Докторантура
  1. Понимание алгебры  1.1. Теория групп  1.1.1. Основные свойства групп  1.1.2. Подгруппы  1.1.3. Классы смежности и теорема Лагранжа  1.1.4. Нормальные подгруппы  1.1.5. Факторгруппа  1.1.6. Групповые гомоморфизмы  1.1.7. Теорема Силова  1.1.8. Введение в свободные группы  1.1.9. Что такое групповые действия?  1.1.10. Простые и разрешимые группы  1.2. Теория колец  1.2.1. Кольца и идеалы  1.2.2. Введение в гомоморфизмы колец  1.2.3. Кольца многочленов  1.2.4. Области главных идеалов  1.2.5. Уникальные области факторизации  1.2.6. Нетеровы кольца  1.2.7. Артиниевы кольца  1.3. Теория полей  1.3.1. Расширения полей  1.3.2. Деление области  1.3.3. Теория Галуа  1.3.4. Алгебраическое замыкание в теории полей  1.3.5. Конечные поля  1.3.6. Трансцендентальное расширение  1.4. Теория модулей  1.4.1. Модули над кольцами  1.4.2. Свободные модули  1.4.3. Гомоморфизм модуля  1.4.4. Простые и полупростые модули  1.4.5. Проективные модули  1.4.6. Инъективные модули  1.5. Линейная алгебра  1.5.1. Векторное пространство  1.5.2. Линейные преобразования  1.5.3. Понимание собственных чисел и собственных векторов  1.5.4. Каноническая форма  1.5.5. Пространство с внутренним произведением  1.5.6. Теорема о спектральном расщеплении  1.5.7. Разложение по сингулярным значениям
  2. Понимание математического анализа  2.1. Реальный анализ  2.1.1. Действительные числа и полнота  2.1.2. Введение в последовательности и ряды  2.1.3. Непрерывность в теории действительных чисел  2.1.4. Дифференцирование в действительном анализе  2.1.5. Интегрирование по Риману  2.1.6. Введение в метрические пространства  2.1.7. Мера Лебега  2.2. Комплексный анализ  2.2.1. Комплексные числа  2.2.2. Аналитические функции  2.2.3. Контурная интеграция  2.2.4. Теорема Коши  2.2.5. Теорема о вычетах  2.2.6. Конформное отображение  2.3. Функциональный анализ  2.3.1. Понимание стандартных пространств  2.3.2. Введение в пространство БАНАХА  2.3.3. Пространства Гильберта  2.3.4. Линейные операторы  2.3.5. Спектральная теория  2.3.6. Компактные операторы  2.4. Теория меры  2.4.1. Сигма алгебра  2.4.2. Измерение и интегралы в теории меры  2.4.3. Интегрирование по Лебегу  2.4.4. Теорема о сходимости  2.4.5. Теорема Фубини  2.5. Гармонический анализ  2.5.1. Ряд Фурье  2.5.2. Преобразование Фурье  2.5.3. Теория распределений  2.5.4. Вейвлеты
  3. Топология  3.1. Общая топология  3.1.1. Открытые и закрытые множества  3.1.2. Непрерывность  3.1.3. Введение в компактность  3.1.4. Связность в общей топологии  3.1.5. Метрика топология  3.2. Алгебраическая топология  3.2.1. Фундаментальная группа  3.2.2. Теория гомотопий  3.2.3. Теория гомологии  3.2.4. Когомология  3.2.5. Точная последовательность  3.3. Дифференциальная топология  3.3.1. Гладкие многообразия  3.3.2. Тангенциальное пространство  3.3.3. Векторные поля  3.3.4. Понимание дифференциальных форм
  4. Геометрия  4.1. Дифференциальная геометрия  4.1.1. Кривые и поверхности в дифференциальной геометрии  4.1.2. Риманова геометрия  4.1.3. Понимание геодезических линий в дифференциальной геометрии  4.1.4. Кривизна  4.2. Алгебраическая геометрия  4.2.1. Аффинные и проективные многообразия  4.2.2. Планы  4.2.3. Разделители и пересечения  4.2.4. Когомология в алгебраической геометрии  4.3. Вычислительная геометрия  4.3.1. Введение в выпуклые оболочки в вычислительной геометрии  4.3.2. Триангуляция  4.3.3. Диаграмма Вороного  4.3.4. Геометрические алгоритмы
  5. Теория чисел  5.1. Элементарная теория чисел  5.1.1. Делимость в элементарной теории чисел  5.1.2. Сравнимость в элементарной теории чисел  5.1.3. Модульная арифметика  5.2. Аналитическая теория чисел  5.2.1. Теорема о распределении простых чисел  5.2.2. Ряды Дирихле  5.2.3. Зета и L-функции  5.3. Алгебраическая теория чисел  5.3.1. Числовые поля  5.3.2. Введение в идеалы в алгебраической теории чисел  5.3.3. Классы групп в алгебраической теории чисел  5.3.4. Представление Галуа
  6. Товарищество  6.1. Вычислительная комбинаторика  6.1.1. Функция-генератор  6.1.2. Рекуррентные соотношения  6.1.3. Перестановка и сочетание  6.2. Теория графов  6.2.1. Изоморфизм графов  6.2.2. Плоскостность в теории графов  6.2.3. Окраска графов  6.3. Экстремальная комбинаторика  6.3.1. Теория Рамсея  6.3.2. Вероятностные методы в экстремальной комбинаторике  6.4. Алгебраическая комбинаторика  6.4.1. Методы матриц в алгебраической комбинаторике  6.4.2. Теория представлений
  7. Аргументы и основания  7.1. Теория множеств  7.1.1. Аксиомы Цермело-Френкеля  7.1.2. Порядковые и кардинальные числа  7.2. Введение в теорию моделей  7.2.1. Структуры и теории в теории моделей  7.2.2. Теорема компактности  7.3. Теория доказательств  7.3.1. Формальные системы  7.3.2. Согласованность и полнота
  8. Вероятность и статистика  8.1. Теория вероятностей  8.1.1. Случайные величины  8.1.2. Ожидание и вариация  8.1.3. Центральная предельная теорема  8.2. Стохастические процессы  8.2.1. Марковские цепи  8.2.2. Броуновское движение  8.3. Статистическое заключение  8.3.1. Тестирование гипотез  8.3.2. Регрессионный анализ
  9. Прикладная математика  9.1. Численный анализ в прикладной математике  9.1.1. Итеративные методы  9.1.2. Интерполяция  9.1.3. Анализ ошибок  9.2. Уравнения в частных производных  9.2.1. Эллиптическое уравнение  9.2.2. Параболическое уравнение  9.2.3. Гиперболические уравнения  9.3. Динамические системы  9.3.1. Теория хаоса  9.3.2. Анализ устойчивости в динамических системах

