射影加群

加群論は、多くの代数的構造を一般化する抽象代数学の一分野です。この分野における重要な概念の一つが射影加群です。射影加群を理解することは、それらの性質、自由加群との関係、環や圏といった大規模な代数的枠組みへの適合性を探求することを含みます。

加群の導入

射影加群に入る前に、一歩下がって加群とは何かを定義してみましょう。加群は、スカラーが体ではなく与えられた環Rの要素であるという点で、ベクトル空間の一般化と考えることができます。より形式的には、環R上の加群は、特定の分配性や結合法則といった性質を満たす演算R × M → Mを備えたアーベル群(M, +)です。

射影加群の定義

加群Pは、同相写像に関連する特定の性質を持つ場合に射影加群と呼ばれます。形式的には、すべての全射R-加群同相写像f: M → Nとすべての同相写像g: P → Nに対して、R-加群同相写像h: P → Mが存在し、f ∘ h = gとなる場合に射影と言います。この条件は次の交換図式で説明できます：

        H
P ---------> M
g| |f
VV
N 

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