Докторантура
  1. Понимание алгебры  1.1. Теория групп  1.1.1. Основные свойства групп  1.1.2. Подгруппы  1.1.3. Классы смежности и теорема Лагранжа  1.1.4. Нормальные подгруппы  1.1.5. Факторгруппа  1.1.6. Групповые гомоморфизмы  1.1.7. Теорема Силова  1.1.8. Введение в свободные группы  1.1.9. Что такое групповые действия?  1.1.10. Простые и разрешимые группы  1.2. Теория колец  1.2.1. Кольца и идеалы  1.2.2. Введение в гомоморфизмы колец  1.2.3. Кольца многочленов  1.2.4. Области главных идеалов  1.2.5. Уникальные области факторизации  1.2.6. Нетеровы кольца  1.2.7. Артиниевы кольца  1.3. Теория полей  1.3.1. Расширения полей  1.3.2. Деление области  1.3.3. Теория Галуа  1.3.4. Алгебраическое замыкание в теории полей  1.3.5. Конечные поля  1.3.6. Трансцендентальное расширение  1.4. Теория модулей  1.4.1. Модули над кольцами  1.4.2. Свободные модули  1.4.3. Гомоморфизм модуля  1.4.4. Простые и полупростые модули  1.4.5. Проективные модули  1.4.6. Инъективные модули  1.5. Линейная алгебра  1.5.1. Векторное пространство  1.5.2. Линейные преобразования  1.5.3. Понимание собственных чисел и собственных векторов  1.5.4. Каноническая форма  1.5.5. Пространство с внутренним произведением  1.5.6. Теорема о спектральном расщеплении  1.5.7. Разложение по сингулярным значениям
  2. Понимание математического анализа  2.1. Реальный анализ  2.1.1. Действительные числа и полнота  2.1.2. Введение в последовательности и ряды  2.1.3. Непрерывность в теории действительных чисел  2.1.4. Дифференцирование в действительном анализе  2.1.5. Интегрирование по Риману  2.1.6. Введение в метрические пространства  2.1.7. Мера Лебега  2.2. Комплексный анализ  2.2.1. Комплексные числа  2.2.2. Аналитические функции  2.2.3. Контурная интеграция  2.2.4. Теорема Коши  2.2.5. Теорема о вычетах  2.2.6. Конформное отображение  2.3. Функциональный анализ  2.3.1. Понимание стандартных пространств  2.3.2. Введение в пространство БАНАХА  2.3.3. Пространства Гильберта  2.3.4. Линейные операторы  2.3.5. Спектральная теория  2.3.6. Компактные операторы  2.4. Теория меры  2.4.1. Сигма алгебра  2.4.2. Измерение и интегралы в теории меры  2.4.3. Интегрирование по Лебегу  2.4.4. Теорема о сходимости  2.4.5. Теорема Фубини  2.5. Гармонический анализ  2.5.1. Ряд Фурье  2.5.2. Преобразование Фурье  2.5.3. Теория распределений  2.5.4. Вейвлеты
  3. Топология  3.1. Общая топология  3.1.1. Открытые и закрытые множества  3.1.2. Непрерывность  3.1.3. Введение в компактность  3.1.4. Связность в общей топологии  3.1.5. Метрика топология  3.2. Алгебраическая топология  3.2.1. Фундаментальная группа  3.2.2. Теория гомотопий  3.2.3. Теория гомологии  3.2.4. Когомология  3.2.5. Точная последовательность  3.3. Дифференциальная топология  3.3.1. Гладкие многообразия  3.3.2. Тангенциальное пространство  3.3.3. Векторные поля  3.3.4. Понимание дифференциальных форм
  4. Геометрия  4.1. Дифференциальная геометрия  4.1.1. Кривые и поверхности в дифференциальной геометрии  4.1.2. Риманова геометрия  4.1.3. Понимание геодезических линий в дифференциальной геометрии  4.1.4. Кривизна  4.2. Алгебраическая геометрия  4.2.1. Аффинные и проективные многообразия  4.2.2. Планы  4.2.3. Разделители и пересечения  4.2.4. Когомология в алгебраической геометрии  4.3. Вычислительная геометрия  4.3.1. Введение в выпуклые оболочки в вычислительной геометрии  4.3.2. Триангуляция  4.3.3. Диаграмма Вороного  4.3.4. Геометрические алгоритмы
  5. Теория чисел  5.1. Элементарная теория чисел  5.1.1. Делимость в элементарной теории чисел  5.1.2. Сравнимость в элементарной теории чисел  5.1.3. Модульная арифметика  5.2. Аналитическая теория чисел  5.2.1. Теорема о распределении простых чисел  5.2.2. Ряды Дирихле  5.2.3. Зета и L-функции  5.3. Алгебраическая теория чисел  5.3.1. Числовые поля  5.3.2. Введение в идеалы в алгебраической теории чисел  5.3.3. Классы групп в алгебраической теории чисел  5.3.4. Представление Галуа
  6. Товарищество  6.1. Вычислительная комбинаторика  6.1.1. Функция-генератор  6.1.2. Рекуррентные соотношения  6.1.3. Перестановка и сочетание  6.2. Теория графов  6.2.1. Изоморфизм графов  6.2.2. Плоскостность в теории графов  6.2.3. Окраска графов  6.3. Экстремальная комбинаторика  6.3.1. Теория Рамсея  6.3.2. Вероятностные методы в экстремальной комбинаторике  6.4. Алгебраическая комбинаторика  6.4.1. Методы матриц в алгебраической комбинаторике  6.4.2. Теория представлений
  7. Аргументы и основания  7.1. Теория множеств  7.1.1. Аксиомы Цермело-Френкеля  7.1.2. Порядковые и кардинальные числа  7.2. Введение в теорию моделей  7.2.1. Структуры и теории в теории моделей  7.2.2. Теорема компактности  7.3. Теория доказательств  7.3.1. Формальные системы  7.3.2. Согласованность и полнота
  8. Вероятность и статистика  8.1. Теория вероятностей  8.1.1. Случайные величины  8.1.2. Ожидание и вариация  8.1.3. Центральная предельная теорема  8.2. Стохастические процессы  8.2.1. Марковские цепи  8.2.2. Броуновское движение  8.3. Статистическое заключение  8.3.1. Тестирование гипотез  8.3.2. Регрессионный анализ
  9. Прикладная математика  9.1. Численный анализ в прикладной математике  9.1.1. Итеративные методы  9.1.2. Интерполяция  9.1.3. Анализ ошибок  9.2. Уравнения в частных производных  9.2.1. Эллиптическое уравнение  9.2.2. Параболическое уравнение  9.2.3. Гиперболические уравнения  9.3. Динамические системы  9.3.1. Теория хаоса  9.3.2. Анализ устойчивости в динамических системах