Докторантура → Понимание алгебры → Теория полей ↓


Алгебраическое замыкание в теории полей


Алгебра — это обширная область математики, которая занимается числами, уравнениями и правилами для их манипуляции. В разделе алгебры, называемом «теория полей», мы изучаем поля, которые представляют собой множества, в которых мы можем складывать, вычитать, умножать и делить (кроме деления на ноль).

Важный вопрос в теории полей заключается в решении полиномиальных уравнений. Например, мы можем задать вопрос:

x^2 - 2 = 0

Чтобы решить это уравнение, нам нужно найти числа, которые делают уравнение истинным. Поле называется алгебраически замкнутым, если каждый неконстантный многочлен с коэффициентами из этого поля имеет корень в том же поле. Это поднимает общий математический вопрос: если дано поле, можем ли мы найти большее поле, называемое его алгебраическим замыканием, которое имеет корень для каждого многочлена?

Основные термины

Чтобы глубже понять алгебраическое замыкание, нам нужно понять некоторые ключевые термины и концепции.

  • Поле: Множество с двумя операциями, сложением и умножением, которые удовлетворяют определенным правилам, таким как дистрибутивность, коммутативность, ассоциативность, существование единичных элементов и обратные элементы.
  • Многочлен: Выражение, состоящее из переменных и коэффициентов, включающее только операции сложения, вычитания, умножения и неотрицательных целых показателей степени.
  • Корень многочлена: Значение, для которого многочлен равен нулю.

Теперь, имея представление об этих терминах, мы можем рассмотреть алгебраическое замыкание.

