Doctorado
  1. Comprendiendo el Álgebra  1.1. Teoría de grupos  1.1.1. Propiedades básicas de los grupos  1.1.2. Subgrupos  1.1.3. Cosets y el teorema de Lagrange  1.1.4. Subgrupos normales  1.1.5. Grupo cociente  1.1.6. Homomorfismos de grupos  1.1.7. Teorema de Sylow  1.1.8. Introducción a los grupos libres  1.1.9. ¿Qué son las actividades grupales?  1.1.10. Grupos simples y resolubles  1.2. Teoría de anillos  1.2.1. Anillos e ideales  1.2.2. Introducción a los homomorfismos de anillos  1.2.3. Anillos polinomiales  1.2.4. Dominios Ideales Principales  1.2.5. Dominios de factorización única  1.2.6. Anillos noetherianos  1.2.7. Anillos de Artiniano  1.3. Teoría de campos  1.3.1. Extensiones de campos  1.3.2. División de áreas  1.3.3. Teoría de Galois  1.3.4. Cierre algebraico en teoría de campos  1.3.5. Campos finitos  1.3.6. Extensión trascendental  1.4. Teoría de módulos  1.4.1. Módulos sobre anillos  1.4.2. Módulos libres  1.4.3. Morfismo de módulos  1.4.4. Módulos simples y semisimples  1.4.5. Módulos proyectivos  1.4.6. Módulos inyectivos  1.5. Álgebra lineal  1.5.1. Espacio vectorial  1.5.2. Transformaciones lineales  1.5.3. Comprendiendo Valores Propios y Vectores Propios  1.5.4. Forma canónica  1.5.5. Espacio de producto interior  1.5.6. Teorema Espectral  1.5.7. Descomposición en valores singulares
  2. Entendiendo el Análisis Matemático  2.1. Análisis real  2.1.1. Números reales y completitud  2.1.2. Introducción a las secuencias y series  2.1.3. Continuidad en el análisis real  2.1.4. Diferenciación en el análisis real  2.1.5. Integración de Riemann  2.1.6. Introducción a los espacios métricos  2.1.7. Medida de Lebesgue  2.2. Análisis complejo  2.2.1. Números complejos  2.2.2. Funciones analíticas  2.2.3. Integración de contornos  2.2.4. Teorema de Cauchy  2.2.5. Teorema del residuo  2.2.6. Mapeo conforme  2.3. Análisis funcional  2.3.1. Comprender ubicaciones estándar  2.3.2. Introducción a los espacios de Banach  2.3.3. Espacios de Hilbert  2.3.4. Operadores lineales  2.3.5. Teoría espectral  2.3.6. Operadores compactos  2.4. Teoría de la medida  2.4.1. Álgebra sigma  2.4.2. Medidas e integrales en la teoría de la medida  2.4.3. Integración de Lebesgue  2.4.4. Teorema de convergencia  2.4.5. Teorema de Fubini  2.5. Análisis Armónico  2.5.1. Serie de Fourier  2.5.2. Transformada de Fourier  2.5.3. Teoría de la distribución  2.5.4. Wavelets
  3. Topología  3.1. Topología general  3.1.1. Conjuntos abiertos y cerrados  3.1.2. Continuidad  3.1.3. Introducción a la compacidad  3.1.4. Conectividad en topología general  3.1.5. Topología métrica  3.2. Topología algebraica  3.2.1. Grupo fundamental  3.2.2. Teoría de la homotopía  3.2.3. Teoría de la homología  3.2.4. Cohomología  3.2.5. Secuencia exacta  3.3. Topología diferencial  3.3.1. Variedades suaves  3.3.2. Espacio tangente  3.3.3. Campos vectoriales  3.3.4. Comprensión de las Formas Diferenciales
  4. Geometría  4.1. Geometría diferencial  4.1.1. Curvas y superficies en geometría diferencial  4.1.2. Geometría Riemanniana  4.1.3. Comprendiendo las geodésicas en la geometría diferencial  4.1.4. Curvatura  4.2. Geometría algebraica  4.2.1. Variedades afines y proyectivas  4.2.2. Planes  4.2.3. Separadores e intersecciones  4.2.4. Cohomología en geometría algebraica  4.3. Geometría Computacional  4.3.1. Introducción a las cubiertas convexas en geometría computacional  4.3.2. Triangulación  4.3.3. Diagrama de Voronoi  4.3.4. Algoritmos Geométricos
  5. Teoría de números  5.1. Teoría de números elemental  5.1.1. Divisibilidad en la teoría de números elemental  5.1.2. Congruencia en teoría de números elemental  5.1.3. Aritmética modular  5.2. Teoría analítica de números  5.2.1. Teorema de los números primos  5.2.2. Series de Dirichlet  5.2.3. Zeta y funciones L  5.3. Teoría de números algebraicos  5.3.1. Campos numéricos  5.3.2. Introducción a ideales en teoría de números algebraicos  5.3.3. Grupos de clases en teoría de números algebraicos  5.3.4. Representación de Galois
  6. Compañerismo  6.1. Combinatoria computacional  6.1.1. Función generadora  6.1.2. Relación de recurrencia  6.1.3. Ppermutaion y combinaciones  6.2. Teoría de grafos  6.2.1. Isomorfismo de grafos  6.2.2. Planicidad en teoría de grafos  6.2.3. Coloración de grafos  6.3. Combinatoria extrema  6.3.1. Teoría de Ramsey  6.3.2. Métodos probabilísticos en combinatoria extrema  6.4. Combinatoria algebraica  6.4.1. Métodos de matrices en combinatoria algebraica  6.4.2. Teoría de la representación
  7. Argumentos y fundamentos  7.1. Teoría de conjuntos  7.1.1. Axiomas de Zermelo-Fraenkel  7.1.2. Ordinales y cardinales  7.2. Introducción a la teoría de modelos  7.2.1. Estructuras y teorías en la teoría de modelos  7.2.2. Teorema de compacidad  7.3. Teoría de la demostración  7.3.1. Sistemas formales  7.3.2. Consistencia y completitud
  8. Probabilidad y Estadística  8.1. Teoría de la probabilidad  8.1.1. Variables aleatorias  8.1.2. Expectativa y variación  8.1.3. Teorema central del límite  8.2. Procesos estocásticos  8.2.1. Cadenas de Markov  8.2.2. Movimiento Browniano  8.3. Inferencia estadística  8.3.1. Pruebas de hipótesis  8.3.2. Análisis de regresión
  9. Matemáticas aplicadas  9.1. Análisis numérico en matemáticas aplicadas  9.1.1. Métodos iterativos  9.1.2. Interpolación  9.1.3. Análisis de errores  9.2. Ecuaciones diferenciales parciales  9.2.1. Ecuación elíptica  9.2.2. Ecuación parabólica  9.2.3. Ecuaciones hiperbólicas  9.3. Sistemas dinámicos  9.3.1. Teoría del caos  9.3.2. Análisis de estabilidad en sistemas dinámicos

