प्रोजेक्टिव माड्यूल्स

माड्यूल सिद्धांत अमूर्त बीजगणित की एक शाखा है जो कई बीजगणितीय संरचनाओं को सामान्यीकृत करता है। इस क्षेत्र में एक महत्वपूर्ण अवधारणा है प्रोजेक्टिव माड्यूल। प्रोजेक्टिव माड्यूल्स को समझना उनके गुणों की खोज, फ्री माड्यूल्स के साथ उनके संबंध, और बड़े बीजगणितीय ढाँचों जैसे रिंग्स और श्रेणियों में उनकी स्थिति की जाँच करना शामिल है।

माड्यूल के लिए परिचय

प्रोजेक्टिव माड्यूल्स में गहराई से जाने से पहले, आइए एक कदम पीछे हटें और यह परिभाषित करें कि एक माड्यूल क्या है। माड्यूल्स को वेक्टर स्पेसेस के सामान्यीकरण के रूप में सोचा जा सकता है, इस अर्थ में कि स्केलर एक दिए गए रिंग R के तत्व होते हैं न कि एक क्षेत्र के। अधिक औपचारिक रूप से, रिंग R पर एक माड्यूल एक आबेलियन समूह (M, +) होता है जो एक ऑपरेशन R × M → M के साथ संलग्न होता है जो निम्नलिखित गुणों जैसे वितारण और सहसम्बंधन को संतोषजनक तरीके से निभाने वाला होता है।

प्रोजेक्टिव माड्यूल की परिभाषा

किसी माड्यूल P को प्रोजेक्टिव माड्यूल कहा जाता है यदि उसके पास होमियोमोर्फिज्म से संबंधित एक निश्चित विशेषता होती है। औपचारिक रूप से, P प्रोजेक्टिव है यदि हर पूर्णांक R-माड्यूल होमियोमोर्फिज्म f: M → N और हर होमियोमोर्फिज्म g: P → N के लिए, एक R-माड्यूल होमियोमोर्फिज्म h: P → M मौजूद होता है ताकि f ∘ h = g। इस स्थिति को निम्नलिखित अनुप्रस्थ आरेख द्वारा वर्णित किया जा सकता है:

        H
P ---------> M
g| |f
VV
N 

टिप्पणियाँ