Теория полей

Теория полей - это раздел абстрактной алгебры, который исследует свойства и структуры полей. Поля являются алгебраическими структурами, характеризующимися двумя операциями: сложением и умножением. Важность теории полей в математике нельзя недооценивать, так как поля являются фундаментальными строительными блоками для множества математических концепций и задач. Понимание теории полей требует знакомства с некоторыми основными алгебраическими концепциями. Это обсуждение познакомит вас с основами теории полей, постепенно переходя к более сложным областям изучения, всё в простых терминах.

Основные определения и свойства

В основе теории полей лежит понимание того, что такое поле. Поле - это множество F, оснащенное двумя операциями: сложением (+) и умножением (*). Эти операции должны удовлетворять нескольким аксиомам, чтобы множество стало полем:

• Замкнутость: для всех a, b в F, как a + b, так и a * b находятся в F
• Ассоциативность: для всех a, b, c в F, (a + b) + c = a + (b + c) и (a * b) * c = a * (b * c).
• Коммутативность: для всех a, b в F, a + b = b + a и a * b = b * a.
• Распределительный закон: для всех a, b, c в F, a * (b + c) = a * b + a * c.
• Единичный элемент: существует аддитивный нуль 0 и мультипликативная единица 1 ≠ 0, такие что для любого a в F, a + 0 = a и a * 1 = a.
• Обратные элементы: для каждого a в F существует аддитивный обратный -a, а если a ≠ 0, то существует мультипликативный обратный a-1, такой что a + (-a) = 0 и a * a-1 = 1.

Некоторые распространенные примеры полей включают множество R действительных чисел, множество Q рациональных чисел и множество C комплексных чисел. Эти числовые множества удовлетворяют всем аксиомам поля.

Примеры полей

Рассмотрим некоторые известные числовые системы, которые являются поля:

Рациональные числа (Q)

Q = { a/b | a, b ∈ Z, b ≠ 0 }

Рациональные числа образуют домен при обычном сложении и умножении дробей. Например, вы можете легко убедиться, что:

• Вывод: Если a/b и c/d - рациональные числа, то их сумма и произведение также являются рациональными числами:

  (a/b + c/d) = (ad + bc) / bd

  (a/b * c/d) = (ac) / (bd)

• Элемент единицы: Аддитивный ноль равен 0 = 0/1, а мультипликативная единица равна 1 = 1/1.
• Обратный элемент: Аддитивный обратный для a/b равен -a/b, а мультипликативный обратный равен b/a, если a ≠ 0.

Действительные числа (R)

Множество действительных чисел также является полем. Простой пример этому может быть показан на числовой оси, которая простирается до бесконечности в обоих направлениях:

Каждая точка соответствует действительному числу. Те же свойства поля, что и для Q, применяются.

Конечные поля

Не все поля являются бесконечными. Конечное поле - это поле, которое имеет конечное число элементов. Конечные поля важны в таких областях, как теория кодирования и криптография. Самые простые примеры конечных полей - это поля Галуа, обозначаемые как GF(p), где p - простое число, и они содержат ровно p элементов. Элементы GF(p) обычно являются целыми числами 0, 1, ..., p-1. Сложение и умножение выполняются по модулю p.

Рассмотрим GF(3). Здесь элементы - {0, 1, 2} Давайте проверим некоторые свойства поля:

• Пример сложения (по модулю 3):

  1 + 2 ≡ 0 (mod 3)

• Пример умножения (по модулю 3):

  2 * 2 ≡ 1 (mod 3)

• Обратный элемент: Аддитивный обратный для 2 - это 1, потому что 2 + 1 ≡ 0 (mod 3) Мультипликативный обратный для 2 - это он сам, потому что 2 * 2 ≡ 1 (mod 3).

Расширения полей

Одним из фундаментальных понятий в теории полей является расширение поля. Расширение поля - это большее поле, содержащее меньшее поле. Расширение поля позволяет понять, как новые элементы могут систематически добавляться к данному полю.

Определение

Пусть K - это поле, и L - это поле, такое что K является подмножеством L Тогда L называется расширением поля K, обозначаемым L/K.

Конкретный пример - поле комплексных чисел C как расширение действительных чисел R Комплексные числа имеют вид a + bi, где a, b ∈ R, и i является мнимой единицей, удовлетворяющей условию i2 = -1.

Алгебраическое расширение

Элемент α в расширении поля L над K называется алгебраическим над K, если существует ненулевой многочлен f(x) ∈ K[x], такой что f(α) = 0 Если каждый элемент в L является алгебраическим над K, то L является алгебраическим расширением K

Рассмотрим Q(√2), чтобы быть наименьшим полем, содержащим Q и √2. Здесь √2 является алгебраическим над Q, так как это корень многочлена x2 - 2 = 0 над Q

Простые расширения

Расширение поля L/K называется простым, если существует элемент α ∈ L, такой что L = K(α) Теми же словами это означает, что можно создать L как наименьшее поле, содержащее K и элемент α.

В предыдущем примере Q(√2) это можно рассматривать как простое расширение Q с α = √2, получая Q(√2) = Q(α).

Теория Галуа

По мере дальнейшего изучения теории полей мы приходим к теории Галуа. Это мощный инструмент, который предоставляет связь между расширениями полей и теорией групп.

Группа Галуа

Для данного расширения поля L/K, группа Галуа расширения, обозначаемая как Gal(L/K), это группа всех автоморфизмов поля L, фиксирующих K Автоморфизм является биективным гомоморфизмом поля на себя.

Например, в расширении C/R комплексное спряжение, отображаемое как z → overline{z}, является автоморфизмом, который фиксирует R Следовательно, группа Галуа этого расширения имеет порядок 2, с элементами, представляющими собой единичное и комплексное сопряжение.

Визуализация теории Галуа

Фундаментальная теорема теории Галуа гласит, что существует взаимно-однозначное соответствие между подгруппами группы Галуа и промежуточными полями между K и L Это часто визуализируется в виде лестницы:

В этой диаграмме L - это все расширенное поле, K - это базовое поле, а M, N, P - это промежуточные поля, соответствующие подгруппам группы Галуа.

Заключение

Теория полей - это огромная тема, затрагивающая многие области математики. Примеры и концепции, затронутые здесь, должны предоставить основное понимание полей, расширений полей и взаимодействия между полями и группами в теории Галуа. Овладев этими концепциями, вы получаете прочную основу для более глубокого изучения продвинутых тем в алгебре, теории чисел и далее. Эта область математики интересна не только абстрактно, но и широко применима, от решения уравнений до обеспечения безопасности цифровых коммуникаций.

комментарии