Doctorado
  1. Comprendiendo el Álgebra  1.1. Teoría de grupos  1.1.1. Propiedades básicas de los grupos  1.1.2. Subgrupos  1.1.3. Cosets y el teorema de Lagrange  1.1.4. Subgrupos normales  1.1.5. Grupo cociente  1.1.6. Homomorfismos de grupos  1.1.7. Teorema de Sylow  1.1.8. Introducción a los grupos libres  1.1.9. ¿Qué son las actividades grupales?  1.1.10. Grupos simples y resolubles  1.2. Teoría de anillos  1.2.1. Anillos e ideales  1.2.2. Introducción a los homomorfismos de anillos  1.2.3. Anillos polinomiales  1.2.4. Dominios Ideales Principales  1.2.5. Dominios de factorización única  1.2.6. Anillos noetherianos  1.2.7. Anillos de Artiniano  1.3. Teoría de campos  1.3.1. Extensiones de campos  1.3.2. División de áreas  1.3.3. Teoría de Galois  1.3.4. Cierre algebraico en teoría de campos  1.3.5. Campos finitos  1.3.6. Extensión trascendental  1.4. Teoría de módulos  1.4.1. Módulos sobre anillos  1.4.2. Módulos libres  1.4.3. Morfismo de módulos  1.4.4. Módulos simples y semisimples  1.4.5. Módulos proyectivos  1.4.6. Módulos inyectivos  1.5. Álgebra lineal  1.5.1. Espacio vectorial  1.5.2. Transformaciones lineales  1.5.3. Comprendiendo Valores Propios y Vectores Propios  1.5.4. Forma canónica  1.5.5. Espacio de producto interior  1.5.6. Teorema Espectral  1.5.7. Descomposición en valores singulares
  2. Entendiendo el Análisis Matemático  2.1. Análisis real  2.1.1. Números reales y completitud  2.1.2. Introducción a las secuencias y series  2.1.3. Continuidad en el análisis real  2.1.4. Diferenciación en el análisis real  2.1.5. Integración de Riemann  2.1.6. Introducción a los espacios métricos  2.1.7. Medida de Lebesgue  2.2. Análisis complejo  2.2.1. Números complejos  2.2.2. Funciones analíticas  2.2.3. Integración de contornos  2.2.4. Teorema de Cauchy  2.2.5. Teorema del residuo  2.2.6. Mapeo conforme  2.3. Análisis funcional  2.3.1. Comprender ubicaciones estándar  2.3.2. Introducción a los espacios de Banach  2.3.3. Espacios de Hilbert  2.3.4. Operadores lineales  2.3.5. Teoría espectral  2.3.6. Operadores compactos  2.4. Teoría de la medida  2.4.1. Álgebra sigma  2.4.2. Medidas e integrales en la teoría de la medida  2.4.3. Integración de Lebesgue  2.4.4. Teorema de convergencia  2.4.5. Teorema de Fubini  2.5. Análisis Armónico  2.5.1. Serie de Fourier  2.5.2. Transformada de Fourier  2.5.3. Teoría de la distribución  2.5.4. Wavelets
  3. Topología  3.1. Topología general  3.1.1. Conjuntos abiertos y cerrados  3.1.2. Continuidad  3.1.3. Introducción a la compacidad  3.1.4. Conectividad en topología general  3.1.5. Topología métrica  3.2. Topología algebraica  3.2.1. Grupo fundamental  3.2.2. Teoría de la homotopía  3.2.3. Teoría de la homología  3.2.4. Cohomología  3.2.5. Secuencia exacta  3.3. Topología diferencial  3.3.1. Variedades suaves  3.3.2. Espacio tangente  3.3.3. Campos vectoriales  3.3.4. Comprensión de las Formas Diferenciales
  4. Geometría  4.1. Geometría diferencial  4.1.1. Curvas y superficies en geometría diferencial  4.1.2. Geometría Riemanniana  4.1.3. Comprendiendo las geodésicas en la geometría diferencial  4.1.4. Curvatura  4.2. Geometría algebraica  4.2.1. Variedades afines y proyectivas  4.2.2. Planes  4.2.3. Separadores e intersecciones  4.2.4. Cohomología en geometría algebraica  4.3. Geometría Computacional  4.3.1. Introducción a las cubiertas convexas en geometría computacional  4.3.2. Triangulación  4.3.3. Diagrama de Voronoi  4.3.4. Algoritmos Geométricos
  5. Teoría de números  5.1. Teoría de números elemental  5.1.1. Divisibilidad en la teoría de números elemental  5.1.2. Congruencia en teoría de números elemental  5.1.3. Aritmética modular  5.2. Teoría analítica de números  5.2.1. Teorema de los números primos  5.2.2. Series de Dirichlet  5.2.3. Zeta y funciones L  5.3. Teoría de números algebraicos  5.3.1. Campos numéricos  5.3.2. Introducción a ideales en teoría de números algebraicos  5.3.3. Grupos de clases en teoría de números algebraicos  5.3.4. Representación de Galois
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  7. Argumentos y fundamentos  7.1. Teoría de conjuntos  7.1.1. Axiomas de Zermelo-Fraenkel  7.1.2. Ordinales y cardinales  7.2. Introducción a la teoría de modelos  7.2.1. Estructuras y teorías en la teoría de modelos  7.2.2. Teorema de compacidad  7.3. Teoría de la demostración  7.3.1. Sistemas formales  7.3.2. Consistencia y completitud
  8. Probabilidad y Estadística  8.1. Teoría de la probabilidad  8.1.1. Variables aleatorias  8.1.2. Expectativa y variación  8.1.3. Teorema central del límite  8.2. Procesos estocásticos  8.2.1. Cadenas de Markov  8.2.2. Movimiento Browniano  8.3. Inferencia estadística  8.3.1. Pruebas de hipótesis  8.3.2. Análisis de regresión
  9. Matemáticas aplicadas  9.1. Análisis numérico en matemáticas aplicadas  9.1.1. Métodos iterativos  9.1.2. Interpolación  9.1.3. Análisis de errores  9.2. Ecuaciones diferenciales parciales  9.2.1. Ecuación elíptica  9.2.2. Ecuación parabólica  9.2.3. Ecuaciones hiperbólicas  9.3. Sistemas dinámicos  9.3.1. Teoría del caos  9.3.2. Análisis de estabilidad en sistemas dinámicos

