単純加群と半単純加群

代数と加群論の分野では、モジュールと呼ばれる構造を理解することが中心的です。モジュールはベクトル空間の一般化と考えられ、スカラーの体が環に置き換えられます。この講演では、2つの重要なタイプのモジュール：単純加群と半単純加群について議論します。

モジュールの紹介

まず、モジュールとは何かを簡単に説明しましょう。与えられた環Rに対して、R上のモジュール（またはR-モジュール）は、いくつかの公理を満たす加法演算とスカラー乗法を備えた集合です。これらの公理はベクトル空間を定義する公理に似ていますが、それらは体ではなく環上に構築されています。

モジュールの正式な定義

R モジュール M は、R の要素による乗法演算を備えたアーベル群です。このスカラー乗法は、すべての m, n が M に属し、r, s が R に属する場合に定義されます。

r(m + n) = rm + rn
2. (r + s)m = rm + sm
3. (rs)m = r(sm)
4. 1_R * m = m (R が単位的である場合)

単純加群

モジュールが単純（または不可約）と呼ばれるのは、それがゼロモジュールではなく、その唯一の部分モジュールがゼロモジュールと自分自身である場合です。これは、単純加群がより小さく、非自明な部分モジュールに分解できないことを意味します。正式には、あるRモジュールMが単純であるためには、非ゼロであり、0 < N < M のような部分モジュールNが存在しないことです。この性質により、単純加群は他のモジュールの構成要素となります。算数の素数や群論の単純群に似ています。

視覚的な例

無限に小さな線分に分割できる線分をイメージしてみてください。線分が「単純」であると主張するならば、その中に線分と空の線分（線分なし）しか見つかりません。単純加群は非自明な部分群を含むことができません。

  [ 開始 ] ---> [ 単純節 ] ---> [ 終了 ]

単純加群の例

整数Zと素数pを用いたモジュールZ/pZを考えます。モジュールZ/pZは、その唯一の部分モジュールが{0}と自分自身であるため、単純です。ここでZ/pZはpによる整数の剰余であり、pの素数の性質により、非自明な部分群は存在し得ません。

数学的性質の表現

モジュールの単純性は、しばしばホモモルフィズムを用いて示されます。 Mが単純なRモジュールである場合、Mから他のモジュールNへの非零のホモモルフィズムはインジェクティブです。これは、任意の核KがMの部分モジュールでもあり、KをゼロまたはMの完備化とするためです。KがMの完備化であれば、ホモモルフィズムはゼロとなり、これは非零の仮定に矛盾します。

半単純加群

モジュールが半単純と見なされるのは、単純加群の直和として表現できる場合です。これにより、半単純加群は完全に分解され、もはや分解できないモジュールに分解されます。

半単純加群の定義

あるRモジュールMを半単純と呼ぶのは、それが単純部分モジュールの直和である場合、あるいはMのすべての部分モジュールが直和である場合です。この性質は、基本構造が予測可能なモジュールを分類する方法を提供するため、重要です。

半単純加群の例

モジュールZ/2Z ⊕ Z/3Zを考えます。これはモジュールZ/2ZおよびZ/3Zの直和であり、それぞれが単純加群です。したがって、それらの直和は半単純加群です。この場合、直和は半単純加群がどのように「積み重ねられて」単純加群構造を形成できるかを示しています。

視覚的な例

独立したコンパートメントで構成された列車をイメージしてください。それぞれが単純加群を表しています。半単純加群として、列車は完全なシステムとして機能しますが、各「コンパートメント」パーツの観点からも記述（おそらく分解）できます。

  [ 単純車両 ] --- [ 単純車両 ] --- [ 単純車両 ]

半単純加群の数学的性質

モジュールが半単純であるためには、次のように分解されなければなりません：

M = M_1 ⊕ M_2 ⊕ ... ⊕ M_n

ここで、それぞれのM_iは単純加群です。重要な結果は、除数環上のベクトル空間のカテゴリーが半単純加群の例を提供することです。なぜなら、ベクトル空間は1次元部分空間（つまり単純です）で構成されるからです。

重要性と応用

単純加群と半単純加群の研究は、代数学における加群論の構造と基礎を理解する上で重要です。単純加群は不変な成分であり、代数的枠組み内でより複雑な構築の基礎を築きます。一方、半単純加群はその分解特性により、複雑な系を管理可能な部分に還元することで加群の分析を容易にします。

表現論への応用

表現論において、モジュールの半単純性を理解することは、代数の問題を線形変換の問題に翻訳するのに役立ちます。たとえば、半単純加群の視点から群表現を分析することは、群の構造に関する重要な洞察を明らかにします。

代数的構造との関係

単純加群は群論における単純群に似ています。群が単純群を用いて延長を通じて構成されるように、大きなモジュールはその単純部分モジュールを通して理解されます。群とモジュールの性質の関係は、代数学者が徹底した系統的調査を行うのに役立つ重要な概念です。

結論

単純加群と半単純加群の研究は、加群論の基礎的構造をより深く理解するためのものです。単純加群は内部の構成要素として機能し、半単純加群はこれらの構造を整理して分解を可能にするため、代数概念の一般的な探求と発展がより一貫性と管理しやすくなります。

これらのモジュールの厳密であるが基本的な性質を理解することにより、環論や代数幾何学、表現論などを含む近代代数学およびその様々な分野に内在する一貫性と美しさを評価することができます。

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