ベクトル空間
線形代数の研究において重要な概念はベクトル空間です。ベクトル空間は、ベクトルを操作するための枠組みを提供します。ベクトルは、大きさと方向の両方を持つ量と考えることができます。これらの基本的な構造は、数学、物理学、工学、コンピュータサイエンスのさまざまな分野で不可欠です。
ベクトル空間の定義
ベクトル空間、または線形空間は、ベクトルと呼ばれるオブジェクトの集合です。これらのベクトルは互いに加算されたり、スカラーと呼ばれる数値と乗算されたりすることができます。スカラーは通常実数ですが、複素数や特定の体（ある種の操作が定義され、特定のルールに従う数学用語）要素でもあります。
より正式には、体 F 上のベクトル空間 V は、ベクトルの加算とスカラーの乗算という 2 つの操作を備えた集合です。ベクトル空間は以下に示す 10 の公理を満たす必要があります:
- 加算の閉包性: すべての
u, vがV内にある場合、合計u + vもVにあります - スカラー乗算の閉包性: 任意のスカラー
cがF内にあり、任意のベクトルvがV内にある場合、積c * vはVにあります - 加算の結合法則: すべての
u, v, wに対して、(u + v) + w = u + (v + w) - 加算の交換法則: 全ての
u, vに対してu + v = v + u。 - 合計の単位元: と呼ばれる
0という元素がVに存在し、V内のすべてのvに対してv + 0 = vを満たします - 合計の逆要素:
V内のすべてのvに対して、V内に-vが存在し、v + (-v) = 0です。 - 体乗算とのスカラー乗算の整合性: すべての
a, bに対して、(a * b) * v = a * (b * v) - スカラー乗算の単位元: すべての
vに対して、1 * v = vであり、1はFの乗法単位元です - ベクトル加算に関してスカラー乗算の分配法則:
Fの各aおよびVのu, vに対して、a * (u + v) = a * u + a * v。 - フィールド加算に関するスカラー乗算の分配性:
Fの全てのa, bとVのvに対して、(a + b) * v = a * v + b * v。
ベクトル空間の幾何学的解釈
ベクトル空間をより幾何学的な観点から見てみましょう。通常 R^2 として表される 2 次元空間の簡単な例を考えてみましょう。ここで、ベクトルは原点からの向けられた線分です。
この図は 2 次元空間におけるベクトル u 、v 、u+v を示しています。
このシンプルな 2 次元の場合では、ベクトル u と v の合計もグラフィカルに見つけることができます。ベクトル v の根元をベクトル u の頭の上に置くと、合計はベクトル u の根元からベクトル v の頭までのベクトルです。これはまた、数学的には「平行四辺形の法則」として知られています。
ベクトル空間の例
それでは、さまざまなベクトル空間の例を探ってみましょう:
例 1: 物理的な位置
最も直感的なベクトル空間は、私たちの周りの 3 次元物理空間 R^3 かもしれません。ベクトルの加算とスカラー乗算の基本操作は、空間を移動することによって簡単に視覚化できます。
例 2: 多項式
実係数を持つすべての多項式の集合 R[x] を考えてみましょう。これはベクトル空間であり、ベクトルの加算は多項式の加算であり、スカラーの乗算は多項式の各項を同じスカラーで乗算することです。
例 3: 関数
閉区間上に定義されたすべての連続実数値関数の集合は別の例です。ここでは、ベクトルの加算は関数の加算に対応し、スカラーの乗算は各関数の「高さ」をスカラーで再び変更します。
部分空間
部分空間は、それ自体がベクトル空間であるベクトル空間の部分集合です。部分空間は、いくつかの簡単なテストに合格する必要があります:
- もし
uおよびvが部分空間にあるならば、u + vも部分空間にある必要があります。 - 任意のスカラー
cがあり、vが部分空間にある場合、c * vも部分空間にある必要があります。 - ゼロベクトルは、あらゆる部分空間に存在する必要があります。
例 1: 原点を通る線
原点を通る R^2 の任意の直線は部分空間です。ゼロベクトルを含み、加算とスカラー乗算に対して閉じています。
例 2: 平面
R^3 の部分空間は、原点を通る任意の平面です。これもゼロベクトルを持ち、私たちの操作に対して閉じられています。
基底と次元
ベクトル空間 V の基底は、V 内の一連のベクトルであり、線形独立であり、V を広げています。これは、基底ベクトルをスケーリングして加算することで、V 内の任意のベクトルに到達できることを意味します。ベクトル空間の次元とは、ベクトル空間の基底の中にあるベクトルの数です。たとえば、R^2 の基底は通常 2 つのベクトルで構成され、例えば (1, 0) と (0, 1) であり、次元は 2 です。
これらのベクトルは R^2 の基底を形成します。
3 次元では、R^3 の単純な基底は (1, 0, 0), (0, 1, 0) および (0, 0, 1) があります。
広がるセット
ベクトル空間 V において、v1, v2, ..., vn があれば、それらのセットは V を含んでいると言われます。すべてのベクトルは、v1, v2, ..., vn の線形結合として書くことができます。広がるセットには基底に関する定義と概念が含まれます。
線形独立
ベクトルは、他のベクトルの線形結合として書くことができない場合に線形独立です。この独立性は、ベクトル空間の次元を定義するための重要な概念です。
数学的表現
ベクトル空間におけるベクトル v1, v2, ..., vn に対して、それらが線形独立であるということは、方程式が次のように書かれる場合です:
a1*v1 + a2*v2 + ... + an*vn = 0それは a1 = a2 = ... = an = 0 の自明な解のみを持ちます。
結論
ベクトル空間は線形代数の基礎であり、数学および応用科学全般で使用されます。それらは線形方程式と変換を研究するための正式な方法を提供し、空間の構造と多次元量に基づいた多くの実世界問題への洞察を提供します。
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