Примеры полей и расширений

Самое простое поле для рассмотрения — это ℚ (множество всех рациональных чисел). Это пример поля, но оно не является алгебраически замкнутым. Рассмотрим уравнение:

x^2 - 2 = 0

Решениями этого уравнения являются √2 и -√2, ни одно из которых не является рациональным числом. Следовательно, ℚ не является решением этого полиномиального уравнения, что означает, что оно не является алгебраически замкнутым.

Аналогично, поле действительных чисел ℝ также не является алгебраически замкнутым. Чтобы найти пример несостоятельности, рассмотрим:

x^2 + 1 = 0

Его решениями являются i и -i. Эти решения не являются действительными числами, поэтому действительные числа также не имеют каждого корня для каждого многочлена.

Алгебраическое замыкание и комплексные числа

Самым маленьким полем, которое содержит все обсужденные поля, и которое является алгебраически замкнутым, является поле комплексных чисел, обозначенное ℂ.

Каждое полиномиальное уравнение с комплексными коэффициентами имеет корень в ℂ. Геометрически, если мы наносим комплексные числа, комплексное поле ℂ можно рассматривать как плоскость, где ось x представляет действительную часть, а ось y — мнимую часть.

Действительная часть Мнимая часть 1 + i

Красная точка на плоскости представляет комплексное число 1 + i. Любой полином типа x^2 + 1 имеет корни в поле комплексных чисел i и -i, что показывает, что комплексные числа являются алгебраическим замыканием для ℝ.

Построение алгебраического замыкания

Построение алгебраического замыкания данного поля включает расширение поля для включения корней тех многочленов, которые еще не имеют корней в поле. В простых терминах процесс построения выглядит так:

  • Начните с вашего основного поля, например, с рациональных чисел ℚ или действительных чисел ℝ.
  • Рассмотрим все полиномиальные уравнения, даже те, корни которых не лежат в существующем поле.
  • Добавьте корни новых многочленов один за другим для образования последовательных расширений поля.
  • Продолжайте этот итерационный процесс, пока не потребуется больше новых корней.

Эта идея лишь слегка приоткрывает завесу над обширной и глубокой областью алгебраических методов, где определенные области комбинируются вновь и вновь, и новые области включают корни все большего числа многочленов.

Применение алгебраического замыкания

Алгебраическое замыкание имеет множество практических применений в высшей математике и даже в физике. Некоторые распространенные применения включают:

1. Решение полиномиальных уравнений

Как упоминалось ранее, основная цель рассмотрения алгебраического замыкания заключается в том, чтобы каждая полиномиальная задача имела решение. Эта идея основополагающа в алгебре и математическом анализе.

2. Теория Галуа

Теория Галуа — это знаменательная тема в алгебре, исследующая, как алгебраические конструкции помогают понять разрешимость полиномиальных уравнений. Эта теория использует расширения полей, включая алгебраические конструкции, чтобы выявить глубокие инсайты в симметрию корней многочленов.

3. Комплексный анализ

Комплексный анализ часто рассматривает комплексные числа как неотъемлемо значимые, в частности, для понимания функций комплексных чисел. Алгебраическое замыкание важно в обсуждениях, связанных с функциями, определяемыми степенными рядами или полиномиальными уравнениями.

4. Алгебраическая геометрия

Алгебраическая геометрия изучает решения полиномов и уравнений, часто включая многомерные системы. Свойство полноты алгебраических конструкций важно при рассмотрении систем над полями.

Заключение

Понимание алгебраических замыканий и их последствий крайне важно для изучения обширных просторов высшей математики. Независимо от того, работаете ли вы с алгебраической геометрией, комплексным анализом или теорией полей, гарантии решений, предоставляемые алгебраическими замыканиями, являются основой для дальнейшего углубленного изучения математики.

Концепция алгебраического замыкания не только объединяет поля в согласованные единые структуры, но и проливает свет на систематическое прогрессирование в решении полиномиальных уравнений, что является одним из многих красивых аспектов математической теории.


Докторантура → 1.3.4


U
username
0%
завершено в Докторантура

← предыдущая (1.3.3)
Теория Галуа
следующая (1.3.5) →
Конечные поля

комментарии 



Алгебраическое замыкание в теории полей

https://www.buddymath.com/phd/1.3.4?bmal=ru