Doctorado
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  2. Entendiendo el Análisis Matemático  2.1. Análisis real  2.1.1. Números reales y completitud  2.1.2. Introducción a las secuencias y series  2.1.3. Continuidad en el análisis real  2.1.4. Diferenciación en el análisis real  2.1.5. Integración de Riemann  2.1.6. Introducción a los espacios métricos  2.1.7. Medida de Lebesgue  2.2. Análisis complejo  2.2.1. Números complejos  2.2.2. Funciones analíticas  2.2.3. Integración de contornos  2.2.4. Teorema de Cauchy  2.2.5. Teorema del residuo  2.2.6. Mapeo conforme  2.3. Análisis funcional  2.3.1. Comprender ubicaciones estándar  2.3.2. Introducción a los espacios de Banach  2.3.3. Espacios de Hilbert  2.3.4. Operadores lineales  2.3.5. Teoría espectral  2.3.6. Operadores compactos  2.4. Teoría de la medida  2.4.1. Álgebra sigma  2.4.2. Medidas e integrales en la teoría de la medida  2.4.3. Integración de Lebesgue  2.4.4. Teorema de convergencia  2.4.5. Teorema de Fubini  2.5. Análisis Armónico  2.5.1. Serie de Fourier  2.5.2. Transformada de Fourier  2.5.3. Teoría de la distribución  2.5.4. Wavelets
  3. Topología  3.1. Topología general  3.1.1. Conjuntos abiertos y cerrados  3.1.2. Continuidad  3.1.3. Introducción a la compacidad  3.1.4. Conectividad en topología general  3.1.5. Topología métrica  3.2. Topología algebraica  3.2.1. Grupo fundamental  3.2.2. Teoría de la homotopía  3.2.3. Teoría de la homología  3.2.4. Cohomología  3.2.5. Secuencia exacta  3.3. Topología diferencial  3.3.1. Variedades suaves  3.3.2. Espacio tangente  3.3.3. Campos vectoriales  3.3.4. Comprensión de las Formas Diferenciales
  4. Geometría  4.1. Geometría diferencial  4.1.1. Curvas y superficies en geometría diferencial  4.1.2. Geometría Riemanniana  4.1.3. Comprendiendo las geodésicas en la geometría diferencial  4.1.4. Curvatura  4.2. Geometría algebraica  4.2.1. Variedades afines y proyectivas  4.2.2. Planes  4.2.3. Separadores e intersecciones  4.2.4. Cohomología en geometría algebraica  4.3. Geometría Computacional  4.3.1. Introducción a las cubiertas convexas en geometría computacional  4.3.2. Triangulación  4.3.3. Diagrama de Voronoi  4.3.4. Algoritmos Geométricos
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Cierre algebraico en teoría de campos


El álgebra es un vasto área de las matemáticas que trata con números, ecuaciones y las reglas para manipular estas cosas. En la rama del álgebra llamada "teoría de campos", estudiamos campos, que son conjuntos en los que podemos sumar, restar, multiplicar y dividir (excepto por cero).

Una pregunta importante en teoría de campos es sobre la resolución de ecuaciones polinómicas. Por ejemplo, podríamos preguntar:

x^2 - 2 = 0

Para resolver esto, necesitamos encontrar números que hagan verdadera la ecuación. Un campo se llama cerrado algebraicamente si todo polinomio no constante con coeficientes en ese campo tiene una raíz en el mismo campo. Esto plantea una pregunta matemática general: dado un campo, ¿podemos encontrar un campo más grande, llamado cierre algebraico, que tenga una raíz para cada polinomio?

Conceptos básicos

Para entender el cierre algebraico con más profundidad, necesitamos comprender algunos términos y conceptos clave.

  • Campo: Un conjunto con dos operaciones, suma y multiplicación, que satisface ciertas reglas como distributiva, conmutativa, asociativa, existencia de elementos identidad e inversos.
  • Polinomio: Una expresión que consta de variables y coeficientes, que involucra solo las operaciones de suma, resta, multiplicación y exponentes enteros no negativos.
  • Raíz de un polinomio: El valor para el cual el polinomio se evalúa como cero.

Ahora, con una comprensión de estos términos, podemos considerar el cierre algebraico.

