Doctorado
  1. Comprendiendo el Álgebra  1.1. Teoría de grupos  1.1.1. Propiedades básicas de los grupos  1.1.2. Subgrupos  1.1.3. Cosets y el teorema de Lagrange  1.1.4. Subgrupos normales  1.1.5. Grupo cociente  1.1.6. Homomorfismos de grupos  1.1.7. Teorema de Sylow  1.1.8. Introducción a los grupos libres  1.1.9. ¿Qué son las actividades grupales?  1.1.10. Grupos simples y resolubles  1.2. Teoría de anillos  1.2.1. Anillos e ideales  1.2.2. Introducción a los homomorfismos de anillos  1.2.3. Anillos polinomiales  1.2.4. Dominios Ideales Principales  1.2.5. Dominios de factorización única  1.2.6. Anillos noetherianos  1.2.7. Anillos de Artiniano  1.3. Teoría de campos  1.3.1. Extensiones de campos  1.3.2. División de áreas  1.3.3. Teoría de Galois  1.3.4. Cierre algebraico en teoría de campos  1.3.5. Campos finitos  1.3.6. Extensión trascendental  1.4. Teoría de módulos  1.4.1. Módulos sobre anillos  1.4.2. Módulos libres  1.4.3. Morfismo de módulos  1.4.4. Módulos simples y semisimples  1.4.5. Módulos proyectivos  1.4.6. Módulos inyectivos  1.5. Álgebra lineal  1.5.1. Espacio vectorial  1.5.2. Transformaciones lineales  1.5.3. Comprendiendo Valores Propios y Vectores Propios  1.5.4. Forma canónica  1.5.5. Espacio de producto interior  1.5.6. Teorema Espectral  1.5.7. Descomposición en valores singulares
  2. Entendiendo el Análisis Matemático  2.1. Análisis real  2.1.1. Números reales y completitud  2.1.2. Introducción a las secuencias y series  2.1.3. Continuidad en el análisis real  2.1.4. Diferenciación en el análisis real  2.1.5. Integración de Riemann  2.1.6. Introducción a los espacios métricos  2.1.7. Medida de Lebesgue  2.2. Análisis complejo  2.2.1. Números complejos  2.2.2. Funciones analíticas  2.2.3. Integración de contornos  2.2.4. Teorema de Cauchy  2.2.5. Teorema del residuo  2.2.6. Mapeo conforme  2.3. Análisis funcional  2.3.1. Comprender ubicaciones estándar  2.3.2. Introducción a los espacios de Banach  2.3.3. Espacios de Hilbert  2.3.4. Operadores lineales  2.3.5. Teoría espectral  2.3.6. Operadores compactos  2.4. Teoría de la medida  2.4.1. Álgebra sigma  2.4.2. Medidas e integrales en la teoría de la medida  2.4.3. Integración de Lebesgue  2.4.4. Teorema de convergencia  2.4.5. Teorema de Fubini  2.5. Análisis Armónico  2.5.1. Serie de Fourier  2.5.2. Transformada de Fourier  2.5.3. Teoría de la distribución  2.5.4. Wavelets
  3. Topología  3.1. Topología general  3.1.1. Conjuntos abiertos y cerrados  3.1.2. Continuidad  3.1.3. Introducción a la compacidad  3.1.4. Conectividad en topología general  3.1.5. Topología métrica  3.2. Topología algebraica  3.2.1. Grupo fundamental  3.2.2. Teoría de la homotopía  3.2.3. Teoría de la homología  3.2.4. Cohomología  3.2.5. Secuencia exacta  3.3. Topología diferencial  3.3.1. Variedades suaves  3.3.2. Espacio tangente  3.3.3. Campos vectoriales  3.3.4. Comprensión de las Formas Diferenciales
  4. Geometría  4.1. Geometría diferencial  4.1.1. Curvas y superficies en geometría diferencial  4.1.2. Geometría Riemanniana  4.1.3. Comprendiendo las geodésicas en la geometría diferencial  4.1.4. Curvatura  4.2. Geometría algebraica  4.2.1. Variedades afines y proyectivas  4.2.2. Planes  4.2.3. Separadores e intersecciones  4.2.4. Cohomología en geometría algebraica  4.3. Geometría Computacional  4.3.1. Introducción a las cubiertas convexas en geometría computacional  4.3.2. Triangulación  4.3.3. Diagrama de Voronoi  4.3.4. Algoritmos Geométricos
  5. Teoría de números  5.1. Teoría de números elemental  5.1.1. Divisibilidad en la teoría de números elemental  5.1.2. Congruencia en teoría de números elemental  5.1.3. Aritmética modular  5.2. Teoría analítica de números  5.2.1. Teorema de los números primos  5.2.2. Series de Dirichlet  5.2.3. Zeta y funciones L  5.3. Teoría de números algebraicos  5.3.1. Campos numéricos  5.3.2. Introducción a ideales en teoría de números algebraicos  5.3.3. Grupos de clases en teoría de números algebraicos  5.3.4. Representación de Galois
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Módulos sobre anillos


