполяция  9.1.3. Анализ ошибок  9.2. Уравнения в частных производных  9.2.1. Эллиптическое уравнение  9.2.2. Параболическое уравнение  9.2.3. Гиперболические уравнения  9.3. Динамические системы  9.3.1. Теория хаоса  9.3.2. Анализ устойчивости в динамических системах

Докторантура → Понимание алгебры → Линейная алгебра ↓


Разложение по сингулярным значениям


Разложение по сингулярным значениям, часто сокращаемое как SVD, является фундаментальной концепцией в линейной алгебре, играющей ключевую роль в различных приложениях, включая науку о данных, обработку сигналов и статистику. Это тип матричного разложения, который обобщает многие факторизации матриц, такие как разложение по собственным значениям. Проще говоря, SVD разлагает матрицу на три отдельные матрицы, помогая понять её внутреннюю структуру.

Понимание матриц

Прежде чем погрузиться в разложение по сингулярным значениям, важно иметь чёткое представление о том, что такое матрица. Матрица - это прямоугольный массив чисел, символов или выражений, расположенных в строках и столбцах. Каждый элемент матрицы обычно обозначается парой индексов ( (i, j) ), указывающей его положение в строках и столбцах.

A = (begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \ 4 & 5 & 6 \ 7 & 8 & 9 end{bmatrix})

В этой 3x3 матрице (A) элемент в первой строке и втором столбце обозначается как (A_{12} = 2).

Что такое разложение по сингулярным значениям?

Разложение по сингулярным значениям разлагает mxn матрицу A на три матрицы:

A = U Sigma V^T

Где:

  • (U) - это mxm ортогональная матрица.
  • (Sigma) - это mxn диагональная матрица.
  • (V^T) - это nxn ортогональная матрица (транспонированная матрица (V)).

Рассмотрим каждую компоненту отдельно:

Ортогональные матрицы

Ортогональная матрица - это такая матрица, в которой строки и столбцы являются ортогональными единичными векторами, то есть они перпендикулярны друг другу, и каждый вектор имеет величину, равную единице (единичный вектор). По сути, U^TU = I и VV^T = I, где (I) - это единичная матрица.

[ U = begin{bmatrix} u_{11} & u_{12} & cdots & u_{1m} \ u_{21} & u_{22} & cdots & u_{2m} \ vdots & vdots & ddots & vdots \ u_{m1} & u_{m2} & cdots & u_{mm} end{bmatrix} ]

Диагональная матрица (Sigma)

Матрица (Sigma) - это диагональная матрица с неотрицательными числами на диагонали и нулями в других местах. Эти числа известны как сингулярные значения исходной матрицы (A) и обозначаются как (sigma_1, sigma_2, ldots, sigma_n).

[ Sigma = begin{bmatrix} sigma_1 & 0 & cdots & 0 \ 0 & sigma_2 & cdots & 0 \ vdots & vdots & ddots & vdots \ 0 & 0 & cdots & sigma_n end{bmatrix} ]

Пример разложения по сингулярным значениям

Давайте проиллюстрируем разложение по сингулярным значениям на числовом примере. Рассмотрим 2x2 матрицу:

A = (begin{bmatrix} 4 & 0 \ 3 & -5 end{bmatrix})

Используя разложение по сингулярным значениям, мы можем разложить эту матрицу на:

U = (begin{bmatrix} u_{11} & u_{12} \ u_{21} & u_{22} end{bmatrix})
(Sigma = begin{bmatrix} sigma_1 & 0 \ 0 & sigma_2 end{bmatrix})
V^T = (begin{bmatrix} v_{11} & v_{12} \ v_{21} & v_{22} end{bmatrix})

Здесь (sigma_1) и (sigma_2) - это сингулярные значения (A).

Применение разложения по сингулярным значениям

Разложение по сингулярным значениям имеет широкий спектр приложений в различных областях. Некоторые из основных приложений включают:

1. Снижение размерности

В науке о данных и машинном обучении SVD часто используется для снижения размерности. Оставляя только верхние сингулярные значения в (Sigma), мы можем эффективно аппроксимировать исходную матрицу, уменьшая её размерность. Это особенно полезно при работе с большими наборами данных.

