Doctorado
  1. Comprendiendo el Álgebra  1.1. Teoría de grupos  1.1.1. Propiedades básicas de los grupos  1.1.2. Subgrupos  1.1.3. Cosets y el teorema de Lagrange  1.1.4. Subgrupos normales  1.1.5. Grupo cociente  1.1.6. Homomorfismos de grupos  1.1.7. Teorema de Sylow  1.1.8. Introducción a los grupos libres  1.1.9. ¿Qué son las actividades grupales?  1.1.10. Grupos simples y resolubles  1.2. Teoría de anillos  1.2.1. Anillos e ideales  1.2.2. Introducción a los homomorfismos de anillos  1.2.3. Anillos polinomiales  1.2.4. Dominios Ideales Principales  1.2.5. Dominios de factorización única  1.2.6. Anillos noetherianos  1.2.7. Anillos de Artiniano  1.3. Teoría de campos  1.3.1. Extensiones de campos  1.3.2. División de áreas  1.3.3. Teoría de Galois  1.3.4. Cierre algebraico en teoría de campos  1.3.5. Campos finitos  1.3.6. Extensión trascendental  1.4. Teoría de módulos  1.4.1. Módulos sobre anillos  1.4.2. Módulos libres  1.4.3. Morfismo de módulos  1.4.4. Módulos simples y semisimples  1.4.5. Módulos proyectivos  1.4.6. Módulos inyectivos  1.5. Álgebra lineal  1.5.1. Espacio vectorial  1.5.2. Transformaciones lineales  1.5.3. Comprendiendo Valores Propios y Vectores Propios  1.5.4. Forma canónica  1.5.5. Espacio de producto interior  1.5.6. Teorema Espectral  1.5.7. Descomposición en valores singulares
  2. Entendiendo el Análisis Matemático  2.1. Análisis real  2.1.1. Números reales y completitud  2.1.2. Introducción a las secuencias y series  2.1.3. Continuidad en el análisis real  2.1.4. Diferenciación en el análisis real  2.1.5. Integración de Riemann  2.1.6. Introducción a los espacios métricos  2.1.7. Medida de Lebesgue  2.2. Análisis complejo  2.2.1. Números complejos  2.2.2. Funciones analíticas  2.2.3. Integración de contornos  2.2.4. Teorema de Cauchy  2.2.5. Teorema del residuo  2.2.6. Mapeo conforme  2.3. Análisis funcional  2.3.1. Comprender ubicaciones estándar  2.3.2. Introducción a los espacios de Banach  2.3.3. Espacios de Hilbert  2.3.4. Operadores lineales  2.3.5. Teoría espectral  2.3.6. Operadores compactos  2.4. Teoría de la medida  2.4.1. Álgebra sigma  2.4.2. Medidas e integrales en la teoría de la medida  2.4.3. Integración de Lebesgue  2.4.4. Teorema de convergencia  2.4.5. Teorema de Fubini  2.5. Análisis Armónico  2.5.1. Serie de Fourier  2.5.2. Transformada de Fourier  2.5.3. Teoría de la distribución  2.5.4. Wavelets
  3. Topología  3.1. Topología general  3.1.1. Conjuntos abiertos y cerrados  3.1.2. Continuidad  3.1.3. Introducción a la compacidad  3.1.4. Conectividad en topología general  3.1.5. Topología métrica  3.2. Topología algebraica  3.2.1. Grupo fundamental  3.2.2. Teoría de la homotopía  3.2.3. Teoría de la homología  3.2.4. Cohomología  3.2.5. Secuencia exacta  3.3. Topología diferencial  3.3.1. Variedades suaves  3.3.2. Espacio tangente  3.3.3. Campos vectoriales  3.3.4. Comprensión de las Formas Diferenciales
  4. Geometría  4.1. Geometría diferencial  4.1.1. Curvas y superficies en geometría diferencial  4.1.2. Geometría Riemanniana  4.1.3. Comprendiendo las geodésicas en la geometría diferencial  4.1.4. Curvatura  4.2. Geometría algebraica  4.2.1. Variedades afines y proyectivas  4.2.2. Planes  4.2.3. Separadores e intersecciones  4.2.4. Cohomología en geometría algebraica  4.3. Geometría Computacional  4.3.1. Introducción a las cubiertas convexas en geometría computacional  4.3.2. Triangulación  4.3.3. Diagrama de Voronoi  4.3.4. Algoritmos Geométricos
  5. Teoría de números  5.1. Teoría de números elemental  5.1.1. Divisibilidad en la teoría de números elemental  5.1.2. Congruencia en teoría de números elemental  5.1.3. Aritmética modular  5.2. Teoría analítica de números  5.2.1. Teorema de los números primos  5.2.2. Series de Dirichlet  5.2.3. Zeta y funciones L  5.3. Teoría de números algebraicos  5.3.1. Campos numéricos  5.3.2. Introducción a ideales en teoría de números algebraicos  5.3.3. Grupos de clases en teoría de números algebraicos  5.3.4. Representación de Galois
  6. Compañerismo  6.1. Combinatoria computacional  6.1.1. Función generadora  6.1.2. Relación de recurrencia  6.1.3. Ppermutaion y combinaciones  6.2. Teoría de grafos  6.2.1. Isomorfismo de grafos  6.2.2. Planicidad en teoría de grafos  6.2.3. Coloración de grafos  6.3. Combinatoria extrema  6.3.1. Teoría de Ramsey  6.3.2. Métodos probabilísticos en combinatoria extrema  6.4. Combinatoria algebraica  6.4.1. Métodos de matrices en combinatoria algebraica  6.4.2. Teoría de la representación
  7. Argumentos y fundamentos  7.1. Teoría de conjuntos  7.1.1. Axiomas de Zermelo-Fraenkel  7.1.2. Ordinales y cardinales  7.2. Introducción a la teoría de modelos  7.2.1. Estructuras y teorías en la teoría de modelos  7.2.2. Teorema de compacidad  7.3. Teoría de la demostración  7.3.1. Sistemas formales  7.3.2. Consistencia y completitud
  8. Probabilidad y Estadística  8.1. Teoría de la probabilidad  8.1.1. Variables aleatorias  8.1.2. Expectativa y variación  8.1.3. Teorema central del límite  8.2. Procesos estocásticos  8.2.1. Cadenas de Markov  8.2.2. Movimiento Browniano  8.3. Inferencia estadística  8.3.1. Pruebas de hipótesis  8.3.2. Análisis de regresión
  9. Matemáticas aplicadas  9.1. Análisis numérico en matemáticas aplicadas  9.1.1. Métodos iterativos  9.1.2. Interpolación  9.1.3. Análisis de errores  9.2. Ecuaciones diferenciales parciales  9.2.1. Ecuación elíptica  9.2.2. Ecuación parabólica  9.2.3. Ecuaciones hiperbólicas  9.3. Sistemas dinámicos  9.3.1. Teoría del caos  9.3.2. Análisis de estabilidad en sistemas dinámicos