En el campo del álgebra, la teoría de módulos extiende el concepto familiar de un espacio vectorial al reemplazar el campo de escalares con un anillo más general. Esta generalización revela un mundo de estructuras y propiedades que capturan muchos fenómenos algebraicos.

Introducción

Los módulos sobre anillos son un concepto importante en álgebra abstracta. Mientras que los espacios vectoriales se construyen sobre campos, los módulos se construyen sobre anillos. Esta simple diferencia abre vastas posibilidades y aplicaciones en matemáticas. Un módulo proporciona un marco para entender estructuras que son centrales no solo en álgebra, sino también en topología, geometría y otros dominios matemáticos.

Definiciones y conceptos básicos

Antes de profundizar en los módulos, necesitamos entender qué son los anillos. Un anillo es un conjunto equipado con dos operaciones, típicamente adición y multiplicación, donde el conjunto es un grupo abeliano bajo adición y es asociativo bajo multiplicación. Además, la multiplicación es distributiva sobre la adición.

Un módulo sobre un anillo es una generalización del concepto de un espacio vectorial. Específicamente, un módulo sobre un anillo ( R ) es un grupo abeliano aditivo ( M ) equipado con una operación que asocia a cada elemento ( r in R ) y ( m in M ) un elemento ( rm in M ), satisfaciendo algunas propiedades similares a la multiplicación escalar en espacios vectoriales.

Definición formal

Si ( R ) es un anillo, entonces un R-módulo es un grupo abeliano ( (M, +, 0) ) junto con una operación ( R times M to M ) (llamada multiplicación escalar) denotada ( (r, m) mapsto rm ) tal que para todo ( r, s in R ) y ( m, n in M ):

1. ( r cdot (m + n) = r cdot m + r cdot n ) (distributiva sobre la adición del módulo) 2. ( (r + s) cdot m = r cdot m + s cdot m ) (distributiva sobre la adición del anillo) 3. ( (rs) cdot m = r cdot (s cdot m) ) (asociatividad) 4. ( 1_R cdot m = m ) si el anillo tiene una identidad multiplicativa 1.

Ejemplos simples de módulos

Ejemplo 1: Espacio vectorial

El ejemplo más familiar de un módulo es un espacio vectorial sobre un campo ( F ). En este caso, si el anillo ( R ) es un campo ( F ), entonces los módulos son propiamente espacios vectoriales sobre ( F ).

Ejemplo 2: ( mathbb{Z} )-módulo

Cualquier grupo abeliano puede ser visto como un módulo sobre el anillo de enteros ( mathbb{Z} ). La acción se define por ( n cdot a = a + a + cdots + a ) (n veces) para ( n in mathbb{Z} ) y ( a in M ).

Ejemplo 3: Matrices

Considere un anillo de matrices ( n times n ) con coeficientes en un anillo ( R ). El conjunto de todos los vectores columna ( n times 1 ) de tamaño ( n ) con coeficientes en un módulo ( R ) forma un módulo ( R ). La multiplicación de matrices actúa como la multiplicación escalar en este módulo.

Visualizando el módulo

Para conceptualizar módulos visualmente, piense en un conjunto de objetos (como vectores) sobre los cuales puede realizar operaciones como la adición entre estos objetos y la multiplicación por un conjunto externo de elementos (del anillo). Considere las siguientes representaciones de operaciones en módulos.

