Doutorado
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  2. Compreendendo a Análise Matemática  2.1. Análise real  2.1.1. Números reais e completude  2.1.2. Introdução a sequências e séries  2.1.3. Continuidade em análise real  2.1.4. Diferenciação em análise real  2.1.5. Integração de Riemann  2.1.6. Introdução aos espaços métricos  2.1.7. Medida de Lebesgue  2.2. Análise Complexa  2.2.1. Números complexos  2.2.2. Funções analíticas  2.2.3. Integração de contorno  2.2.4. Teorema de Cauchy  2.2.5. Teorema do Resíduo  2.2.6. Mapeamento conformal  2.3. Análise Funcional  2.3.1. Compreendendo locais padrão  2.3.2. Introdução aos espaços de Banach  2.3.3. Espaços de Hilbert  2.3.4. Operadores lineares  2.3.5. Teoria espectral  2.3.6. Operadores compactos  2.4. Teoria da Medida  2.4.1. Álgebra sigma  2.4.2. Medição e integrais na teoria da medida  2.4.3. Integração de Lebesgue  2.4.4. Teorema da Convergência  2.4.5. Teorema de Fubini  2.5. Análise Harmônica  2.5.1. Séries de Fourier  2.5.2. Transformada de Fourier  2.5.3. Teoria da distribuição  2.5.4. Wavelets
  3. Topologia  3.1. Topologia geral  3.1.1. Conjuntos abertos e fechados  3.1.2. Continuidade  3.1.3. Introdução à compacidade  3.1.4. Conectividade na topologia geral  3.1.5. Topologia métrica  3.2. Topologia algébrica  3.2.1. Grupo fundamental  3.2.2. Teoria da homotopia  3.2.3. Teoria da homologia  3.2.4. Cohomologia  3.2.5. Sequência exata  3.3. Topologia diferencial  3.3.1. Variedades suaves  3.3.2. Espaço tangente  3.3.3. Campos vetoriais  3.3.4. Compreendendo Formas Diferenciais
  4. Geometria  4.1. Geometria diferencial  4.1.1. Curvas e superfícies na geometria diferencial  4.1.2. Geometria Riemanniana  4.1.3. Compreendendo geodésicas na geometria diferencial  4.1.4. Curvatura  4.2. Geometria algébrica  4.2.1. Variedades afins e projetivas  4.2.2. Planos  4.2.3. Separadores e interseções  4.2.4. Cohomologia na geometria algébrica  4.3. Geometria Computacional  4.3.1. Introdução às coberturas convexas na geometria computacional  4.3.2. Triangulação  4.3.3. Diagrama de Voronoi  4.3.4. Algoritmos Geométricos
  5. Teoria dos números  5.1. Teoria dos números elementar  5.1.1. Divisibilidade na teoria elementar dos números  5.1.2. Congruência na teoria dos números elementar  5.1.3. Aritmética modular  5.2. Teoria analítica dos números  5.2.1. Teorema dos números primos  5.2.2. Séries de Dirichlet  5.2.3. Zeta e funções L  5.3. Teoria dos números algébricos  5.3.1. Campos numéricos  5.3.2. Introdução aos ideais na teoria algébrica dos números  5.3.3. Grupos de classes em teoria algébrica dos números  5.3.4. Representação de Galois
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  7. Argumentos e fundamentos  7.1. Teoria dos conjuntos  7.1.1. Axiomas de Zermelo-Fraenkel  7.1.2. Ordinais e cardinais  7.2. Introdução à teoria dos modelos  7.2.1. Estruturas e teorias na teoria dos modelos  7.2.2. Teorema da compacidade  7.3. Teoria da prova  7.3.1. Sistemas formais  7.3.2. Consistência e completude
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Espaço vetorial


No estudo da álgebra linear, um conceito importante é o de espaços vetoriais. Espaços vetoriais fornecem uma estrutura para trabalhar com vetores, que podem ser considerados como quantidades que possuem tanto magnitude quanto direção. Essas estruturas fundamentais são essenciais em vários campos da matemática, física, engenharia e ciência da computação.

Definição de espaço vetorial

Um espaço vetorial, ou espaço linear, é uma coleção de objetos chamados vetores. Esses vetores podem ser somados entre si e multiplicados por números, chamados escalars. Escalares são frequentemente números reais, mas também podem ser números complexos ou elementos de um campo específico (um termo matemático que cobre números sobre os quais certas operações são definidas que seguem certas regras).

