Doutorado
  1. Compreendendo Álgebra  1.1. Teoria dos grupos  1.1.1. Propriedades básicas dos grupos  1.1.2. Subgrupos  1.1.3. Classes laterais e o teorema de Lagrange  1.1.4. Subgrupos normais  1.1.5. Grupo quociente  1.1.6. Homomorfismos de grupos  1.1.7. Teorema de Sylow  1.1.8. Introdução aos grupos livres  1.1.9. O que são atividades em grupo?  1.1.10. Grupos simples e solucionáveis  1.2. Teoria dos anéis  1.2.1. Anéis e ideais  1.2.2. Introdução aos homomorfismos de anéis  1.2.3. Aneis polinomiais  1.2.4. Domínios de ideais principais  1.2.5. Domínios de Fatoração Única  1.2.6. Anéis noetherianos  1.2.7. Anéis Artinianos  1.3. Teoria dos Campos  1.3.1. Extensões de corpos  1.3.2. Divisão de área  1.3.3. Teoria de Galois  1.3.4. Fechamento algébrico na teoria dos corpos  1.3.5. Campos finitos  1.3.6. Extensão transcendental  1.4. Teoria dos módulos  1.4.1. Módulos sobre anéis  1.4.2. Módulos livres  1.4.3. Homomorfismo de módulo  1.4.4. Módulos simples e semi-simples  1.4.5. Módulos projetivos  1.4.6. Módulos Injetivos  1.5. Álgebra linear  1.5.1. Espaço vetorial  1.5.2. Transformações lineares  1.5.3. Entendendo Autovalores e Autovetores  1.5.4. Forma canônica  1.5.5. Espaço de produto interno  1.5.6. Teorema Espectral  1.5.7. Decomposição em valores singulares
  2. Compreendendo a Análise Matemática  2.1. Análise real  2.1.1. Números reais e completude  2.1.2. Introdução a sequências e séries  2.1.3. Continuidade em análise real  2.1.4. Diferenciação em análise real  2.1.5. Integração de Riemann  2.1.6. Introdução aos espaços métricos  2.1.7. Medida de Lebesgue  2.2. Análise Complexa  2.2.1. Números complexos  2.2.2. Funções analíticas  2.2.3. Integração de contorno  2.2.4. Teorema de Cauchy  2.2.5. Teorema do Resíduo  2.2.6. Mapeamento conformal  2.3. Análise Funcional  2.3.1. Compreendendo locais padrão  2.3.2. Introdução aos espaços de Banach  2.3.3. Espaços de Hilbert  2.3.4. Operadores lineares  2.3.5. Teoria espectral  2.3.6. Operadores compactos  2.4. Teoria da Medida  2.4.1. Álgebra sigma  2.4.2. Medição e integrais na teoria da medida  2.4.3. Integração de Lebesgue  2.4.4. Teorema da Convergência  2.4.5. Teorema de Fubini  2.5. Análise Harmônica  2.5.1. Séries de Fourier  2.5.2. Transformada de Fourier  2.5.3. Teoria da distribuição  2.5.4. Wavelets
  3. Topologia  3.1. Topologia geral  3.1.1. Conjuntos abertos e fechados  3.1.2. Continuidade  3.1.3. Introdução à compacidade  3.1.4. Conectividade na topologia geral  3.1.5. Topologia métrica  3.2. Topologia algébrica  3.2.1. Grupo fundamental  3.2.2. Teoria da homotopia  3.2.3. Teoria da homologia  3.2.4. Cohomologia  3.2.5. Sequência exata  3.3. Topologia diferencial  3.3.1. Variedades suaves  3.3.2. Espaço tangente  3.3.3. Campos vetoriais  3.3.4. Compreendendo Formas Diferenciais
