Doutorado
  1. Compreendendo Álgebra  1.1. Teoria dos grupos  1.1.1. Propriedades básicas dos grupos  1.1.2. Subgrupos  1.1.3. Classes laterais e o teorema de Lagrange  1.1.4. Subgrupos normais  1.1.5. Grupo quociente  1.1.6. Homomorfismos de grupos  1.1.7. Teorema de Sylow  1.1.8. Introdução aos grupos livres  1.1.9. O que são atividades em grupo?  1.1.10. Grupos simples e solucionáveis  1.2. Teoria dos anéis  1.2.1. Anéis e ideais  1.2.2. Introdução aos homomorfismos de anéis  1.2.3. Aneis polinomiais  1.2.4. Domínios de ideais principais  1.2.5. Domínios de Fatoração Única  1.2.6. Anéis noetherianos  1.2.7. Anéis Artinianos  1.3. Teoria dos Campos  1.3.1. Extensões de corpos  1.3.2. Divisão de área  1.3.3. Teoria de Galois  1.3.4. Fechamento algébrico na teoria dos corpos  1.3.5. Campos finitos  1.3.6. Extensão transcendental  1.4. Teoria dos módulos  1.4.1. Módulos sobre anéis  1.4.2. Módulos livres  1.4.3. Homomorfismo de módulo  1.4.4. Módulos simples e semi-simples  1.4.5. Módulos projetivos  1.4.6. Módulos Injetivos  1.5. Álgebra linear  1.5.1. Espaço vetorial  1.5.2. Transformações lineares  1.5.3. Entendendo Autovalores e Autovetores  1.5.4. Forma canônica  1.5.5. Espaço de produto interno  1.5.6. Teorema Espectral  1.5.7. Decomposição em valores singulares
  2. Compreendendo a Análise Matemática  2.1. Análise real  2.1.1. Números reais e completude  2.1.2. Introdução a sequências e séries  2.1.3. Continuidade em análise real  2.1.4. Diferenciação em análise real  2.1.5. Integração de Riemann  2.1.6. Introdução aos espaços métricos  2.1.7. Medida de Lebesgue  2.2. Análise Complexa  2.2.1. Números complexos  2.2.2. Funções analíticas  2.2.3. Integração de contorno  2.2.4. Teorema de Cauchy  2.2.5. Teorema do Resíduo  2.2.6. Mapeamento conformal  2.3. Análise Funcional  2.3.1. Compreendendo locais padrão  2.3.2. Introdução aos espaços de Banach  2.3.3. Espaços de Hilbert  2.3.4. Operadores lineares  2.3.5. Teoria espectral  2.3.6. Operadores compactos  2.4. Teoria da Medida  2.4.1. Álgebra sigma  2.4.2. Medição e integrais na teoria da medida  2.4.3. Integração de Lebesgue  2.4.4. Teorema da Convergência  2.4.5. Teorema de Fubini  2.5. Análise Harmônica  2.5.1. Séries de Fourier  2.5.2. Transformada de Fourier  2.5.3. Teoria da distribuição  2.5.4. Wavelets
  3. Topologia  3.1. Topologia geral  3.1.1. Conjuntos abertos e fechados  3.1.2. Continuidade  3.1.3. Introdução à compacidade  3.1.4. Conectividade na topologia geral  3.1.5. Topologia métrica  3.2. Topologia algébrica  3.2.1. Grupo fundamental  3.2.2. Teoria da homotopia  3.2.3. Teoria da homologia  3.2.4. Cohomologia  3.2.5. Sequência exata  3.3. Topologia diferencial  3.3.1. Variedades suaves  3.3.2. Espaço tangente  3.3.3. Campos vetoriais  3.3.4. Compreendendo Formas Diferenciais
  4. Geometria  4.1. Geometria diferencial  4.1.1. Curvas e superfícies na geometria diferencial  4.1.2. Geometria Riemanniana  4.1.3. Compreendendo geodésicas na geometria diferencial  4.1.4. Curvatura  4.2. Geometria algébrica  4.2.1. Variedades afins e projetivas  4.2.2. Planos  4.2.3. Separadores e interseções  4.2.4. Cohomologia na geometria algébrica  4.3. Geometria Computacional  4.3.1. Introdução às coberturas convexas na geometria computacional  4.3.2. Triangulação  4.3.3. Diagrama de Voronoi  4.3.4. Algoritmos Geométricos
  5. Teoria dos números  5.1. Teoria dos números elementar  5.1.1. Divisibilidade na teoria elementar dos números  5.1.2. Congruência na teoria dos números elementar  5.1.3. Aritmética modular  5.2. Teoria analítica dos números  5.2.1. Teorema dos números primos  5.2.2. Séries de Dirichlet  5.2.3. Zeta e funções L  5.3. Teoria dos números algébricos  5.3.1. Campos numéricos  5.3.2. Introdução aos ideais na teoria algébrica dos números  5.3.3. Grupos de classes em teoria algébrica dos números  5.3.4. Representação de Galois
  6. Companhia  6.1. Combinatória computacional  6.1.1. Função Geradora  6.1.2. Relação de recorrência  6.1.3. Permanência e combinação  6.2. Teoria dos grafos  6.2.1. Isomorfismo de grafos  6.2.2. Planaridade em teoria dos grafos  6.2.3. Coloração de grafos  6.3. Combinatória extrema  6.3.1. Teoria de Ramsey  6.3.2. Métodos probabilísticos em combinatória extrema  6.4. Combinatória algébrica  6.4.1. Métodos de matrizes em combinatória algébrica  6.4.2. Teoria da Representação
  7. Argumentos e fundamentos  7.1. Teoria dos conjuntos  7.1.1. Axiomas de Zermelo-Fraenkel  7.1.2. Ordinais e cardinais  7.2. Introdução à teoria dos modelos  7.2.1. Estruturas e teorias na teoria dos modelos  7.2.2. Teorema da compacidade  7.3. Teoria da prova  7.3.1. Sistemas formais  7.3.2. Consistência e completude
  8. Probabilidade e Estatística  8.1. Teoria da probabilidade  8.1.1. Variáveis aleatórias  8.1.2. Expectativa e variação  8.1.3. Teorema do limite central  8.2. Processos estocásticos  8.2.1. Cadeias de Markov  8.2.2. Movimento browniano  8.3. Inferência estatística  8.3.1. Teste de hipóteses  8.3.2. Análise de regressão
  9. Matemática aplicada  9.1. Análise numérica em matemática aplicada  9.1.1. Métodos iterativos  9.1.2. Interpolação  9.1.3. Análise de erros  9.2. Equações diferenciais parciais  9.2.1. Equação elíptica  9.2.2. Equação parabólica  9.2.3. Equações hiperbólicas  9.3. Sistemas dinâmicos  9.3.1. Teoria do Caos  9.3.2. Análise de estabilidade em sistemas dinâmicos