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Teoría de campos


La teoría de campos es una rama del álgebra abstracta que investiga las propiedades y estructuras de los campos. Los campos son estructuras algebraicas caracterizadas por dos operaciones: la suma y la multiplicación. La importancia de la teoría de campos en matemáticas no puede subestimarse, ya que los campos son los bloques de construcción fundamentales para una variedad de marcos matemáticos y problemas. Entender la teoría de campos requiere familiaridad con algunos conceptos algebraicos fundamentales. Esta discusión te introducirá a los conceptos básicos de la teoría de campos, conduciendo gradualmente a áreas de estudio más complejas, todo en términos simples.

Definiciones y propiedades básicas

En el núcleo de la teoría de campos, comenzamos por entender qué es un campo. Un campo es un conjunto F equipado con dos operaciones: suma (+) y multiplicación (*). Estas operaciones deben satisfacer varios axiomas para hacer que el conjunto sea un campo:

  • Cierre: para cada a, b en F, tanto a + b como a * b están en F
  • Asociatividad: para cada a, b, c en F, (a + b) + c = a + (b + c) y (a * b) * c = a * (b * c).
  • Conmutatividad: Para cada a, b en F, a + b = b + a y a * b = b * a.
  • Ley distributiva: para cada a, b, c en F, a * (b + c) = a * b + a * c.
  • Elemento identidad: Existe una identidad aditiva 0 y una identidad multiplicativa 1 ≠ 0 tal que para cualquier a en F, a + 0 = a y a * 1 = a.
  • Elementos inversos: Para cada a en F, existe un inverso aditivo -a y si a ≠ 0, entonces hay un inverso multiplicativo a-1 tal que a + (-a) = 0 y a * a-1 = 1.

Algunos ejemplos comunes de campos incluyen el conjunto R de los números reales, el conjunto Q de los números racionales, y el conjunto C de los números complejos. Estos conjuntos de números satisfacen todos los axiomas de campo.

Ejemplos de campos

Consideremos algunos sistemas numéricos bien conocidos que son áreas:

Números racionales (Q)

Q = { a/b | a, b ∈ Z, b ≠ 0 }

Los números racionales forman un dominio bajo la suma y multiplicación usual de fracciones. Por ejemplo, puedes verificar fácilmente que:

  • Conclusión: Si a/b y c/d son números racionales, entonces su suma y producto también son números racionales: 
    (a/b + c/d) = (ad + bc) / bd
    (a/b * c/d) = (ac) / (bd)
  • Identidad: La identidad aditiva es 0 = 0/1, y la identidad multiplicativa es 1 = 1/1.
  • Inverso: El inverso aditivo de a/b es -a/b, y el inverso multiplicativo es b/a si a ≠ 0.