M = , ,

En esta sencilla ilustración, los elementos del módulo ( M ) se representan como puntos de colores, y su suma resulta en otro elemento del módulo. La multiplicación escalar se puede representar de manera similar cambiando las posiciones de los elementos (o escalando).

Submódulos y módulos cociente

Similar a los subespacios en un espacio vectorial, los módulos pueden tener submódulos. Un subgrupo ( N subseteq M ) es un submódulo si está cerrado bajo la adición y la multiplicación escalar. Los módulos cociente proporcionan una forma de 'compactar' o factorizar a través de ciertos submódulos, dando lugar a nuevas estructuras de módulo.

Ejemplo de submódulos

Tome ( M = mathbb{Z} ) como un ( mathbb{Z} )-módulo. Cualquier ( nmathbb{Z} ), donde ( n ) es un entero, forma un submódulo ya que está cerrado bajo la adición y multiplicación por enteros.

El módulo ( mathbb{Z}_n = mathbb{Z}/nmathbb{Z} ) es el módulo cociente construido a partir de ( mathbb{Z} ) por el submódulo ( nmathbb{Z} ). Corresponde a la aritmética ordinaria módulo ( n ).

Homeomorfismo de módulos

Un homomorfismo entre dos ( R )-módulos ( M ) y ( N ) es una función ( f: M to N ) que respeta la operación de los módulos:

1. Aditividad: ( f(m + n) = f(m) + f(n) ) para todo ( m, n in M ) 2. Multiplicación escalar: ( f(r cdot m) = r cdot f(m) ) para todo ( r in R ) y ( m in M ).

Estos homeomorfismos desempeñan un papel similar a las transformaciones lineales en la teoría de espacios vectoriales. Actúan como 'mapas algebraicos' entre módulos mientras preservan la estructura del módulo.

Ejemplo de homeomorfismo

Considere los ( mathbb{Z} )-módulos ( mathbb{Z} ) y ( mathbb{Z}_n ). El mapa ( f: mathbb{Z} to mathbb{Z}_n ) definido por ( f(a) = a mod n ) es un homomorfismo de módulo.

Suma directa de módulos

Dado un módulo ( M ) con dos submódulos ( N_1 ) y ( N_2 ) tal que cada elemento ( m in M ) puede ser escrito de manera única como ( m = n_1 + n_2 ) para ( n_1 in N_1 ) y ( n_2 in N_2 ), el módulo ( M ) es la suma directa de ( N_1 ) y ( N_2 ) que se denota como ( M = N_1 oplus N_2 ).

Por ejemplo, considere ( mathbb{Z}_6 ). Como un ( mathbb{Z} )-módulo, puede ser descompuesto en una suma directa de sus submódulos para varios divisores.

Desafíos en teoría de módulos

Una de las complicaciones de los módulos sobre anillos, a diferencia de los espacios vectoriales sobre campos, es que muchas de las propiedades familiares de los espacios vectoriales no se mantienen. Por ejemplo, no todos los módulos son libres (tienen una base), y muchos anillos no tienen una factorización trivial o única en partes 'más simples'.

Los módulos sobre anillos no conmutativos introducen complicaciones adicionales, ya que los módulos izquierdos y derechos pueden comportarse de manera muy diferente dependiendo de la estructura de los anillos.

Aplicaciones de la teoría de módulos

Los módulos aparecen en una variedad de contextos matemáticos, desde el estudio de grupos abelianos (vistos como ( mathbb{Z} )-módulos) hasta la solución de sistemas de ecuaciones lineales sobre anillos. También desempeñan un papel fundamental en el estudio de la geometría algebraica y la topología, a través de anillos de funciones en objetos geométricos.

Por ejemplo, en geometría algebraica, los haces coherentes de varios tipos corresponden a módulos sobre el anillo de secciones del haz. Esto conecta propiedades algebraicas de los módulos con propiedades geométricas del espacio subyacente.

Conclusión

Los módulos sobre anillos encarnan una rica estructura algebraica que se extiende mucho más allá de los límites familiares de los espacios vectoriales. Aunque pueden introducir complejidades y desafíos adicionales, la generalidad de la teoría de módulos permite una exploración y comprensión más profunda de los sistemas algebraicos. Los módulos son indispensables para conectar diferentes ramas de las matemáticas y expandir el rango de aplicación algebraica.


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