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Teoria dos Campos


A teoria dos campos é um ramo da álgebra abstrata que investiga as propriedades e estruturas dos campos. Campos são estruturas algébricas caracterizadas por duas operações: adição e multiplicação. A importância da teoria dos campos na matemática não pode ser subestimada, pois os campos são os blocos fundamentais para uma variedade de estruturas matemáticas e problemas. Compreender a teoria dos campos exige familiaridade com alguns conceitos algébricos fundamentais. Esta discussão irá introduzi-lo aos fundamentos da teoria dos campos, levando gradualmente a áreas de estudo mais complexas, tudo em termos simples.

Definições e propriedades básicas

No cerne da teoria dos campos, começamos entendendo o que é um campo. Um campo é um conjunto F equipado com duas operações: adição (+) e multiplicação (*). Essas operações devem satisfazer vários axiomas para fazer do conjunto um campo:

  • Fechamento: para todo a, b em F, tanto a + b quanto a * b estão em F
  • Associatividade: para todo a, b, c em F, (a + b) + c = a + (b + c) e (a * b) * c = a * (b * c).
  • Comutatividade: Para todo a, b em F, a + b = b + a e a * b = b * a.
  • Lei distributiva: para todo a, b, c em F, a * (b + c) = a * b + a * c.
  • Elemento identidade: Existe uma identidade aditiva 0 e uma identidade multiplicativa 1 ≠ 0 tal que para qualquer a em F, a + 0 = a e a * 1 = a.
  • Elementos inversos: Para todo a em F, existe um inverso aditivo -a e se a ≠ 0, então existe um inverso multiplicativo a-1 tal que a + (-a) = 0 e a * a-1 = 1.

Alguns exemplos comuns de campos incluem o conjunto R de números reais, o conjunto Q de números racionais e o conjunto C de números complexos. Esses conjuntos numéricos satisfazem todos os axiomas de campo.

Exemplos de campos

Vamos considerar alguns sistemas numéricos bem conhecidos que são campos:

Números racionais (Q)

Q = { a/b | a, b ∈ Z, b ≠ 0 }

Números racionais formam um campo sob a adição e multiplicação usuais de frações. Por exemplo, você pode facilmente verificar que:

  • Conclusão: Se a/b e c/d são números racionais, então sua soma e produto também são números racionais: 
    (a/b + c/d) = (ad + bc) / bd
    (a/b * c/d) = (ac) / (bd)
  • Identidade: A identidade aditiva é 0 = 0/1, e a identidade multiplicativa é 1 = 1/1.
  • Inverso: O inverso aditivo de a/b é -a/b, e o inverso multiplicativo é b/a se a ≠ 0.

