Докторантура
  1. Понимание алгебры  1.1. Теория групп  1.1.1. Основные свойства групп  1.1.2. Подгруппы  1.1.3. Классы смежности и теорема Лагранжа  1.1.4. Нормальные подгруппы  1.1.5. Факторгруппа  1.1.6. Групповые гомоморфизмы  1.1.7. Теорема Силова  1.1.8. Введение в свободные группы  1.1.9. Что такое групповые действия?  1.1.10. Простые и разрешимые группы  1.2. Теория колец  1.2.1. Кольца и идеалы  1.2.2. Введение в гомоморфизмы колец  1.2.3. Кольца многочленов  1.2.4. Области главных идеалов  1.2.5. Уникальные области факторизации  1.2.6. Нетеровы кольца  1.2.7. Артиниевы кольца  1.3. Теория полей  1.3.1. Расширения полей  1.3.2. Деление области  1.3.3. Теория Галуа  1.3.4. Алгебраическое замыкание в теории полей  1.3.5. Конечные поля  1.3.6. Трансцендентальное расширение  1.4. Теория модулей  1.4.1. Модули над кольцами  1.4.2. Свободные модули  1.4.3. Гомоморфизм модуля  1.4.4. Простые и полупростые модули  1.4.5. Проективные модули  1.4.6. Инъективные модули  1.5. Линейная алгебра  1.5.1. Векторное пространство  1.5.2. Линейные преобразования  1.5.3. Понимание собственных чисел и собственных векторов  1.5.4. Каноническая форма  1.5.5. Пространство с внутренним произведением  1.5.6. Теорема о спектральном расщеплении  1.5.7. Разложение по сингулярным значениям
  2. Понимание математического анализа  2.1. Реальный анализ  2.1.1. Действительные числа и полнота  2.1.2. Введение в последовательности и ряды  2.1.3. Непрерывность в теории действительных чисел  2.1.4. Дифференцирование в действительном анализе  2.1.5. Интегрирование по Риману  2.1.6. Введение в метрические пространства  2.1.7. Мера Лебега  2.2. Комплексный анализ  2.2.1. Комплексные числа  2.2.2. Аналитические функции  2.2.3. Контурная интеграция  2.2.4. Теорема Коши  2.2.5. Теорема о вычетах  2.2.6. Конформное отображение  2.3. Функциональный анализ  2.3.1. Понимание стандартных пространств  2.3.2. Введение в пространство БАНАХА  2.3.3. Пространства Гильберта  2.3.4. Линейные операторы  2.3.5. Спектральная теория  2.3.6. Компактные операторы  2.4. Теория меры  2.4.1. Сигма алгебра  2.4.2. Измерение и интегралы в теории меры  2.4.3. Интегрирование по Лебегу  2.4.4. Теорема о сходимости  2.4.5. Теорема Фубини  2.5. Гармонический анализ  2.5.1. Ряд Фурье  2.5.2. Преобразование Фурье  2.5.3. Теория распределений  2.5.4. Вейвлеты
  3. Топология  3.1. Общая топология  3.1.1. Открытые и закрытые множества  3.1.2. Непрерывность  3.1.3. Введение в компактность  3.1.4. Связность в общей топологии  3.1.5. Метрика топология  3.2. Алгебраическая топология  3.2.1. Фундаментальная группа  3.2.2. Теория гомотопий  3.2.3. Теория гомологии  3.2.4. Когомология  3.2.5. Точная последовательность  3.3. Дифференциальная топология  3.3.1. Гладкие многообразия  3.3.2. Тангенциальное пространство  3.3.3. Векторные поля  3.3.4. Понимание дифференциальных форм
  4. Геометрия  4.1. Дифференциальная геометрия  4.1.1. Кривые и поверхности в дифференциальной геометрии  4.1.2. Риманова геометрия  4.1.3. Понимание геодезических линий в дифференциальной геометрии  4.1.4. Кривизна  4.2. Алгебраическая геометрия  4.2.1. Аффинные и проективные многообразия  4.2.2. Планы  4.2.3. Разделители и пересечения  4.2.4. Когомология в алгебраической геометрии  4.3. Вычислительная геометрия  4.3.1. Введение в выпуклые оболочки в вычислительной геометрии  4.3.2. Триангуляция  4.3.3. Диаграмма Вороного  4.3.4. Геометрические алгоритмы
  5. Теория чисел  5.1. Элементарная теория чисел  5.1.1. Делимость в элементарной теории чисел  5.1.2. Сравнимость в элементарной теории чисел  5.1.3. Модульная арифметика  5.2. Аналитическая теория чисел  5.2.1. Теорема о распределении простых чисел  5.2.2. Ряды Дирихле  5.2.3. Зета и L-функции  5.3. Алгебраическая теория чисел  5.3.1. Числовые поля  5.3.2. Введение в идеалы в алгебраической теории чисел  5.3.3. Классы групп в алгебраической теории чисел  5.3.4. Представление Галуа
  6. Товарищество  6.1. Вычислительная комбинаторика  6.1.1. Функция-генератор  6.1.2. Рекуррентные соотношения  6.1.3. Перестановка и сочетание  6.2. Теория графов  6.2.1. Изоморфизм графов  6.2.2. Плоскостность в теории графов  6.2.3. Окраска графов  6.3. Экстремальная комбинаторика  6.3.1. Теория Рамсея  6.3.2. Вероятностные методы в экстремальной комбинаторике  6.4. Алгебраическая комбинаторика  6.4.1. Методы матриц в алгебраической комбинаторике  6.4.2. Теория представлений
  7. Аргументы и основания  7.1. Теория множеств  7.1.1. Аксиомы Цермело-Френкеля  7.1.2. Порядковые и кардинальные числа  7.2. Введение в теорию моделей  7.2.1. Структуры и теории в теории моделей  7.2.2. Теорема компактности  7.3. Теория доказательств  7.3.1. Формальные системы  7.3.2. Согласованность и полнота
  8. Вероятность и статистика  8.1. Теория вероятностей  8.1.1. Случайные величины  8.1.2. Ожидание и вариация  8.1.3. Центральная предельная теорема  8.2. Стохастические процессы  8.2.1. Марковские цепи  8.2.2. Броуновское движение  8.3. Статистическое заключение  8.3.1. Тестирование гипотез  8.3.2. Регрессионный анализ
  9. Прикладная математика  9.1. Численный анализ в прикладной математике  9.1.1. Итеративные методы  9.1.2. Интерполяция  9.1.3. Анализ ошибок  9.2. Уравнения в частных производных  9.2.1. Эллиптическое уравнение  9.2.2. Параболическое уравнение  9.2.3. Гиперболические уравнения  9.3. Динамические системы  9.3.1. Теория хаоса  9.3.2. Анализ устойчивости в динамических системах