Ejemplos de campos y extensiones

El campo más simple para considerar es ℚ (el conjunto de todos los números racionales). Este es un ejemplo de un campo, pero no está cerrado algebraicamente. Considere la ecuación:

x^2 - 2 = 0

Las soluciones de esta ecuación son √2 y -√2, ninguna de las cuales es un número racional. Por lo tanto, ℚ no es la solución de esta ecuación polinómica, lo que significa que no está cerrado algebraicamente.

De manera similar, el campo de los números reales ℝ tampoco está cerrado algebraicamente. Para encontrar un ejemplo de falla, considere:

x^2 + 1 = 0

Sus soluciones son i y -i. Estas soluciones no son números reales, por lo que los números reales tampoco tienen todas las raíces para cada polinomio.

Cierre algebraico y números complejos

El campo más pequeño que contiene todos los otros campos que hemos discutido y que está cerrado algebraicamente es el campo de los números complejos, denotado por ℂ.

Cada ecuación polinómica con coeficientes complejos tiene una raíz en ℂ. Geométricamente, si representamos los números complejos, el campo complejo ℂ puede pensarse como un plano con el eje x representando la parte real y el eje y representando la parte imaginaria.

Parte real Parte imaginaria 1 + i

El punto rojo en el plano representa el número complejo 1 + i. Cualquier polinomio como x^2 + 1 tiene raíces en el campo de los números complejos i y -i, lo que muestra que los números complejos forman un cierre algebraico para ℝ.

Construcción del cierre algebraico

Construir el cierre algebraico de un campo dado implica extender el campo para incluir raíces para aquellos polinomios que no tienen raíces dentro del campo. En términos simples, el proceso de construcción es el siguiente:

  • Comience con su campo base, digamos los números racionales ℚ o los números reales ℝ.
  • Considere todas las ecuaciones polinómicas, incluso aquellas cuyas raíces no están en el campo existente.
  • Agregue las raíces de los nuevos polinomios una por una para formar expansiones sucesivas del campo.
  • Continúe este proceso iterativo hasta que no se necesiten nuevas raíces.

Esta idea solo raspa la superficie del vasto y profundo campo de los métodos algebraicos, donde ciertas áreas se combinan una y otra vez, y nuevas áreas involucran raíces de más y más polinomios.

Aplicaciones del cierre algebraico

Los cierres algebraicos tienen muchas aplicaciones prácticas en matemáticas avanzadas e incluso en física. Algunas aplicaciones comunes incluyen:

1. Resolución de ecuaciones polinómicas

Como se mencionó anteriormente, el propósito principal de considerar el cierre algebraico es garantizar que cada ecuación polinómica tenga una solución. Esta idea es fundamental en álgebra y cálculo.

2. Teoría de Galois

La teoría de Galois es un tema notable en álgebra que investiga cómo las dotaciones algebraicas ayudan a comprender la solubilidad de las ecuaciones polinómicas. Esta teoría utiliza extensiones de campo, incluidas las dotaciones algebraicas para revelar profundos conocimientos sobre la simetría de las raíces de los polinomios.

3. Análisis complejo

El análisis complejo a menudo trata a los números complejos como inherentemente vívidos e importantes, en particular, en la comprensión de funciones de números complejos. El cierre algebraico es importante en discusiones que involucran funciones definidas por series de potencias o ecuaciones polinómicas.

4. Geometría algebraica

La geometría algebraica estudia soluciones de polinomios y ecuaciones, que a menudo involucran sistemas multivariables. La propiedad de completitud de las dotaciones algebraicas es importante al considerar sistemas sobre campos.

Conclusión

Entender los cierres algebraicos y sus consecuencias es crucial para explorar las vastas extensiones de las matemáticas avanzadas. Ya sea trabajando a través de la geometría algebraica, el análisis complejo, o la teoría de campos, las garantías de soluciones proporcionadas por los cierres algebraicos son una base para desarrollar matemáticas más profundas.

El concepto de cierre algebraico no solo une los campos en estructuras unificadas coherentes, sino que también arroja luz sobre el progreso sistemático de resolver ecuaciones polinómicas, que es uno de los muchos aspectos hermosos de la teoría matemática.


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