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Módulos libres


En álgebra, los módulos son estructuras matemáticas que generalizan las nociones de espacios vectoriales. Un módulo sobre un anillo nos permite extender el álgebra lineal a un marco más amplio sobre los cuerpos. Los módulos libres son un concepto esencial en la teoría de módulos. Tienen una base, muy similar a los espacios vectoriales libres, y nos permiten comprender muchas propiedades estructurales de los módulos sobre anillos.

Entendiendo el módulo

Antes de profundizar en los módulos libres, primero entendamos qué son los módulos. Los módulos son una generalización de la idea de un espacio vectorial. Sin embargo, en un espacio vectorial, los escalares provienen de cuerpos, mientras que en un módulo, los escalares provienen de anillos. Esta diferencia permite que los módulos se utilicen en una amplia gama de aplicaciones.

Definición: Un módulo M sobre un anillo R es un grupo abeliano con una operación · : R x M → M tal que para todo m, n ∈ M, y a, b ∈ R: 1. a · (m + n) = (a · m) + (a · n) 2. (a + b) · m = (a · m) + (b · m) 3. (a · b) · m = a · (b · m) 4. 1_R · m = m

Módulos libres

Un módulo libre es similar a un espacio vectorial que tiene un conjunto libre y generador. Llamamos a este conjunto una base, y cada elemento en un módulo libre puede ser expresado de manera única como una combinación lineal finita de elementos de la base. Veamos lo que esto significa en detalle.

Definición: Un módulo F se dice que es libre si existe un conjunto { e i } para i en algún conjunto índice I tal que cada elemento f en F puede escribirse de manera única como: f = Σ a i e i donde a i son elementos del anillo R, y casi todos los a i son cero (es decir, para infinitamente muchos i en I, a i es no cero).