Докторантура → Понимание алгебры → Линейная алгебра ↓


Векторное пространство


В изучении линейной алгебры важную роль играет понятие векторных пространств. Векторные пространства предоставляют основу для работы с векторами, которые можно рассматривать как величины, имеющие как величину, так и направление. Эти фундаментальные структуры играют важную роль в различных областях математики, физики, инженерии и компьютерных наук.

Определение векторного пространства

Векторное пространство, или линейное пространство, — это совокупность объектов, называемых векторами. Эти векторы могут складываться друг с другом и умножаться на числа, которые называются скалярами. Скалярными величинами часто являются действительные числа, но они также могут быть комплексными числами или элементами заданного поля (математический термин, охватывающий числа, на которых определены определенные операции, следуя определенным правилам).

Более формально, векторное пространство V над полем F — это множество, оснащенное двумя операциями: сложением векторов и умножением на скаляр. Векторное пространство должно удовлетворять десяти аксиомам, перечисленным ниже:

  • Замкнутость относительно сложения: для всех u, v в V сумма u + v также находится в V
  • Замкнутость относительно умножения на скаляр: для любого скаляра c в F и любого вектора v в V произведение c * v находится в V
  • Ассоциативное свойство сложения: для всех u, v, w в V, (u + v) + w = u + (v + w)
  • Коммутативное свойство сложения: для всех u, v в V, u + v = v + u.
  • Элемент нейтральности суммы: существует элемент 0 в V, называемый нулевым вектором, такой что v + 0 = v для всех v в V
  • Обратные элементы суммы: для каждого v в V существует -v в V, такой что v + (-v) = 0.
  • Совместимость умножения на скаляр с умножением в поле: для всех a, b в F и v в V, (a * b) * v = a * (b * v)
  • Элемент нейтральности при умножении на скаляр: для всех v в V, 1 * v = v, где 1 — мультипликативная единица в F
  • Дистрибутивное свойство умножения на скаляр относительно сложения векторов: для всех a в F и u, v в V, a * (u + v) = a * u + a * v.
  • Дистрибутивное свойство умножения на скаляр относительно сложения в поле: для всех a, b в F и v в V, (a + b) * v = a * v + b * v.