Докторантура → Понимание алгебры → Теория модулей ↓


Свободные модули


В алгебре модули — это математические структуры, которые обобщают понятие векторных пространств. Модуль над кольцом позволяет нам расширить линейную алгебру до более широкой структуры над полями. Свободные модули — это важное понятие в теории модулей. У них есть базис, подобно свободным векторным пространствам, что позволяет нам понимать многие структурные свойства модулей над кольцами.

Понимание модуля

Прежде чем углубляться в свободные модули, давайте сначала разберемся, что такое модули. Модули — это обобщение идеи векторного пространства. Однако в векторном пространстве скаляры приходят из полей, тогда как в модуле скаляры приходят из колец. Эта разница позволяет использовать модули в широком диапазоне приложений.

Определение: Модуль M над кольцом R — это абелева группа с операцией · : R x M → M такая, что для всех m, n ∈ M и a, b ∈ R: 1. a · (m + n) = (a · m) + (a · n) 2. (a + b) · m = (a · m) + (b · m) 3. (a · b) · m = a · (b · m) 4. 1_R · m = m

Свободные модули

Свободный модуль похож на векторное пространство, которое имеет свободное и охватывающее множество. Мы называем это множество базисом, и каждый элемент в свободном модуле может быть уникально выражен как конечная линейная комбинация элементов из базиса. Давайте подробнее рассмотрим, что это означает.

