पीएचडी → बीजगणित को समझना → रैखिक बीजगणित ↓
वेक्टर स्पेस
रेखीय बीजगणित के अध्ययन में एक महत्वपूर्ण अवधारणा वेक्टर स्पेस की है। वेक्टर स्पेस वेक्टर के साथ काम करने के लिए एक रूपरेखा प्रदान करते हैं, जिनके बारे में सोचा जा सकता है कि वे मात्राएँ हैं जिनमें दोनों परिमाण और दिशा होती हैं। ये मौलिक संरचनाएँ गणित, भौतिकी, इंजीनियरिंग, और कंप्यूटर विज्ञान के विविध क्षेत्रों में अनिवार्य हैं।
वेक्टर स्पेस की परिभाषा
एक वेक्टर स्पेस, या रेखीय स्पेस, ऑब्जेक्ट्स का एक संग्रह होता है जिन्हें वेक्टर कहते हैं। इन वेक्टरों को एक साथ जोड़ा जा सकता है और संख्याओं से गुणा किया जा सकता है, जिन्हें स्केलर कहा जाता है। स्केलर अक्सर वास्तविक संख्याएँ होती हैं, लेकिन वे जटिल संख्याएँ या निर्दिष्ट क्षेत्र के तत्व (एक गणितीय शब्द जो संख्याओं को कवर करता है जिन पर कुछ नियमों का पालन करने वाले कुछ ऑपरेशंस परिभाषित होते हैं) भी हो सकते हैं।
अधिक औपचारिक रूप से, एक क्षेत्र F पर एक वेक्टर स्पेस V एक सेट है जो दो ऑपरेशनों से सुसज्जित है: वेक्टर जोड़ और स्केलर गुना। वेक्टर स्पेस को नीचे सूचीबद्ध दस स्वयंसिद्धों को संतोषजनक बनाना चाहिए:
- जोड़ के तहत बंद: सभी
u, vमेंV, योगu + vभीVमें है - स्केलर गुणा के तहत बंद: किसी भी स्केलर
cमेंFऔर किसी भी वेक्टरvमेंV, गुणनफलc * vVमें है - जोड़ की संयोजक संपत्ति: सभी
u, v, wमेंV,(u + v) + w = u + (v + w) - जोड़ की प्रतिवर्ती संपत्ति: सभी
u, vमेंV,u + v = v + u - योग का पहचान तत्व: वहां
0नामक तत्वVमें है, जिसे शून्य वेक्टर कहा जाता है, ऐसा किv + 0 = vसभीvमेंV - योग के व्युत्क्रम तत्व: प्रत्येक
vके लिएVमें, एक-vवहां मौजूद हैVमें ऐसा किv + (-v) = 0 - फील्ड गुणन के साथ स्केलर गुणा की संगतता: सभी
a, bमेंFऔरvमेंV,(a * b) * v = a * (b * v) - स्केलर गुणा का पहचान तत्व: सभी
vमेंV,1 * v = vजहां1गुणात्मक पहचान हैFमें - वेक्टर जोड़ के संदर्भ में स्केलर गुणा की वितरणात्मक संपत्ति: सभी
aमेंFऔरu, vमेंV,a * (u + v) = a * u + a * v - फील्ड जोड़ के संदर्भ में स्केलर गुणा की वितरणात्मक संपत्ति: सभी
a, bमेंFऔरvमेंV,(a + b) * v = a * v + b * v
वेक्टर स्पेस की ज्यामितीय व्याख्या
आइए एक वेक्टर स्पेस को अधिक ज्यामितीय दृष्टिकोण से देखें। सरल स्थिति की कल्पना करें, एक दो-आयामी स्पेस, जिसे आमतौर पर R^2 के रूप में दर्शाया जाता है। यहाँ वेक्टर वे रेखा खंड हैं जो मूल से निर्देशित किए जाते हैं।
यह आरेख वेक्टर u, v और u+v को दो-आयामी स्पेस में दिखाता है।
इस सरल 2D मामले में, दो वेक्टर u और v के योग को इस प्रकार से भी ग्राफ़िकल रूप से पाया जा सकता है। उन्हें इस प्रकार रखें कि v की पूंछ u के सिर पर हो, और उनका योग u के आधार से v के सिर तक का वेक्टर है। इसे गणित में "समांतर चतुर्भुज नियम" के रूप में भी जाना जाता है।
वेक्टर स्पेस के उदाहरण
अब, आइए वेक्टर स्पेस के विभिन्न उदाहरणों का अन्वेषण करें:
उदाहरण 1: भौतिक स्थान
सबसे सहज वेक्टर स्पेस तीन-आयामी भौतिक स्थान हो सकता है जिसमें हम हैं, R^3। यहां वेक्टर जोड़ और स्केलर गुणा की मूलभूत क्रियाओं को स्पेस के माध्यम से चलने से आसानी से चित्रित किया जा सकता है।
