モジュール理論

数学において、モジュール理論は線形代数の概念を拡張し、さらに複雑かつ豊富な構造を紹介する魅力的な研究分野です。これは抽象代数学の一分野で、スカラーの集合が体の代わりに環であるベクトル空間を一般化するモジュールを扱います。ここでは、モジュール理論を簡単な言葉と視覚例を用いて深く理解してみましょう。

インスピレーションと基本

線形代数では、しばしばベクトル空間を扱います。ベクトル空間は、ベクトルを加算したり、数（スカラー）で乗算したりできるベクトルの集合です。これらのスカラーは、有理数 (ℚ)、実数 (ℝ)、または複素数 (ℂ) のような体から来ます。

しかし、時には、整数 (ℤ) や多項式のように、体に属さないスカラーを扱いたいことがあります。この広い文脈がモジュールへと導きます。モジュールはベクトル空間のようなもので、スカラーを体ではなく環から取ることができます。

モジュールの定義

モジュールはベクトルの概念の一般化です。形式的に、R を環と仮定します。M という R 上のモジュールは、次の2つの演算を備えた集合です。

加算: +、これは可換的、結合法則を満たし、単位元を持ちます。
スカラー乗算: すべての r ∈ R および m ∈ M に対して、rm ∈ M という要素が存在し、モジュール加法および環の加法/乗法に関する分配法則が適用されます。

視覚的例

環 R と R 上のモジュール M を考えます。この図は、モジュールの要素が環の要素によって作用を受けることを示しています:

R: ooooo (環の要素) | *-----> (操作) | M: • • • • • (モジュールの要素)

簡単な例

モジュールとは何か、どのように機能するかをいくつかの例で理解しましょう。

例 1: モジュールとしてのベクトル空間

最も簡単なモジュールの例はベクトル空間です。フィールド F を持っていると仮定します。すると、F 上のベクトル空間 V は R = F の場合のモジュールです。したがって、すべてのベクトル空間はその基底フィールドの上のモジュールとして見ることができます。

例 2: ℤ-モジュール

リングとしての ℤ （すべての整数の集合）を考えます。ℤ 上のモジュールは ℤ-モジュールと呼ばれます。任意のアーベル群はℤ-モジュールと考えることができます。たとえば、ℤⁿ、整数のすべての n タプルの群は、成分ごとの加法およびスカラー乗算の下で ℤ-モジュールを形成します。

例 3: 多項式環上のモジュール

リング R = ℝ[x] （実係数を持つすべての多項式の環）を考えると、この環上のモジュールは ℝ[x] -モジュールと呼ばれます。一例として、ある特定の次数 n を持つ実係数の多項式の集合があります。

モジュールの同型

2つの R モジュール M と N の間の同型は、モジュール操作を保つ関数 f: M → N です。特に、すべての u, v ∈ M および r ∈ R に対して次が成り立ちます:

f(u + v) = f(u) + f(v) （加法性）
f(ru) = rf(u) （スカラー乗算との互換性）

M から N へのすべての R モジュール準同型の集合は Hom_R(M, N) と表記されます。

部分モジュール

ベクトル空間に部分空間があるように、モジュールには部分モジュールがあります。モジュール M の部分モジュール N は、加算とスカラー乗算の下で閉じた部分群です。より公式には、N ⊆ M であるとき、N は次の場合に部分モジュールです:

0 ∈ N （ゼロ要素を含む）
u, v ∈ N は u + v ∈ N を意味します（加法について閉じる）
r ∈ R および u ∈ N は ru ∈ N を意味します（スカラー乗算について閉じる）

商モジュール

モジュール M とその部分モジュール N が与えられたとき、線形代数や群論の商空間に似た商モジュール M/N を構築できます。商モジュールの要素は、M の中の N のコセットです。加算とスカラー乗算は次のように自然に定義されます:

(u + N) + (v + N) = (u + v) + N
r(u + N) = (ru) + N

有限生成モジュール

モジュール M は、有限集合 {m₁, m₂, ..., mₙ} の要素が存在して、M のすべての要素 m をこれらの生成元の有限 R 線形結合として表現できる場合、有限生成と呼ばれます。形式的には、

m = r₁m₁ + r₂m₂ + ... + rₙmₙ

自由モジュール

自由モジュールは基底を持つモジュールで、これはベクトル空間の基底の概念に似ています。モジュール M が自由であるとは、次のような要素の集合 {eᵢ} が存在して、M のすべての要素 m を次の唯一な有限和として書くことができる場合を言います:

m = r₁e₁ + r₂e₂ + ... + rₖeₖ

ここで rᵢ ∈ R であり、係数 rᵢ は一意です。

自由モジュールの視覚的例

モジュール M を矢印（ベクトル）の集合とし、基底の中の各要素 e₁, e₂,... が方向に対応すると考えます:

e₁: →→→→→ e₂: ↗↗↗↗↗ m = r₁e₁ + r₂e₂

完全系列

完全系列は、モジュールの構造をより深く理解するためのツールです。完全系列はモジュール準同型の系列です。

... → A → B → C → ...

これはモジュール B で正確であると、B の前のマップの像が B の後のマップの核に等しいことを意味します。完全系列を利用することで、モジュールがどのように構築されているかを理解することができます。