Ejemplos de módulos libres

Consideremos algunos ejemplos para reforzar este concepto.

Ejemplo 1: El espacio Rn como un módulo sobre R

Tomemos el conocido R n, que es un módulo libre sobre el anillo R (los números reales), que es lo mismo que ser un espacio vectorial. La base estándar es {e 1, e 2, ..., en}, donde:

e 1 = (1, 0, 0, ..., 0), e 2 = (0, 1, 0, ..., 0), ... e n = (0, 0, 0, ..., 1)

Cualquier elemento v = (v 1, v 2, ..., v n) en R n puede escribirse como:

v = v 1 e 1 + v 2 e 2 + ... + v n e n

Ejemplo 2: Módulos libres sobre los enteros

Consideremos los enteros Z como un módulo sobre ellos mismos. Z es un módulo Z-libre sobre la base {1}. Cualquier entero n puede expresarse como:

n = n · 1

Aquí, el anillo de endomorfismos del módulo libre es isomorfo al anillo mismo.

Representación visual de módulos libres

Vector base E1 Vector base e 2

El diagrama anterior representa un módulo libre sobre un sistema de 2 componentes, con los puntos rojos indicando los vectores base, siendo así el espacio del módulo abarcado.

Propiedades de los módulos libres

Los módulos libres tienen varias propiedades interesantes:

  • Existencia de una base: cada módulo libre tiene una base, y esta base es importante para expresar de manera única cualquier elemento del módulo.
  • Unicidad de representación: cada elemento de un módulo libre puede ser representado de forma única como una suma de elementos de su base.
  • Homeomorfismo: Cualquier homeomorfismo de un módulo libre a cualquier módulo está determinado solo por lo que sucede en la base.

Ejemplo de homeomorfismo

Consideremos un módulo libre F con base {e 1, e 2}. Cualquier homomorfismo φ de F a otro módulo M puede ser determinado de manera única al especificar φ(e 1) y φ(e 2).

Módulos libres vs. no libres

No todos los módulos son libres. Para entender esto, consideremos un módulo sobre un anillo bajo ciertas condiciones. Un módulo sobre un anillo puede no tener una base, lo que lo hace no independiente.

Ejemplo de un módulo no libre

Consideremos el módulo Z sobre Z (módulo sobre los enteros) Z/2Z. Este módulo no es libre porque no puede tener una base que abarque todo el conjunto con una representación única.

Mientras que los módulos libres se parecen a estructuras simples, tipo vectorial, los módulos no libres requieren lidiar con elementos de torsión y otras complicaciones.

Creación de módulos libres

Los módulos libres pueden ser construidos de diversas maneras dependiendo del punto de partida, comenzando a menudo con un conjunto y un anillo.

Método: módulos libres generados por un conjunto

Sea S un conjunto y R un anillo. El módulo libre R generado por S se compone de expresiones formales de la forma:

f = Σ r i s i donde r i ∈ R, s i ∈ S, y casi todos los r i son cero.

La colección de estas expresiones forma un módulo libre sobre S como base.

Aplicaciones de los módulos libres

Los módulos libres son importantes en varias áreas matemáticas:

  • Geometría algebraica: los módulos libres posiblemente ayudan a entender haces de módulos sobre anillos complejos.
  • Teoría de homología: los complejos de cadenas en homología a menudo se construyen usando módulos libres.
  • Teoría computacional de grupos: el análisis de grupos de permutaciones a menudo implica el estudio de módulos libres sobre los elementos del grupo.

Conclusión

Los módulos libres proporcionan una manera directa pero profunda para extender el álgebra lineal más allá de los cuerpos, incluyendo estructuras algebraicas más generales y herramientas más explícitas para la exploración matemática. Al definir los aspectos de base y representación de los módulos sobre anillos, los módulos libres son un concepto esencial en contextos tanto teóricos como prácticos, arrojando luz sobre varias propiedades asociadas con la teoría de módulos.


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