उदाहरण 2: बहुपद
सभी वास्तविक गुणांक वाले बहुपदों के सेट पर विचार करें, R[x]। यह एक वेक्टर स्पेस है जहां वेक्टर जोड़ बहुपद जोड़ाई है, और स्केलर गुणा प्रत्येक शब्द को एक ही स्केलर से गुणा करने का रूप है।
उदाहरण 3: फलन
किसी बंद अंतराल पर परिभाषित सभी सतत वास्तविक-मूल्य वाले फलनों के सेट का एक और उदाहरण है। यहां, वेक्टर जोड़ फलन जोड़ाई के साथ मेल खाता है, और स्केलर गुणा एक बार फिर प्रत्येक फलन की 'ऊंचाई' को एक स्केलर द्वारा संशोधित करता है।
उपअंतरिक्ष
एक उपअंतरिक्ष एक वेक्टर स्पेस का उपसेट होता है जो स्वयं एक वेक्टर स्पेस होता है। उपअंतरिक्ष को कुछ सरल परीक्षणों से गुजरना होगा:
- यदि
uऔरvएक उपअंतरिक्ष में हैं, तोu + vभी उपअंतरिक्ष में होना चाहिए। - यदि
cकोई भी स्केलर है, औरvउपअंतरिक्ष में है, तोc * vभी उपअंतरिक्ष में होना चाहिए। - शून्य वेक्टर किसी भी उपअंतरिक्ष में होना चाहिए।
उदाहरण 1: मूल से गुजरती रेखाएँ
मूल से गुजरती R^2 में कोई भी रेखा एक उपअंतरिक्ष होती है। इसमें शून्य वेक्टर होता है और यह जोड़ और स्केलर गुणा के तहत बंद रहता है।
उदाहरण 2: समतल
R^3 का उपअंतरिक्ष विशेषाधिकारों वाला हो सकता है जो मूल के साथ कोई भी समतल हो। फिर, इसमें शून्य वेक्टर होता है और यह हमारे ऑपरेशनों के तहत बंद रहता है।
आधार और आयाम
वेक्टर स्पेस V के लिए एक आधार V में वेक्टरों का एक सेट होता है जो स्वतंत्र भी होता है और V को फैलाता है। इसका तात्पर्य यह है कि आप आधार वेक्टरों को स्केलिंग और जोड़कर V में किसी भी वेक्टर तक पहुँच सकते हैं। वेक्टर स्पेस का आयाम वेक्टर स्पेस के आधार में वेक्टरों की संख्या होता है। उदाहरण के लिए, R^2 के एक आधार में आमतौर पर दो वेक्टर होते हैं, जैसे (1, 0) और (0, 1), और इसका आयाम 2 होता है।
ये वेक्टर R^2 के लिए एक आधार बनाते हैं।
तीन आयामों में, R^3, एक सरल आधार हो सकता है (1, 0, 0), (0, 1, 0), और (0, 0, 1)।
प्रसार करने वाले सेट
वेक्टरों का एक सेट {v1, v2, ..., vn} को एक वेक्टर स्पेस V में फैलाया हुआ कहा जाता है यदि V के प्रत्येक वेक्टर को v1, v2, ..., vn के रेखीय संयोजन के रूप में लिखा जा सकता है। प्रसार करने वाले सेटों में आधार के लिए परिभाषाएँ और अवधारणाएँ शामिल हैं।
रेखीय स्वतंत्रता
वेक्टर रेखीय रूप से स्वतंत्र होते हैं यदि उनमें से कोई भी दूसरों के रेखीय संयोजन के रूप में लिखा नहीं जा सकता। इस स्वतंत्रता से वेक्टर स्पेस के आयाम को परिभाषित करने में महत्वपूर्ण अवधारणा मिलती है।
गणितीय प्रतिनिधित्व
वेक्टरों के लिए v1, v2, ..., vn एक वेक्टर स्पेस में, वे रेखीय रूप से स्वतंत्र होते हैं यदि समीकरण:
a1*v1 + a2*v2 + ... + an*vn = 0केवल तुच्छ समाधान है जहां a1 = a2 = ... = an = 0।
निष्कर्ष
वेक्टर स्पेस रेखीय बीजगणित के कोने का पत्थर होते हैं और गणित व अनुप्रयुक्त विज्ञान के सम्पूर्ण पाठ्यक्रम में उपयोग किए जाते हैं। वे रेखीय समीकरणों और रूपांतरणों का अध्ययन करने के लिए औपचारिक विधि प्रदान करते हैं, जो वास्तविक दुनिया की समस्याओं को स्पेस और बहु-आयामी मात्राओं की संरचना के आसपास संरचित करता है, उनकी अंतर्दृष्टि प्रदान करते हैं।
टिप्पणियाँ