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अवगुणांक और अवकल सदिश को समझना
रेखीय बीजगणित गणित का एक मौलिक क्षेत्र है, और इसके दिलचस्प अवधारणाओं में से एक अवगुणांक और अवकल सदिश हैं। ये अवधारणाएँ कई अनुप्रयोगों के लिए महत्वपूर्ण हैं, रेखीय समीकरणों की प्रणालियों को हल करने से लेकर भौतिकी, कंप्यूटर विज्ञान और यहां तक कि अर्थशास्त्र में उन्नत उपयोगों तक। "अव" शब्द जर्मन शब्द से आया है जिसका अर्थ "स्वयं" या "गुण" होता है, जो आंतरिक गुणों की अवधारणा की ओर इशारा करता है। यह दस्तावेज़ इन अवधारणाओं का विस्तार से अध्ययन करेगा, स्पष्ट भाषा और उदाहरणों का उपयोग करके।
मूल परिभाषाएँ
संक्षेप में, जब हम अवगुणांक और अवकल सदिश की बात करते हैं, तो हम वर्ग मैट्रिक्स की बात करते हैं। आइए इन शब्दों को विश्लेषण करके शुरू करें:
अवकल सदिश
एक वर्ग मैट्रिक्स ए का अवकल सदिश एक गैर-शून्य सदिश v है, जो केवल एक अदिश गुणक द्वारा परिवर्तित होता है जब ए का उस पर अनुप्रयोग किया जाता है। सरल शब्दों में, अवकल सदिश वे सदिश होते हैं, जिनकी दिशा रेखीय रूपांतरण के समय अपरिवर्तित रहती है।
अवगुणांक
अवगुणांक, जिसे अक्सर λ (लैम्डा) द्वारा दर्शाया जाता है, एक अदिश होता है जो यह इंगित करता है कि रूपांतरण के दौरान अवकल सदिश कितने गुणक से परिवर्तित होता है। जब मैट्रिक्स ए को अवकल सदिश v के साथ गुणा किया जाता है, तो परिणाम केवल अवकल सदिश का अवगुणांक से गुणित होता है:
a * v = λ * v
अवगुणांक और अवकल सदिश की गणना
मैट्रिक्स के अवगुणांक और अवकल सदिश प्राप्त करना कुछ गणनाओं को शामिल करता है। आइए इन चरणों को एक उदाहरण मैट्रिक्स का उपयोग करके समझाएं:
उदाहरण
मैट्रिक्स ए पर विचार करें :
A = [2 0]
[0 3]
अवकल सदिश और अवगुणांक प्राप्त करने के लिए इन चरणों का पालन करें:
चरण 1: विशेषता समीकरण खोजें
विशेषता समीकरण निम्नलिखित के रूप में खोजें:
det(A - λI) = 0
यहां, I ए के समान आकार के पहचान मैट्रिक्स हैं, और det निर्धारक को दर्शाता है। हमारे मैट्रिक्स के लिए:
A - λI = [2-λ 0 ]
[0 3 - λ]
निर्धारक की गणना करें:
det(A – λI) = (2-λ)(3-λ) – 0
= λ² - 5λ + 6
चरण 2: विशेषता बहुपद हल करें
निर्धारक को शून्य पर सेट करें और λ के लिए हल करें:
λ² - 5λ + 6 = 0
द्विघातीय समीकरण को गुणान्वित करके, हमें मिलता है:
(λ - 2)(λ - 3) = 0
इसलिए λ = 2 और λ = 3 मैट्रिक्स ए के अवगुणांक हैं
चरण 3: अवकल सदिश खोजें
अवकल सदिश खोजने के लिए, (A - λI)v = 0 को प्रत्येक λ के लिए हल करें।
जब λ = 2:
[0 0] [X] [0] [0 1] [Y] = [0]
उप्पर से, कोई भी सदिश [x 0] उपयुक्त लंबाई का अवकल सदिश होता है जो λ = 2 के समान है।
जब λ = 3:
[-1 0] [X] [0] [0 0] [Y] = [0]
उप्पर से, कोई भी सदिश [0 y] अवकल सदिश होता है जो λ = 3 के समान है।
ज्यामितीय व्याख्या
अवगुणांक और अवकल सदिश को ज्यामितीय ढंग से समझने के लिए, आइए दो-आयामी स्थान में सदिशों पर मैट्रिक्स रूपांतरण के प्रभाव पर विचार करें।
दृश्य उदाहरण
लाल रेखा एक अवकल सदिश (v1) को दर्शाती है जहाँ दिशा नहीं बदलती है लेकिन लंबाई 2 के गुणक से बढ़ जाती है। नीली रेखा एक अन्य अवकल सदिश (v2) को दर्शाती है जहाँ दिशा अपरिवर्तित रहती है और लंबाई 3 के गुणक से बढ़ जाती है।
अधिक समझ
अवगुणांक और अवकल सदिश में कई महत्वपूर्ण गुण और अनुप्रयोग होते हैं:
गुण
- निर्धारक और अनुक्रमणिका: मैट्रिक्स का निर्धारक उसके अवगुणांक का गुणनफल होता है, और अनुक्रमणिका (तिरछी कोष्ठिसमूह का योग) उसके अवगुणांक का योग होता है।
- प्रतिलोम्यता: एक मैट्रिक्स प्रतिलोमनीय तब होता है जब और केवल तब उसके सभी अवगुणांक शून्य नहीं होते।
- तिर्यककरण: यदि किसी मैट्रिक्स के पास पर्याप्�
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