Números reales (R)

El conjunto de números reales también es un campo. Un ejemplo simple de esto puede ser considerar la recta numérica que se extiende hasta el infinito en ambas direcciones:

0 1 -1

Cada punto corresponde a un número real. Se aplican las mismas propiedades de campo que con Q.

Campos finitos

No todos los campos son infinitos. Un campo finito es un campo que tiene un número finito de elementos. Los campos finitos son importantes en campos como la teoría de códigos y la criptografía. Los ejemplos más simples de campos finitos son los campos de Galois, denotados por GF(p), donde p es un número primo, y tienen exactamente p elementos. Los elementos de GF(p) son generalmente los enteros 0, 1, ..., p-1. La suma y multiplicación se realizan módulo p.

Considera GF(3). Aquí los elementos son {0, 1, 2} Verifiquemos algunas propiedades de campo:

  • Ejemplo de suma (módulo 3): 
    1 + 2 ≡ 0 (mod 3)
  • Ejemplo de multiplicación (módulo 3): 
    2 * 2 ≡ 1 (mod 3)
  • Inverso: El inverso aditivo de 2 es 1 porque 2 + 1 ≡ 0 (mod 3) El inverso multiplicativo de 2 es sí mismo, porque 2 * 2 ≡ 1 (mod 3).

Extensiones de campo

Uno de los conceptos fundamentales en teoría de campos es la extensión de campo. La extensión de campo es un campo más grande que contiene un campo más pequeño. La extensión de campo nos permite entender cómo se pueden agregar sistemáticamente nuevos elementos a un campo dado.

Definición

Sea K un campo, y L un campo tal que K es un subconjunto de L Entonces, L se llama la extensión de campo de K, denotada L/K.

Un ejemplo concreto es el campo de los números complejos C como una extensión de los números reales R Los números complejos son de la forma a + bi donde a, b ∈ R, y i es la unidad imaginaria, satisfaciendo i2 = -1.

Extensión algebraica

Un elemento α en una extensión de campo L de K se llama algebraico sobre K si existe un polinomio no nulo f(x) ∈ K[x] tal que f(α) = 0 Si cada elemento en L es algebraico sobre K, entonces L es una extensión algebraica de K

Considera Q(√2) como el campo más pequeño que contiene Q y √2. Aquí, √2 es algebraico sobre Q ya que es raíz del polinomio x2 - 2 = 0 sobre Q

Extensiones simples

Una extensión de campo L/K se llama simple si existe un elemento α ∈ L tal que L = K(α) En términos más simples, esto significa que puedes generar L como el campo más pequeño que contiene K y el elemento α.

En el ejemplo anterior Q(√2), esto puede ser visto como una extensión simple de Q con α = √2, haciendo Q(√2) = Q(α).

Teoría de Galois

Cuando avanzamos en el estudio de la teoría de campos llegamos a la teoría de Galois. Esta es una herramienta poderosa que proporciona una conexión entre extensiones de campos y teoría de grupos.

Grupo de Galois

Dada una extensión de campo L/K, el grupo de Galois de la extensión, denotado Gal(L/K), es el grupo de todos los automorfismos de campo de L que fijan a K Un automorfismo es un homomorfismo biyectivo de un campo a sí mismo.

Por ejemplo, en la extensión C/R, la conjugación compleja dada por la aplicación z → overline{z} es un automorfismo que fija R Por lo tanto, el grupo de Galois de esta extensión es de orden 2, con los elementos siendo la identidad y la conjugación compleja.

Visualización de la teoría de Galois

Un teorema fundamental en la teoría de Galois establece que existe una correspondencia uno-a-uno entre subgrupos de un grupo de Galois y campos intermedios entre K y L Esto a menudo se visualiza con una escalera:

l M N P K

En este diagrama, L es el campo de extensión completo, K es el campo base, y M, N, P son campos intermedios correspondientes a subgrupos del grupo de Galois.

Conclusión

La teoría de campos es un tema extenso, que toca muchas áreas de las matemáticas. Los ejemplos y conceptos cubiertos deberían proporcionar una comprensión fundamental sólida de los campos, las extensiones de campo y la interacción entre campos y grupos en la teoría de Galois. Estar armado con estos conceptos te pone en una posición fuerte para profundizar en temas avanzados en álgebra, teoría de números y más allá. Esta área de las matemáticas no solo es interesante en abstracto, sino también increíblemente aplicada, desde resolver ecuaciones polinomiales hasta asegurar comunicaciones digitales.


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