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Espacio vectorial


En el estudio del álgebra lineal, un concepto importante es el de espacios vectoriales. Los espacios vectoriales proporcionan un marco para trabajar con vectores, que pueden considerarse como cantidades que tienen tanto magnitud como dirección. Estas estructuras fundamentales son esenciales en varios campos de las matemáticas, la física, la ingeniería y la informática.

Definición de espacio vectorial

Un espacio vectorial, o espacio lineal, es una colección de objetos llamados vectores. Estos vectores pueden sumarse entre sí y multiplicarse por números, llamados escalares. Los escalares suelen ser números reales, pero también pueden ser números complejos o elementos de un campo especificado (un término matemático que cubre números sobre los cuales se definen ciertas operaciones que siguen ciertas reglas).

Más formalmente, un espacio vectorial V sobre un campo F es un conjunto equipado con dos operaciones: suma de vectores y multiplicación escalar. El espacio vectorial debe satisfacer los diez axiomas que se enumeran a continuación:

  • Cierre bajo la adición: para todos u, v en V, la suma u + v está también en V
  • Cierre bajo la multiplicación escalar: para cualquier escalar c en F y cualquier vector v en V, el producto c * v está en V
  • Propiedad asociativa de la adición: Para todos u, v, w en V, (u + v) + w = u + (v + w)
  • Propiedad conmutativa de la adición: Para todos u, v en V, u + v = v + u.
  • Elemento identidad de la suma: Existe un elemento 0 en V, llamado vector cero, tal que v + 0 = v para todo v en V
  • Elementos inversos de una suma: para cada v en V, existe un -v en V tal que v + (-v) = 0.
  • Compatibilidad de la multiplicación escalar con la multiplicación del campo: para todos a, b en F y v en V, (a * b) * v = a * (b * v)
  • Elemento identidad de la multiplicación escalar: para todos v en V, 1 * v = v, donde 1 es la identidad multiplicativa en F
  • Propiedad distributiva de la multiplicación escalar con respecto a la adición de vectores: para todos a en F y u, v en V, a * (u + v) = a * u + a * v.
  • Propiedad distributiva de la multiplicación escalar con respecto a la adición del campo: para todos a, b en F y v en V, (a + b) * v = a * v + b * v.