Геометрическая интерпретация векторного пространства

Рассмотрим векторное пространство в более геометрическом смысле. Представьте себе простой случай двумерного пространства, обычно обозначаемого как R^2. Здесь векторы — это отрезки, направленные от начала координат.

V You u+v

Эта диаграмма показывает векторы u, v и u+v в двумерном пространстве.

В этой простой двумерной системе сумма двух векторов u и v также может быть найдена графически. Поместите их так, чтобы хвост v находился в голове u, и их сумма — это вектор от основания u до головы v. Это также известно математически как "правило параллелограмма".

Примеры векторных пространств

Теперь рассмотрим различные примеры векторных пространств:

Пример 1: Физическое пространство

Наиболее интуитивное векторное пространство — это, возможно, 3-мерное физическое пространство вокруг нас, R^3. Основные операции сложения векторов и умножения на скаляр можно легко визуализировать при движении по пространству.

Пример 2: Полином

Рассмотрим множество всех полиномов с действительными коэффициентами, R[x]. Это векторное пространство, где сложение векторов — это сложение полиномов, а умножение на скаляр — это умножение каждого члена полинома на один и тот же скаляр.

Пример 3: Функция

Множество всех непрерывных вещественных функций, определенных на замкнутом интервале, — это еще один пример. Здесь сложение векторов соответствует сложению функций, а умножение на скаляр в очередной раз изменяет 'высоту' каждой функции на скалярное значение.

Подпространство

Подпространство — это подмножество векторного пространства, которое само по себе является векторным пространством. Подпространства должны пройти несколько простых проверок:

  • Если u и v находятся в подпространстве, то u + v также должно быть в подпространстве.
  • Если c является любым скаляром, а v находится в подпространстве, то c * v также должно быть в подпространстве.
  • Нулевой вектор должен быть в любом подпространстве.

Пример 1: Прямые через начало координат

Любая прямая в R^2, проходящая через начало координат, является подпространством. Оно содержит нулевой вектор и замкнуто относительно сложения и умножения на скаляр.

Пример 2: Плоскость

Подпространство в R^3 может быть любой плоскостью, проходящей через начало координат. Оно также имеет нулевой вектор и замкнуто для наших операций.

База и размерности

База для векторного пространства V — это набор векторов в V, которые являются линейно независимыми и охватывают V. Это означает, что вы можете достичь любого вектора в V, масштабируя и добавляя базисные векторы. Размерность векторного пространства — это количество векторов в базе векторного пространства. Например, база R^2 обычно состоит из двух векторов, таких как (1, 0) и (0, 1), и, следовательно, имеет размерность 2.

(1,0) (0,1)

Эти векторы образуют базис для R^2.

В трехмерной системе R^3 простой базис может включать (1, 0, 0), (0, 1, 0) и (0, 0, 1).

Охватывающие множества

Множество векторов {v1, v2, ..., vn} считается охватываемым в векторном пространстве V, если каждый вектор в V может быть записан как линейная комбинация v1, v2, ..., vn. Охватывающие множества включают определения и концепции для базы.

Линейная независимость

Векторы являются линейно независимыми, если ни один из них не может быть записан как линейная комбинация других. Эта независимость является ключевым понятием в определении размерности векторного пространства.

Математическое представление

Для векторов v1, v2, ..., vn в векторном пространстве они являются линейно независимыми, если уравнение:

a1*v1 + a2*v2 + ... + an*vn = 0

Имеет только тривиальное решение, где a1 = a2 = ... = an = 0.

Заключение

Векторные пространства — это основа линейной алгебры и они используются во всех разделах математики и прикладных наук. Они предлагают формальный метод изучения линейных уравнений и преобразований, предоставляя понимание многих реальных проблем, структурированных вокруг структуры пространства и многомерных величин.


Докторантура → 1.5.1


U
username
0%
завершено в Докторантура

← предыдущая (1.5)
Линейная алгебра
следующая (1.5.2) →
Линейные преобразования

комментарии 



Векторное пространство

https://www.buddymath.com/phd/1.5.1?bmal=ru