  4. Geometria  4.1. Geometria diferencial  4.1.1. Curvas e superfícies na geometria diferencial  4.1.2. Geometria Riemanniana  4.1.3. Compreendendo geodésicas na geometria diferencial  4.1.4. Curvatura  4.2. Geometria algébrica  4.2.1. Variedades afins e projetivas  4.2.2. Planos  4.2.3. Separadores e interseções  4.2.4. Cohomologia na geometria algébrica  4.3. Geometria Computacional  4.3.1. Introdução às coberturas convexas na geometria computacional  4.3.2. Triangulação  4.3.3. Diagrama de Voronoi  4.3.4. Algoritmos Geométricos
  5. Teoria dos números  5.1. Teoria dos números elementar  5.1.1. Divisibilidade na teoria elementar dos números  5.1.2. Congruência na teoria dos números elementar  5.1.3. Aritmética modular  5.2. Teoria analítica dos números  5.2.1. Teorema dos números primos  5.2.2. Séries de Dirichlet  5.2.3. Zeta e funções L  5.3. Teoria dos números algébricos  5.3.1. Campos numéricos  5.3.2. Introdução aos ideais na teoria algébrica dos números  5.3.3. Grupos de classes em teoria algébrica dos números  5.3.4. Representação de Galois
  6. Companhia  6.1. Combinatória computacional  6.1.1. Função Geradora  6.1.2. Relação de recorrência  6.1.3. Permanência e combinação  6.2. Teoria dos grafos  6.2.1. Isomorfismo de grafos  6.2.2. Planaridade em teoria dos grafos  6.2.3. Coloração de grafos  6.3. Combinatória extrema  6.3.1. Teoria de Ramsey  6.3.2. Métodos probabilísticos em combinatória extrema  6.4. Combinatória algébrica  6.4.1. Métodos de matrizes em combinatória algébrica  6.4.2. Teoria da Representação
  7. Argumentos e fundamentos  7.1. Teoria dos conjuntos  7.1.1. Axiomas de Zermelo-Fraenkel  7.1.2. Ordinais e cardinais  7.2. Introdução à teoria dos modelos  7.2.1. Estruturas e teorias na teoria dos modelos  7.2.2. Teorema da compacidade  7.3. Teoria da prova  7.3.1. Sistemas formais  7.3.2. Consistência e completude
  8. Probabilidade e Estatística  8.1. Teoria da probabilidade  8.1.1. Variáveis aleatórias  8.1.2. Expectativa e variação  8.1.3. Teorema do limite central  8.2. Processos estocásticos  8.2.1. Cadeias de Markov  8.2.2. Movimento browniano  8.3. Inferência estatística  8.3.1. Teste de hipóteses  8.3.2. Análise de regressão
  9. Matemática aplicada  9.1. Análise numérica em matemática aplicada  9.1.1. Métodos iterativos  9.1.2. Interpolação  9.1.3. Análise de erros  9.2. Equações diferenciais parciais  9.2.1. Equação elíptica  9.2.2. Equação parabólica  9.2.3. Equações hiperbólicas  9.3. Sistemas dinâmicos  9.3.1. Teoria do Caos  9.3.2. Análise de estabilidade em sistemas dinâmicos

