自由加群

代数学において、加群はベクトル空間の概念を一般化した数学的構造です。環上の加群は、線形代数を体の上のより広い枠組みに拡張することを可能にします。自由加群は加群論において重要な概念です。これは自由ベクトル空間と同様に基底を持ち、環上の加群の多くの構造的性質を理解することを可能にします。

加群の理解

自由加群に入る前に、まず加群とは何かを理解しましょう。加群はベクトル空間のアイデアを一般化したものです。ただし、ベクトル空間ではスカラーは体から得られますが、加群ではスカラーは環から得られます。この違いにより、加群は広範囲の応用に使用されます。

定義: 環 R 上の加群 M はアーベル群で、演算 · : R x M → M を持ち、m, n ∈ M 、a, b ∈ R のすべてに対して: 1. a · (m + n) = (a · m) + (a · n) 2. (a + b) · m = (a · m) + (b · m) 3. (a · b) · m = a · (b · m) 4. 1_R · m = m が成り立つ。

自由加群

自由加群は自由でかつ全体を張る集合を持つベクトル空間に似ています。この集合は基底と呼ばれ、自由加群の各要素は基底からの要素の有限線形結合として一意的に表現されます。これが具体的に何を意味するのか見てみましょう。

定義: 加群 F は、ある集合 { e i } が存在し、おのおののインデックスセット I の中にある i について、F の任意の要素 f が一意に次のように書ける場合、自由であると言います: f = Σ a i e i、ここで a i は環 R の要素であり、ほとんどすべての a i がゼロです（すなわち、I の有限個の i に対して a i はゼロでない）。

自由加群の例

この概念を強化するためにいくつかの例を考えてみましょう。

例 1: R 上の加群としての空間 ^Rn

よく知られた R n を取り上げましょう。これはベクトル空間であることと同様に、環 R（実数）の上の自由加群です。標準基底は {e ₁, e ₂, ..., _en} です。ここで、:

e 1 = (1, 0, 0, ..., 0), e 2 = (0, 1, 0, ..., 0), ... e n = (0, 0, 0, ..., 1)

R ⁿ の任意の要素 v = (v ₁, v ₂, ..., v _n) は次のように書けます:

v = v 1 e 1 + v 2 e 2 + ... + v n e n

例 2: 整数上の自由加群

整数 Z をそれ自体の上の加群と考えてみてください。Z は基底 {1} 上の自由 Z-加群です。任意の整数 n は次のように表現できます:

n = n · 1

ここで、自由加群の自己準同型環は環自体と同型です。

自由加群の視覚的表現

_E1 基底ベクトル e ₂

上図は2成分系上の自由加群を示しています。赤い点は基底ベクトルを示し、加群空間を張っています。

自由加群の性質

自由加群にはいくつかの興味深い性質があります:

• 基底の存在: 全ての自由加群には基底があり、この基底は任意の加群要素を一意に表現するために重要です。
• 表現の一意性: 自由加群の各要素はその基底の要素の和として一意に表現できます。
• 同相: 任意の自由加群から任意の加群への同型写像は基底で何が起こるかによってのみ決まります。

同相の例

基底 {e ₁, e ₂} を持つ自由加群 F を考えてみましょう。F から他の加群 M への任意の準同型 φ は φ(e ₁) と φ(e ₂) を指定することで一意に決定されます。

自由加群と非自由加群

すべての加群が自由であるわけではありません。これを理解するために、一定の条件下で環上の加群を考えてみましょう。ある環上の加群は基底を持たないかもしれません。それは非独立であると言えます。

非自由加群の例

整数 Z 上の Z-加群 (Z/2Z) を考えてみましょう。この加群は、全体を一意的に表現できる基底がないため、自由ではありません。

自由加群は単純でベクトルに似た構造のように見えますが、非自由加群ではトーション要素やその他の複雑さが関わってきます。

自由加群の生成

自由加群は、しばしばセットと環を出発点として、さまざまな方法で構築することができます。

方法: ある集合により生成される自由加群

S をある集合とし、R を環とします。S により生成される自由 R-加群は次の形の形式的な表現から成ります:

f = Σ r i s i（ここで r i ∈ R, s i ∈ S, ほとんど全ての r i がゼロです）。

これらの表現の集合は、基底としての S に対して自由加群を形成します。

自由加群の応用

自由加群は多くの数学的分野で重要です:

• 代数幾何学: 自由加群は複素環上の加群の層の理解に役立つかもしれません。
• ホモロジー理論: ホモロジーにおける鎖複体は、しばしば自由加群を使って構築されます。
• 計算群論: 順列群の分析には、しばしば群の要素を使った自由加群の研究が含まれます。

結論

自由加群は、線形代数を体を超えて拡張するための簡明でありながら深い方法を提供し、より一般的な代数構造や数学的探求のためのより具体的なツールを含んでいます。環上の加群の基底と表現の側面を定義する際に、自由加群は理論的にも実用的な文脈において重要な概念を形成し、加群論に関連する様々な性質に光を当てます。

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