Mais formalmente, um espaço vetorial V sobre um campo F é um conjunto equipado com duas operações: adição vetorial e multiplicação escalar. O espaço vetorial deve satisfazer os dez axiomas listados abaixo:

  • Fechamento sob adição: para todos u, v em V, a soma u + v está também em V
  • Fechamento sob multiplicação escalar: para qualquer escalar c em F e qualquer vetor v em V, o produto c * v está em V
  • Propriedade associativa da adição: Para todos u, v, w em V, (u + v) + w = u + (v + w)
  • Propriedade comutativa da adição: Para todos u, v em V, u + v = v + u.
  • Elemento identidade da soma: Existe um elemento 0 em V, chamado vetor zero, tal que v + 0 = v para todos v em V
  • Elementos inversos de uma soma: para cada v em V, existe um -v em V tal que v + (-v) = 0.
  • Compatibilidade da multiplicação escalar com a multiplicação do campo: para todos a, b em F e v em V, (a * b) * v = a * (b * v)
  • Elemento identidade da multiplicação escalar: para todos v em V, 1 * v = v, onde 1 é a identidade multiplicativa em F
  • Propriedade distributiva da multiplicação escalar com respeito à adição vetorial: para todos a em F e u, v em V, a * (u + v) = a * u + a * v.
  • Propriedade distributiva da multiplicação escalar com respeito à adição do campo: para todos a, b em F e v em V, (a + b) * v = a * v + b * v.

Interpretação geométrica de um espaço vetorial

Vamos olhar para um espaço vetorial em um sentido mais geométrico. Imagine o caso simples de um espaço bidimensional, geralmente denotado como R^2. Aqui os vetores são segmentos de linha direcionados a partir da origem.

V Você u+v

Este diagrama mostra os vetores u, v e u+v no espaço bidimensional.

Neste caso simples 2D, a soma de dois vetores u e v também pode ser encontrada graficamente. Coloque-os de modo que a cauda de v esteja na cabeça de u, e sua soma seja o vetor da base de u até a cabeça de v. Isso também é conhecido matematicamente como a "regra do paralelogramo".

Exemplos de espaços vetoriais

Agora, vamos explorar diferentes exemplos de espaços vetoriais:

Exemplo 1: Localização física

O espaço vetorial mais intuitivo pode ser o espaço físico tridimensional ao nosso redor, R^3. As operações básicas de adição vetorial e multiplicação escalar podem ser facilmente visualizadas aqui movendo-se pelo espaço.

Exemplo 2: Polinômio

Considere o conjunto de todos os polinômios com coeficientes reais, R[x]. Este é um espaço vetorial onde a adição vetorial é a adição de polinômios, e a multiplicação escalar é multiplicar cada termo no polinômio pelo mesmo escalar.

Exemplo 3: Função

O conjunto de todas as funções contínuas de valores reais definidas em um intervalo fechado é outro exemplo. Aqui, a soma vetorial corresponde à adição de funções, e a multiplicação escalar novamente modifica a 'altura' de cada função por um escalar.

Subespaço

Um subespaço é um subconjunto de um espaço vetorial que é ele mesmo um espaço vetorial. Subespaços devem passar em alguns testes simples:

  • Se u e v estão em um subespaço, então u + v também deve estar em um subespaço.
  • Se c é qualquer escalar, e v está no subespaço, então c * v também deve estar no subespaço.
  • O vetor zero deve estar em qualquer subespaço.

Exemplo 1: Linhas através da origem

Qualquer linha em R^2 passando pela origem é um subespaço. Contém o vetor zero e é fechada sob adição e multiplicação escalar.

Exemplo 2: Plano

O subespaço de R^3 pode ser qualquer plano através da origem. Novamente, ele tem o vetor zero e é fechado sob nossas operações.

Base e dimensões

Uma base para um espaço vetorial V é um conjunto de vetores em V que são linearmente independentes e que abrangem V. Isso significa que você pode alcançar qualquer vetor em V escalonando e somando os vetores da base. A dimensão de um espaço vetorial é o número de vetores na base do espaço vetorial. Por exemplo, uma base de R^2 tipicamente consiste em dois vetores, como (1, 0) e (0, 1), e assim tem dimensão 2.

(1,0) (0,1)

Esses vetores formam uma base para R^2.

Em três dimensões, R^3, uma base simples poderia ser (1, 0, 0), (0, 1, 0), e (0, 0, 1).

Conjuntos geradores

Um conjunto de vetores {v1, v2, ..., vn} é dito ser gerado em um espaço vetorial V se todo vetor em V puder ser escrito como uma combinação linear de v1, v2, ..., vn. Conjuntos geradores incluem definições e conceitos para base.

Independência linear

Vetores são linearmente independentes se nenhum deles puder ser escrito como uma combinação linear dos outros. Essa independência é um conceito chave na definição da dimensão de um espaço vetorial.

Representação matemática

Para vetores v1, v2, ..., vn em um espaço vetorial, eles são linearmente independentes se a equação:

a1*v1 + a2*v2 + ... + an*vn = 0

Tem apenas a solução trivial onde a1 = a2 = ... = an = 0.

Conclusão

Espaços vetoriais são o alicerce da álgebra linear e são utilizados em toda a matemática e nas ciências aplicadas. Eles fornecem um método formal para estudar equações e transformações lineares, proporcionando insights em muitos problemas do mundo real estruturados em torno da estrutura do espaço e quantidades multidimensionais.


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