Doutorado → Compreendendo Álgebra → Álgebra linear ↓


Entendendo Autovalores e Autovetores


Álgebra linear é uma área fundamental da matemática, e um dos seus conceitos interessantes é o de autovalores e autovetores. Esses conceitos são importantes para uma variedade de aplicações, que vão desde a resolução de sistemas de equações lineares a usos mais avançados em física, ciência da computação e até mesmo economia. O termo "eigen" vem da palavra alemã que significa "self" ou "atributo", que alude ao conceito de propriedades intrínsecas. Este documento explorará esses conceitos extensivamente usando linguagem clara e exemplos.

Definições básicas

Em resumo, quando falamos sobre autovalores e autovetores, estamos falando sobre matrizes quadradas. Vamos começar quebrando esses termos:

Autovetores

O autovetor de uma matriz quadrada A é um vetor não-nulo v que é alterado apenas por um fator escalar quando A é aplicado a ele. Em termos simples, autovetores são vetores cuja direção permanece inalterada quando uma transformação linear é aplicada.

Autovalor

O autovalor, frequentemente denotado por λ (lambda), é um escalar que indica o fator pelo qual os autovetores são escalados durante a transformação. Quando a matriz A é multiplicada pelo autovetor v, o resultado é simplesmente o autovetor escalado pelo autovalor:

a * v = λ * v

Calculando Autovalores e Autovetores

Encontrar os autovalores e autovetores de uma matriz envolve alguns cálculos. Vamos explicar essas etapas com uma matriz de exemplo:

Exemplo

Considere a matriz A :

A = [2 0]
    [0 3]

Siga estas etapas para encontrar os autovetores e autovalores:

Passo 1: Encontre a Equação Característica

Encontre a equação característica da seguinte forma:

det(A - λI) = 0

Aqui, I é a matriz identidade do mesmo tamanho que A, e det denota o determinante. Para nossa matriz:

A - λI = [2-λ 0 ]
         [0 3 - λ]

Calcule o determinante:

det(A – λI) = (2-λ)(3-λ) – 0
             = λ² - 5λ + 6

Passo 2: Resolva o polinômio característico

Defina o determinante como zero e resolva para λ:

λ² - 5λ + 6 = 0

Ao fatorar a equação quadrática, obtemos:

(λ - 2)(λ - 3) = 0

Portanto, λ = 2 e λ = 3 são os autovalores da matriz A

Passo 3: Encontre os autovetores

Para encontrar os autovetores, resolva (A - λI)v = 0 para cada λ.

Quando λ = 2:

[0 0] [X] [0]
[0 1] [Y] = [0]

Do acima, qualquer vetor [x 0] de comprimento adequado é um autovetor correspondente a λ = 2.

Quando λ = 3:

[-1 0] [X] [0]
[0 0] [Y] = [0]

Do acima, qualquer vetor [0 y] é um autovetor correspondente a λ = 3.

Interpretação geométrica

Para entender os autovalores e autovetores geometricamente, vamos considerar o efeito de uma transformação de matriz em vetores no espaço bidimensional.

Exemplo Visual

Eixo X v1 (λ=2) v2 (λ=3)

A linha vermelha representa um autovetor (v1) onde a direção não muda, mas o comprimento aumenta por um fator de 2. A linha azul representa outro autovetor (v2) onde a direção permanece inalterada e o comprimento aumenta por um fator de 3.

Compreensão adicional

Autovalores e autovetores têm várias propriedades e aplicações importantes:

Propriedade

  • Determinante e traço: O determinante de uma matriz é o produto de seus autovalores, e o traço (soma dos elementos diagonais) é a soma de seus autovalores.
  • Invertibilidade: Uma matriz é invertível se e somente se todos os seus autovalores forem não-nulos.
  • Diagonalização: Uma matriz pode ser diagonalizada se tiver autovetores linearmente independentes suficientes.

Aplicação

Autovalores e autovetores têm uma ampla gama de aplicações, incluindo:

  • Análise de Componentes Principais (PCA): Usada em estatísticas e aprendizado de máquina para redução de dimensão, a PCA depende fortemente de autovetores e autovalores.
  • Análise de estabilidade: Em equações diferenciais e sistemas dinâmicos, autovalores nos informam sobre a estabilidade dos sistemas.
  • Teoria dos grafos: Os autovalores de um grafo podem nos dizer muito sobre sua estrutura e propriedades.

Conclusão

Entender autovalores e autovetores é fundamental para quem se aprofunda em álgebra linear. Seus conceitos sustentam muitos aspectos da matemática teórica e aplicada. Ao entender como os autovetores preservam a direção sob transformação e como os autovalores definem o fator de escala, podemos nos aprofundar nas nuances das transformações lineares e suas inúmeras aplicações em uma variedade de campos.


Doutorado → 1.5.3


U
username
0%
concluído em Doutorado

← Anterior (1.5.2)
Transformações lineares
Próximo (1.5.4) →
Forma canônica

Comentários 



Entendendo Autovalores e Autovetores

https://www.buddymath.com/phd/1.5.3?bmal=pt