環上の加群

代数の分野では、加群理論はスカラーの体をより一般的な環に置き換えることで、ベクトル空間の親しみやすい概念を拡張します。この一般化により、多くの代数的現象を捉える構造と特性の世界が明らかになります。

はじめに

環上の加群は抽象代数学において重要な概念です。ベクトル空間が体上に構築される一方で、加群は環上に構築されます。この単純な違いにより、数学における巨大な可能性と応用が開かれます。加群は、代数だけでなく位相、幾何学、および他の数学的領域において中心となる構造を理解するためのフレームワークを提供します。

定義と基本

加群に入る前に、環が何であるかを理解する必要があります。環は通常加算と乗算の2つの演算を備えた集合であり、その集合は加算の下で可換群であり、乗算の下で結合的です。さらに、乗算は加算に対して分配的です。

加群 は、ベクトル空間の概念の一般化です。具体的には、環 ( R ) 上の加群とは、加法的可換群 ( M ) に対し、各要素 ( r in R ) と ( m in M ) に要素 ( rm in M ) を関連付ける操作を備えているものであり、ベクトル空間におけるスカラー倍と類似の性質を満たします。

正式な定義

もし ( R ) が環であるならば、R-加群 は、アーベル群 ( (M, +, 0) ) と、一つの操作 ( R times M to M )（スカラー倍と呼ばれる）が備わっており、すべての ( r, s in R ) と ( m, n in M ) に対して次のように示されます:

1. ( r cdot (m + n) = r cdot m + r cdot n ) （加群加算に対して分配的） 2. ( (r + s) cdot m = r cdot m + s cdot m ) （環加算に対して分配的） 3. ( (rs) cdot m = r cdot (s cdot m) ) （結合的） 4. ( 1_R cdot m = m ) 環が乗法単位元1を持つ場合。

加群の簡単な例

例1：ベクトル空間

加群の最も親しみやすい例は体 ( F ) におけるベクトル空間です。この場合、もし環 ( R ) が体 ( F ) であるならば、加群は正しく ( F ) 上のベクトル空間になります。

例2：( mathbb{Z} )-加群

任意の可換群は、整数環 ( mathbb{Z} ) 上の加群として見ることができます。作用は ( n cdot a = a + a + cdots + a )（n回）として定義され、ここで ( n in mathbb{Z} ) 、( a in M ) です。

例3：行列

係数が環 ( R ) にある ( n times n ) 行列の環を考えてみましょう。 R-加群を備えたサイズ ( n ) のすべての ( n times 1 ) の列ベクトルの集合は ( R )-加群を形成します。行列の乗算はこの加群におけるスカラー倍のように作用します。

加群の視覚化

視覚的に加群を概念化するには、これらのオブジェクト群を考えてみましょう（ベクトルのようなもので、加群同士の加算や外部セットの要素（環から）の乗算を行うことができます）。加群における演算の次の表現を考えてみましょう。

この単純なイラストでは、加群 ( M ) の要素が色付きの点で表現され、その和は加群内の別の要素になります。スカラー倍は要素の位置を変えることで（または拡大させることによって）同様に表現することができます。

部分加群と商加群

ベクトル空間の部分空間と同様に、加群にも部分加群があります。ある群 ( N subseteq M ) が、加算とスカラー乗算の下で閉じている場合、その群は部分加群です。商加群は特定の部分加群を通じて「圧縮」または因数分解する方法を提供し、新しい加群構造を生み出します。

部分加群の例

( M = mathbb{Z} ) を ( mathbb{Z} )-加群として取り上げましょう。任意の ( nmathbb{Z} ) は、整数による加算と乗算の下で閉じているため、部分加群を形成します。

加群 ( mathbb{Z}_n = mathbb{Z}/nmathbb{Z} ) は、部分加群 ( nmathbb{Z} ) によって ( mathbb{Z} ) から構築された商加群です。これは普通の算術における ( n ) を法とした演算に対応します。

加群の同型

2つの ( R )-加群 ( M ) と ( N ) の間の同型は、加群の操作を尊重する関数 ( f: M to N ) です:

1. 加法性: ( f(m + n) = f(m) + f(n) ) すべての ( m, n in M ) に対して 2. スカラー乗算: ( f(r cdot m) = r cdot f(m) ) すべての ( r in R ) および ( m in M ) に対して。

これらの同型写像は、ベクトル空間理論における線形変換と同様の役割を果たします。加群間の「代数的マップ」として作用し、加群構造を保存します。

同型の例

( mathbb{Z} )-加群の ( mathbb{Z} ) と ( mathbb{Z}_n ) を考えてみましょう。写像 ( f: mathbb{Z} to mathbb{Z}_n ) を ( f(a) = a mod n ) と定義し、これは加群の同型写像です。

加群の直和

2つの部分加群 ( N_1 ) および ( N_2 ) を持つ加群 ( M ) を考え、すべての要素 ( m in M ) が一意に ( m = n_1 + n_2 ) （ ( n_1 in N_1 ) および ( n_2 in N_2 ) ）の形で表現できるとします。この場合、加群 ( M ) は ( N_1 ) と ( N_2 ) の直和であるとし、 ( M = N_1 oplus N_2 ) と表記します。

たとえば、 ( mathbb{Z}_6 ) を考えてみましょう。 ( mathbb{Z} )-加群として、さまざまな約数に対するその部分加群の直和に分解することができます。

加群理論における課題

環上の加群の複雑さの一つは、体上のベクトル空間とは異なり、ベクトル空間に親しみやすい多くの特性が成り立たないことです。たとえば、すべての加群が自由である（基底を持つ）わけではなく、多くの環は「最も単純な」部分への自明なまたは一意な因数分解を持たないことです。

非可換環上の加群はさらに複雑性を増し、左加群と右加群の振る舞いは環の構造により大きく異なることがあります。

加群理論の応用

加群は、アーベル群の研究（( mathbb{Z} )-加群として見られる）から、環上の線形方程式系の解に至るまで、さまざまな数学的文脈で登場します。また、代数幾何学や位相学の研究において、幾何学的な対象の関数の環を通じて基礎的な役割を果たします。

たとえば、代数幾何学において、さまざまなタイプのコヒーレント層は、層の断面の環上の加群に対応します。これにより、加群の代数的特性が基礎空間の幾何学的特性に結びつきます。

結論

環上の加群は、ベクトル空間の親しみやすい境界をはるかに超えた豊かな代数構造を具現化しています。彼らは追加の複雑さと課題をもたらす可能性がありますが、加群理論の一般性は代数系のより深い探求と理解を可能にします。加群は、さまざまな数学の分野を結びつけ、代数の応用範囲を拡大するうえで不可欠です。

コメント