2. Метод главных компонент (PCA)

SVD играет ключевую роль в реализации метода главных компонент, метода, используемого для преобразования переменных в наборе данных в набор несвязанных переменных, называемых главными компонентами. PCA использует SVD для идентификации направлений (главных компонентов), в которых данные наибольшим образом изменяются.

3. Обработка сигналов

В обработке сигналов SVD помогает в уменьшении шума и сжатии сигнала. Уменьшая ранг матрицы, представляющей сигнал, мы можем удалить шум, сохраняя при этом основные характеристики сигнала.

Визуализация SVD с примерами

Чтобы лучше понять концепцию SVD, давайте посмотрим на некоторые визуальные примеры с использованием матриц.

Рассмотрим mxn матрицу (A). Идея SVD заключается в преобразовании точек данных в многомерном пространстве, что помогает понять влияние различных осей.

Оригинальный векторu1, σ1u2, σ2

На данной иллюстрации оригинальный вектор, представленный синим цветом, проходит трансформацию с помощью SVD, в результате чего возникают два преобразованных вектора, представленных красным и зелёным цветами. Эти векторы связаны с определёнными сингулярными значениями, указывающими на их относительную величину в преобразованном пространстве.

Математическая интерпретация: вычисление SVD

Нахождение SVD матрицы включает в себя несколько математических шагов, основанных в основном на вычислении собственных значений и собственных векторов и обеспечении ортогональности.

Шаг 1: Сформировать A^TA и вычислить его собственные значения. Эти собственные значения могут быть представлены как (lambda_1, lambda_2, ldots, lambda_n).

Шаг 2: Вычислить собственные векторы A^TA. Эти собственные векторы образуют столбцы матрицы (V).

Шаг 3: Рассчитать сингулярные значения, найдя квадратный корень из каждого собственного значения A^TA. Упорядочить их по убыванию, чтобы заполнить диагональные элементы матрицы (Sigma).

Шаг 4: Используя уравнение (sigma u = Av), рассчитать ортогональные векторы для формирования матрицы (U).

Эти шаги предоставляют математическую основу для вычисления SVD и её компонентов. На практике большинство программного обеспечения и языков программирования предоставляют встроенные функции для эффективного выполнения разложения по сингулярным значениям, которые автоматически справляются с этими вычислениями.

Свойства разложения по сингулярным значениям

Изучая SVD, важно понимать его основные свойства, делающие его таким мощным инструментом для анализа матриц:

  • Уникальность: Сингулярные значения уникальны и всегда неотрицательны. Однако матрицы (U) и (V) не обязательно уникальны.
  • Ранг и ненулевые сингулярные значения: Ранг матрицы (A) равен числу ненулевых сингулярных значений.
  • Норма и низкоранговая аппроксимация: SVD предоставляет оптимальную низкоранговую аппроксимацию с точки зрения нормы Фробениуса матриц.

Заключение

Разложение по сингулярным значениям служит важным инструментом в области линейной алгебры. Его способность разложить матрицу на значимые компоненты снижает сложность анализа и предоставляет представление о геометрических и алгебраических свойствах матрицы. С его приложениями, охватывающими науку о данных, компьютерное зрение, статистику и многое другое, понимание SVD является неоценимым активом для математиков, ученых и инженеров.

Хотя математические сложности, стоящие за SVD, могут показаться пугающими на первый взгляд, четкое понимание его концепций и приложений значительно упрощает его использование, делая его универсальным и мощным математическим инструментом.


Докторантура → 1.5.7


U
username
0%
завершено в Докторантура

← предыдущая (1.5.6)
Теорема о спектральном расщеплении
следующая (2) →
Понимание математического анализа

комментарии 



Разложение по сингулярным значениям

https://www.buddymath.com/phd/1.5.7?bmal=ru