Números reais (R)

O conjunto dos números reais também é um campo. Um exemplo simples disso pode ser considerar a linha numérica que se estende até o infinito em ambas as direções:

0 1 -1

Cada ponto corresponde a um número real. As mesmas propriedades de campo que Q se aplicam.

Campos finitos

Nem todos os campos são infinitos. Um campo finito é um campo que tem um número finito de elementos. Campos finitos são importantes em áreas como teoria de codificação e criptografia. Os exemplos mais simples de campos finitos são campos de Galois, denotados por GF(p), onde p é um número primo, e eles têm exatamente p elementos. Os elementos de GF(p) são geralmente os inteiros 0, 1, ..., p-1. A adição e multiplicação são realizadas módulo p.

Considere GF(3). Aqui os elementos são {0, 1, 2} Vamos verificar algumas propriedades de campo:

  • Exemplo de adição (módulo 3): 
    1 + 2 ≡ 0 (mod 3)
  • Exemplo de multiplicação (módulo 3): 
    2 * 2 ≡ 1 (mod 3)
  • Inverso: O inverso aditivo de 2 é 1 porque 2 + 1 ≡ 0 (mod 3) O inverso multiplicativo de 2 é ele mesmo, porque 2 * 2 ≡ 1 (mod 3).

Extensões de campo

Um dos conceitos fundamentais na teoria dos campos é a extensão de campo. Extensão de campo é um campo maior que contém um campo menor. Extensão de campo nos permite entender como novos elementos podem ser sistematicamente adicionados a um campo dado.

Definição

Seja K um campo, e L um campo tal que K é um subconjunto de L Então, L é chamado de extensão de campo de K, denotado por L/K.

Um exemplo concreto é o campo dos números complexos C como uma extensão dos números reais R Os números complexos são da forma a + bi onde a, b ∈ R, e i é a unidade imaginária, satisfazendo i2 = -1.

Extensão algébrica

Um elemento α em uma extensão de campo L de K é chamado algébrico sobre K se existe um polinômio não nulo f(x) ∈ K[x] tal que f(α) = 0 Se cada elemento em L é algébrico sobre K, então L é uma extensão algébrica de K

Considere Q(√2) ser o menor campo que contém Q e √2. Aqui, √2 é algébrico sobre Q uma vez que é raiz do polinômio x2 - 2 = 0 sobre Q

Extensões simples

Uma extensão de campo L/K é chamada simples se existe um elemento α ∈ L tal que L = K(α) Em termos mais simples isso significa que você pode gerar L como o menor campo contendo K e o elemento α.

No exemplo anterior Q(√2), isso pode ser visto como uma extensão simples de Q com α = √2, fazendo Q(√2) = Q(α).

Teoria de Galois

À medida que avançamos no estudo da teoria dos campos chegamos a teoria de Galois. Esta é uma ferramenta poderosa que fornece uma conexão entre extensões de campo e teoria dos grupos.

Grupo de Galois

Dada uma extensão de campo L/K, o grupo de Galois da extensão, denotado Gal(L/K), é o grupo de todos os automorfismos de campo de L que fixam K Um automorfismo é um homomorfismo bijetivo de um campo para ele mesmo.

Por exemplo, na extensão C/R, a conjugação de números complexos dada pelo mapa z → overline{z} é um automorfismo que fixa R Portanto, o grupo de Galois desta extensão é de ordem 2, com os elementos sendo a identidade e a conjugação complexa.

Visualização da teoria de Galois

Um teorema fundamental na teoria de Galois afirma que existe uma correspondência um-para-um entre os subgrupos de um grupo de Galois e os campos intermediários entre K e L Isso geralmente é visualizado com uma escada:

L M N P K

Neste diagrama, L é o campo de extensão inteiro, K é o campo base, e M, N, P são campos intermediários correspondendo a subgrupos do grupo de Galois.

Conclusão

A teoria dos campos é um tópico vasto, abrangendo muitas áreas da matemática. Os exemplos e conceitos abordados devem fornecer uma compreensão fundamental dos campos, extensões de campo e a interação entre campos e grupos na teoria de Galois. Estar armado com esses conceitos coloca você em uma posição forte para se aprofundar em tópicos avançados em álgebra, teoria dos números e além. Esta área da matemática não é apenas interessante abstratamente, mas também incrivelmente aplicada, desde a solução de equações polinomiais até a segurança de comunicações digitais.


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