Определение: Модуль F называется свободным, если существует множество { e i } для i из некоторого индексного множества I, такое, что каждый элемент f в F может быть уникально записан как: f = Σ a i e i, где a i — это элементы из кольца R, и почти все a i равны нулю (т.е. для конечного количества i в I, a i не равно нулю).

Примеры свободных модулей

Рассмотрим некоторые примеры для укрепления этого концепта.

Пример 1: Пространство Rn как модуль над R

Возьмём знакомое R n, которое представляется как свободный модуль над кольцом R (действительные числа), что то же самое, что быть векторным пространством. Стандартный базис — это {e 1, e 2, ..., e n}, где:

e 1 = (1, 0, 0, ..., 0), e 2 = (0, 1, 0, ..., 0), ... e n = (0, 0, 0, ..., 1)

Любой элемент v = (v 1, v 2, ..., v n) в R n может быть записан как:

v = v 1 e 1 + v 2 e 2 + ... + v n e n

Пример 2: Свободные модули над целыми числами

Рассмотрим целые числа Z как модуль над собой. Z — это свободный Z-модуль с базисом {1}. Любое целое число n может быть выражено как:

n = n · 1

Здесь эндоморфизм кольцевого модуля изоморфен кольцу самому себе.

Визуальное представление свободных модулей

Вектор базиса E1 Вектор базиса e 2

Диаграмма выше представляет свободный модуль над системой в 2-компонентах, где красные точки указывают на векторы базиса, охватывающего модульное пространство.

Свойства свободных модулей

Свободные модули имеют несколько интересных свойств:

  • Существование базиса: каждый свободный модуль имеет базис, и этот базис важен для уникального выражения любого элемента модуля.
  • Уникальность представления: каждый элемент свободного модуля может быть уникально представлен как сумма элементов из его базиса.
  • Гомеоморфизм: любой гомеоморфизм от свободного модуля к любому модулю определяется только тем, что происходит в базисе.

Пример гомеоморфизма

Рассмотрим свободный модуль F с базисом {e 1, e 2}. Любой гомоморфизм φ от F к другому модулю M может быть уникально определен, задавая φ(e 1) и φ(e 2).

Свободные и несвободные модули

Не все модули свободны. Чтобы понять это, рассмотрим модуль над кольцом при определенных условиях. Модуль над кольцом может не иметь базиса, что делает его независимым.

Пример несвободного модуля

Рассмотрим Z-модуль (модуль над целыми числами) Z/2Z. Этот модуль не свободен, потому что у него не может быть базиса, который охватывает весь набор с уникальным представлением.

Хотя свободные модули выглядят простыми, вектороподобными структурами, работа с несвободными модулями требует учета элементов кручения и других сложностей.

Создание свободного модуля

Свободные модули можно конструировать различными способами в зависимости от начальной точки, часто начиная с множества и кольца.

Метод: свободные модули, порожденные множеством

Пусть S — множество, а R — кольцо. Свободный R-модуль, порожденный S, состоит из формальных выражений вида:

f = Σ r i s i, где r i ∈ R, s i ∈ S и почти все r i равны нулю.

Сбор этих выражений формирует свободный модуль над S как базисом.

Применения свободных модулей

Свободные модули важны в нескольких областях математики:

  • Алгебраическая геометрия: свободные модули возможно помогают в понимании пучков модулей над сложными кольцами.
  • Гомологическая теория: цепные комплексы в гомологии часто строятся с использованием свободных модулей.
  • Вычислительная теория групп: анализ перестановочных групп часто включает изучение свободных модулей над элементами группы.

Заключение

Свободные модули предоставляют простой, но глубокий способ расширения линейной алгебры за пределы полей, включая более общие алгебраические структуры и более явные инструменты для математического исследования. При определении аспектов базиса и представления модулей над кольцами свободные модули являются важным понятием как в теоретическом, так и в практическом контексте, проливая свет на различные свойства, связанные с теорией модулей.


Докторантура → 1.4.2


U
username
0%
завершено в Докторантура

← предыдущая (1.4.1)
Модули над кольцами
следующая (1.4.3) →
Гомоморфизм модуля

комментарии 



Свободные модули

https://www.buddymath.com/phd/1.4.2?bmal=ru