Interpretación geométrica de un espacio vectorial

Miremos un espacio vectorial en un sentido más geométrico. Imagina el caso simple de un espacio bidimensional, generalmente denotado como R^2. Aquí los vectores son segmentos de línea dirigidos desde el origen.

V Usted u+v

Este diagrama muestra los vectores u, v y u+v en un espacio bidimensional.

En este simple caso 2D, la suma de dos vectores u y v también se puede encontrar gráficamente. Colócalos de manera que la cola de v esté en la cabeza de u, y su suma es el vector desde la base de u hasta la cabeza de v. Esto también se conoce matemáticamente como la "regla del paralelogramo".

Ejemplos de espacios vectoriales

Ahora, exploremos diferentes ejemplos de espacios vectoriales:

Ejemplo 1: Ubicación física

El espacio vectorial más intuitivo podría ser el espacio físico tridimensional que nos rodea, R^3. Las operaciones básicas de suma de vectores y multiplicación escalar pueden visualizarse fácilmente aquí moviéndose a través del espacio.

Ejemplo 2: Polinomio

Considera el conjunto de todos los polinomios con coeficientes reales, R[x]. Este es un espacio vectorial donde la adición de vectores es la suma de polinomios, y la multiplicación escalar es multiplicar cada término en el polinomio por el mismo escalar.

Ejemplo 3: Función

El conjunto de todas las funciones continuas de valores reales definidas en un intervalo cerrado es otro ejemplo. Aquí, la suma de vectores corresponde a la suma de funciones, y la multiplicación escalar nuevamente modifica la 'altura' de cada función por un escalar.

Subespacio

Un subespacio es un subconjunto de un espacio vectorial que es en sí mismo un espacio vectorial. Los subespacios deben pasar algunas pruebas simples:

  • Si u y v están en un subespacio, entonces u + v también debe estar en un subespacio.
  • Si c es cualquier escalar y v está en el subespacio, entonces c * v también debe estar en el subespacio.
  • El vector cero debe estar en cualquier subespacio.

Ejemplo 1: Líneas a través del origen

Cualquier línea en R^2 que pasa por el origen es un subespacio. Contiene el vector cero y está cerrado bajo la adición y la multiplicación escalar.

Ejemplo 2: Plano

El subespacio de R^3 puede ser cualquier plano a través del origen. Nuevamente, tiene el vector cero y está cerrado bajo nuestras operaciones.

Base y dimensiones

Una base para un espacio vectorial V es un conjunto de vectores en V que son linealmente independientes y que abarcan V. Esto significa que se puede alcanzar cualquier vector en V escalando y sumando los vectores base. La dimensión de un espacio vectorial es el número de vectores en la base del espacio vectorial. Por ejemplo, una base de R^2 generalmente consta de dos vectores, como (1, 0) y (0, 1), y por lo tanto tiene dimensión 2.

(1,0) (0,1)

Estos vectores forman una base para R^2.

En tres dimensiones, R^3, una base simple podría ser (1, 0, 0), (0, 1, 0), y (0, 0, 1).

Conjuntos generadores

Se dice que un conjunto de vectores {v1, v2, ..., vn} se genera en un espacio vectorial V si cada vector en V se puede escribir como una combinación lineal de v1, v2, ..., vn. Los conjuntos generadores incluyen definiciones y conceptos para la base.

Independencia lineal

Los vectores son linealmente independientes si ninguno de ellos puede escribirse como una combinación lineal de los otros. Esta independencia es un concepto clave en la definición de la dimensión de un espacio vectorial.

Representación matemática

Para vectores v1, v2, ..., vn en un espacio vectorial, son linealmente independientes si la ecuación:

a1*v1 + a2*v2 + ... + an*vn = 0

Tiene solo la solución trivial donde a1 = a2 = ... = an = 0.

Conclusión

Los espacios vectoriales son la piedra angular del álgebra lineal y se utilizan en todas las matemáticas y las ciencias aplicadas. Proporcionan un método formal para estudiar ecuaciones lineales y transformaciones, proporcionando información sobre muchos problemas del mundo real estructurados en torno a la estructura del espacio y las cantidades multidimensionales.


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